1.2. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами. n-мерное арифметическое пространство

Упорядоченная совокупность ( х1, х2 , ..., хn ) n вещественных чи-

сел называется n-мерным вектором, а числа xi (i =1, n) – координатами вектора.

Если, например, некоторое предприятие выпускает n видов продукции в количестве х1, х2 , ..., хn единиц соответственно, то вектор

х = (х1, х2 , ..., хn ) является n - мерным вектором.

Суммой n-мерных векторов а =( а1, а2 , ..., аn ) и b = ( b1,b2 , ..., bn )

называется n-мерный вектор с = а +b = (а1 +b1, а2 +b2 , ..., аn +bn ) . Произведением n-мерного вектора а = (а1, а2 , ..., аn ) на веществен-

ное число α называют n-мерный вектор c =α а = (αа1, αа2 , ... , αаn ) .

Введенные операции над n-мерными векторами, называемые линейными операциями, удовлетворяют следующим свойствам:

1.а +b = b +а ( коммутативность сложения );

2.(a +b) +c = a +(b +c) (ассоциативность сложения) ;

3.α (β a) = (αβ) a (ассоциативность умножения) ;

4.α (a +b) =αa +αb (дистрибутивность относительно сложения векторов) ;

5.(α + β)a =αa + βa (дистрибутивность относительно сложения

чисел);

6.а + 0 = а , где 0 = (0, 0, ..., 0) ;

7.1 a = a , для всех a .

8.Для всех a существует вектор −a , такой, что a +(−a) = 0 .

Совокупность всех n-мерных векторов, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения и умножения на число, под-

19

чиняющимся 1–8, называется n-мерным линейным векторным про-

странством. Если координаты векторов – вещественные числа, то пространство называют арифметическим и обозначают Rn .

Ненулевые векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда,

когда b =αa , где α ≠ 0. Это означает, что у коллинеарных векторов их одноименные координаты пропорциональны:

a1 =... = an =α b1 bn

Пространство Rn можно рассматривать и как точечное, т.е. упорядоченный набор n чисел (х1, x2 , , xn ) называть точкой. При этом

точка O(0, 0, , 0) – начало отсчета, координаты точки М – это координаты ее радиус-вектора ОМ. В этом случае пишут

М= (х1, x2 , , xn ) или M (х1, x2 , , xn ).

1.3.Скалярное произведение n-мерных векторов. Модуль вектора. Угол между n-мерными векторами. Расстояние между

точками n-мерного пространства

Скалярным произведением n-мерных векторов а =( а1, а2 , ..., аn ) и

b = ( b1,b2 , ...,bn ) называется число, обозначаемое (a,b) и равное сумме произведений соответствующих координат:

n

(a,b) = а1b1 +а2b2 + + аnbn = ∑ aibi .

i=1

Если, например, предприятие реализует 4 вида товаров в количествах 10, 20, 15 и 5 единиц соответственно по ценам 2, 3, 4 и 6 дене ж-

ных единиц, то скалярное произведение вектора цен с =(2, 3, 4, 6) на вектор объемов продаж х =(10, 20, 15, 5) даст ожидаемую выручку,

которая составит (с, х) =2◌10ּ + 3◌20ּ + 4◌15ּ + 6◌5ּ = 20 + 60 + 60 + 30 = 170 (денежных единиц).

20