Основные теоретические сведения ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

6. Теория пределов последовательностей

Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода. Эта операция в различных ее формах лежит в основании многих конструкций дифференциального и интегрального исчисления, являясь по сути дела фундаментом для математического анализа.

6.1. Числовые последовательности

Мы начинаем изучение понятия предела с простейшего частного случая, а именно ― с предела числовой последовательности.

6.1.1.Числовые последовательности, их виды и арифметические операции над ними.

Понятие числовой последовательности известно из курса средней школы и может быть введено следующим образом.

Определение 6.1. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число xn , то говорят, что задана

Числовая последовательность обозначается xn , n =1,2,... или ( xn ) или x − x0 . Числовая последовательность является функцией натураль-

которая является убывающей арифметической прогрессией с разностью d = −2;

79

3) формула xn = 2nn+1 задает возрастающую последовательность правильных дробей

всех xn . Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что xn ≤ M для всех n N и ограниченной снизу, если существует число x0 такое, что xn ≥ m .

Определение 6.3. Последовательность {xn} называется:

ными, причем (6.1) является неограниченно возрастающей (строго), а (6.1) – неограниченно убывающей (строго). Последовательности (6.3) и (6.4) являются ограниченными. Члены последовательности (6.3),

хотя и возрастают с увеличением n , но при этом остаются меньше 12 ; а члены последовательности (6.4), убывая, по мере возрастания n ,

ся подпоследовательностью последовательности {xn}.

80

Определение 6.5. Суммой, разностью, произведением и частным последовательностей {xn} и {yn} называются последовательности

{zn}, члены которых образованы соответственно по правилам:

yn

Произведением последовательности {xn} на число C называется последовательность {Cxn}.

6.1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и связь между ними.

Для описания характера изменения переменных величин удобно использовать понятия бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Определение 6.6. Последовательность {αn} называется беско-

нечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа ε существует номер N , зависящий от ε , т.е. N = N(ε) , такой,

что для всех αn с номерами A > N выполняется неравенство αn <ε .

Следует подчеркнуть, что термин «бесконечно малая» здесь используется не для обозначения малости отдельно взятого значения переменной величины (она на отдельных стадиях может быть и вовсе не малой), а только для описания характера изменения данной величины, которая лишь в процессе своего изменения способна в конце концов сделаться меньшей произвольно взятого числа ε.

Пример 6.1. Доказать, что последовательность (αn ) = (−n1)n является бесконечно малой.

81

является бесконечно малой.

Бесконечно малым последовательностям, в некотором смысле, противопоставляются бесконечно большие.

Определение 6.7. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого положительного числа

как A может быть сколь угодно большим, то последовательность {xn}={(−1)n n} будет бесконечно большой.

Связь между бесконечно малыми и большими последовательностями устанавливает следующая теорема:

Теорема 6.1. Если последовательность ( xn ) бесконечно большая

то последовательность {x }= 1 – бесконечно большая. n α

n

Заметим, что всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной, а бесконечно большая последовательность ― неограниченной. Вместе с тем, не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

82