1)

Функция спроса – зависимость спроса D (demand ) на

некоторый товар в зависимости от его цены p( price) :

D = f ( p) ;

2)

Функция предложения – зависимость предложения S (supply)

на некоторый товар в зависимости от его цены p :

S = g( p) ;

3)

Функция полезности – субъективная числовая оценка

полезности

u (utility)

количества

f (x)

некоторого товара для

данного индивида: u = g(x) ;

4)

Однофакторная производственная функция – зависимость

объема y

продукции

от объема

b]

используемого ресурса:

Пусть

функция

y = f (x) определена на некотором числовом

множестве

X ={x}

и точка

x0 является предельной точкой этого

множества

( x0 называется

предельной точкой множества x X ,

последовательность

значений функции

f (x1),

f (x2 ), …, f (xn ) ,…

сходится к числу A :

f (x) = A или f (x) → A при x → x0 .

lim

x→x0

Данное определение предела функции в

точке называется

точке x0 ,

если для

любого,

сколь угодно

малого числа ε >0

существует

число

δ >0, такое,

что

для

всех

x X ( x ≠ x0 ),

удовлетворяющих неравенству

[a,b]<δ ,

выполняется неравенство

f (x) − A

<ε .

x = x0 называют

Данное определение предела функции

в точке

определением на языке « (A ≠ B), »

или

определением предела по

функции f (x) в точке

c [a,b], если для любой сходящейся к x0

последовательности

f (c) = C ,…,

для которой xn > x0

( xn < x0 ),

соответствующая

последовательность

значений

функции

f (x1), f (x2 ), f (x3 ), …, f (xn ) ,… сходится к числу A .

Правый предел (предел справа) обозначается

lim

f (x) = lim

f (x) = f (x0 +0) = A ,

x→x0

, x<x0

x→x0

+0

а левый предел (предел слева)

lim

f (x) = lim

f (x) = f (x0 −0) = A.

x→x0

, x<x0

x→x0

−0

Правый и левый пределы называют односторонними пределами

функции в точке.

Теорема 7.1. Функция f (x) имеет предел в точке x0

тогда и

только тогда, когда в этой точке существуют

предел справа и предел

Теорема 7.2.

Если функции

f (x)

и g(x)

имеют в точке x0

пределы A и B ,

т.е.

lim f (x) = A,

lim

g(x) = B , то:

x→x0

x→x0

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности)

пределов:

lim ( f (x) ± g(x) )= lim f (x) ± lim g(x) = A ± B ;

x→x0

x→x0

x→x0

2.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim c f (x) = c lim

f (x) = cA;

x→x0

x→x0

3.

Предел произведения равен произведению пределов:

lim ( f (x) g(x)) )= lim f (x) lim g(x) = AB ;

x→x0

x→x0

x→x0

4.

Предел частного равен частному пределов:

f

(x)

lim f (x)

A

lim

=

x→x0

=

, если

B ≠ 0 .

g

(x)

lim g

(x)

B

x→x0

x→x0

Пример 7.1.

Найти lim

2x5 − x3

.

x

2

− x

+2

x→1

Решение. Найдем предел знаменателя:

lim(x2 − x +2) = lim x2 − lim x + lim 2 =12

−1+ 2 = 2 ≠ 0 .

x→1

x→1

x→1

x→1

2x

5

− x

3

lim (2x5 − x3 )

2

5

3

lim

=

x→1

=

1

−1

=

1 .

x2 − x +2

lim (x2 − x +2)

2

x→1

2

x→1

используемых в математике и ее приложениях:

lim sin x =1

(первый замечательный предел)

(7.1)

x→0

x

x

1

( 7.2)

lim 1+

x

= e (второй замечательный предел)

x→∞

Приведенные замечательные пределы часто используются при

вычислении других пределов.

3x +1 2x

Пример 7.2.

Найти lim

3x

.

Решение. Имеем

x→∞

2x

2

3x +1 2x

1 2x

1 3x 3x

lim

= lim 1+

= lim

1+

= e3 = 3 e2 .

x→∞ 3x

x→∞

3x

x→∞

3x

1

Пример 7.3.

Найти

lim(1+ x)x .

x→0

Решение.

Сделаем замену 1 = y . Тогда при

x → 0 имеем, что

x

y

1

1

y → ∞ . Следовательно,

lim(1+ x)x = lim

1+

= e .

y

x→0

y→∞

установления их эквивалентности используются

понятия бесконечно

малых и бесконечно больших функций.

Определение 7.5. Функция

f (x) называется бесконечно малой в

точке x = x0 ,

если

ее предел

в этой точке

равен нулю, т.е.

lim f (x) = 0 .

Аналогично определяются бесконечно малые функции

x→x0

при x → ∞, x → +∞,

x → −∞, x → x0 +0, x → x0 −0 .

x =1 и при

x = −1; функция y = x−3 является бесконечно малой при

x → ∞, функция y = ex является бесконечно малой при x → −∞.

Теорема 7.3. Алгебраическая сумма и произведение любого

конечного

числа бесконечно малых функций при x → x0 ,

равенство f (x) = A +α(x),

где α(x) ― бесконечно малая функция при

x → x0 .

Определение

7.6.

Функция

y = f (x) называется

бесконечно

большой в то чке x = x0 , если для любого

M >0 существует число

δ >0, такое,

что для любых

x X , для которых 0<

x − x0

<δ ,

выполняется

неравенство

f (x)

> M . В этом случае пишут:

lim f (x) = ∞ .

Если

же

выполняется

неравенство

f (x)> M

x→x0

( f (x) < −M ), то пишут:

lim

f (x) = +∞

( lim f (x) = −∞).

x→x0

x→x0

Теорема

7.5.

Если

f (x)

бесконечно

большая функция

при

x → x0 , то

1

бесконечно малая функция при x → x0 ; если

g(x)

f

(x)

― бесконечно

малая

функция

при

x → x0 , причем

g(x0 ) ≠ 0 в

некоторой окрестности

точки

x0

, то

1

бесконечно большая

g(x)

функция при

x → x0 . Например,

f (x) = x −2 бесконечно малая при

x → 2 , тогда

1

=

1

бесконечно большая при x → 2 .

f (x)

x −2