савицкая 2012

Глава 1. Значение, задачи и методическим инструментарий

Пятый этап — статистическая оценка и практическое использование результатов корреляционного анализа.

Чтобы убедиться в надежности уравнения связи и воз­ можности его использования для практической цели, не­ обходимо дать ему статистическую оценку. Для этого рас­ считывают критерий Фишера (/’-отношение), среднюю ошибку аппроксимации (е), коэффициент множественной детерминации (D).

С помощью критерия Фишера оценивается надежность уравнения связи, расчетная величина которого сравнивается с табличным значением. Если F >РТябп, то гипотеза об отсут­ ствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

Для оценки точности подбора уравнения связи рассчи­ тывается средняя ошибка аппроксимации. Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по урав­ нению) отклоняется от фактической (эмпирической), тем меньше ее величина. А это свидетельствует о правильно­ сти подбора формы уравнения связи. В нашем примере она составляет 0,0364 или 3,64 %. Учитывая, что в экономи­ ческих расчетах допускается погрешность до 5 %, можно сделать вывод, что данное уравнение связи довольно точно описывает изучаемые зависимости. С такой же небольшой погрешностью будет делаться и прогноз уровня рентабель­ ности по данному уравнению.

Ополноте уравнения связи можно судить по коэффи­

циентам множественной детерминации. Если его значе­ ние близко к 1, значит, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы, на долю ко­ торых приходится основная вариация результативного по­ казателя. В нашем примере коэффициент множественной детерминации — 0,85. Это означает, что на 85 % изменение

показателя;

62

1.9. Способы измерения влияния фактории в стохастическом анализе

в) планирования и прогнозирования его величины.

Влияние каждого фактора (х) на изменение величины результативного показателя рассчитывается следующим образом:

Д Ух = Ах, ■ Ь,.

Допустим, что уровень материалоотдачи на анализи­ руемом предприятии по плану на отчетный год — 2,5 руб., фактически — 2,4 руб. Из-за этого уровень рентабельности продукции ниже планового на 0,365 %.

ДГГ1 =(2,4-2,5)-3,65=-0,365%.

Аналогичным образом подсчитывают резервы роста результативного показателя. Для этого планируемый при­ рост факторного показателя (х) умножают на соответству­ ющий ему коэффициент регрессии (b) в уравнении связи:

Р Т У = Р t X, ■ Ь,

Предположим, что в следующем году намечается рост материалоотдачи с 2,4 до 2,7 руб. За счет этого рентабель­ ность повысится на

Для этого в полученное уравнение связи необходимо под­ ставить плановый (прогнозный) уровень факторных по­ казателей:

Ут = 0,49 + 3,65 • 2,7 + 9,0 • 0,85 + 1,02 • 8,5 - - 0,122 • 20 + 0,052 ■ 33 = 25,95 %.

Таким образом, многофакторный корреляционный ана­ лиз имеет важную научную и практическую значимость.

63

1.10. Инструментарий финансовых вычислений

раннего потребления этих средств, которые в противном случае ему пришлось бы долго накапливать.

Сущность метода компаундинга (наращения) состоит в

iопределении суммы денег, которую будет иметь инвестор в конце финансовой операции. При использовании этого

метода исследование денежного потока ведется от настоя­ щего к будущему. Заданными величинами здесь являются исходная сумма инвестиций, срок и процентная ставка до­ ходности, а искомой величиной — сумма средств, которая будет получена после завершения операции.

Начисление сложных процентов (compounding) произво­ дится в конце каждого периода на основную сумму долга с добавлением начисленных процентов, не востребованных инвестором, за предыдущие периоды.

Если бы нужно было вложить в банк на три года 1 ООО тыс. руб. с выплатой 20 % годовых, то получились бы следующие показатели доходности:

за первый год: 1000 • (1 + 20 %) = 1000 • 1,2 — 1200 тыс. руб.; за второй год: 1200 • (1 + 20 %) = 1200 • 1,2 = 1440 тыс. руб.; за третий год: 1440 • (1 + 20 %) = 1440 - 1,2 = 1728 тыс. руб.

Это можно записать и таким образом:

1000 ■ 1,2 ■ 1,2 • 1,2 = 1000 ■ 1,23 = 1 728 тыс. руб.

Из данного примера видно, что сумма 1000 тыс. руб. сегодня равноценна сумме 1 728 тыс. руб. через три года. Напротив, 1 728 тыс. руб. дохода через три года эквивалент­ ны 1 000 тыс. руб. на сегодняшний день при ставке рефи­ нансирования 20 %.

Данный пример показывает методику определения стои­ мости инвестиций при использовании сложных процен­ тов. Сумма годовых процентов каждый год возрастает в геометрической прогрессии, так как инвестор имеет доход, как с первоначального капитала, так и с процентов, полу­ ченных за предыдущие годы.

Для определения стоимости, которую будут иметь ин­ вестиции через несколько лет при использовании сложных процентов применяют формулу

FV — PV- (1 + г)\

где FV — будущая стоимость инвестиций через п лет;

65

PV — первоначальная сумма инвестиций;

г — ставка процента в виде десятичной дроби; п — число лет в расчетном периоде.

Выражение (1 + г)" является важной переменной в фи­ нансовом анализе, составляет основу практически всех финансовых вычислений. Оно показывает, сколько будет стоить денежная единица через п лет.

При начислении процентов по простой ставке для опре­ деления будущей стоимости инвестиций используется сле­ дующая формула:

FV= PV- (1 + /77).

FV= 1 ООО • (1 + 0,2 • 3) = 1 600 тыс. руб.

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо учитывать не только уровень объ­ явленной ставки процента, но и количество интервалов начисления процентов в течение года. Если доходы по инвестициям начисляются несколько раз в году по ставке сложных процентов, то формула для определения будущей стоимости вклада имеет следующий вид:

FV= PV{ 1 + r/m)n m ,

где т — число периодов начисления процентов в году. Допустим, что в вышеприведенном примере проценты

начисляются ежеквартально (т = 4, п = 3). Тогда будущая стоимость вклада через три года составит

FV= 1000 ■ (1 + 0,2/4)12 = 1000 • 1,79585 = = 1 795,85 тыс. руб.

Дополнительные 67,85 тыс. руб. (1795,85 — 1 728) воз­ никли благодаря тому, что сложные проценты начисля­ лись не 3, а 12 раз.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее растет вклад. При ежемесячном начислении процентов через три года наращенная сумма вклада составит

F V = 1000 • (1 + 0,2 /12)36 = 1000 • 1,81313 =

= 1 813,13 тыс. руб.

Поэтому иногда выгоднее инвестировать средства под меньший процент, но с более частым его начислением.

В связи с этим возникает необходимость сравнения усло­ вий финансовых операций, предусматривающих различные

66

1,10. Инструментарий финансовых вычислений

периоды начисления процентов. Приведение соответствую­

щих номинальных (фиксированных) процентных ставок к их го­ довому эквиваленту производится по следующей формуле:

EPR = (1 + -Г -1,

т

где EPR ~ эффективная ставка процента (ставка сравнения);

т— число периодов начисления;

г— ставка процента.

Вычисляя эффективную ставку процента EPR, появля­ ется возможность сравнивать процентные ставки по ссудам или инвестициям с разными периодами начисления про­ центов. Например, банк А платит по депозитам 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, банк В — 19,5 % с ежемесячным начислением процентов. Нужно определить, куда выгоднее помещать денежные вклады. Для этого рас­ считаем эффективные ставки процента:

•для банка А:

EPRa = ^1 + - 1 = 0,21 (21 %);

•для банка В.

£P/?e=(^l + ^Pj -1=0,2134 (21,34 %).

Следовательно, выгоднее хранить деньги во втором банке.

Если известны величины будущей FV и первоначаль­ ной PVсуммы инвестиций и я, то можно определить про­ центную ставку доходности по следующей формуле:

Зная FV, PV и г , можно определить длительность опе­ рации:

67

Глава 1. Значение, задачи и методический инструментарий

Метод дисконтирования денежных потоков (ДДП) —

позволяет привести будущую стоимость денежных доходов к их стоимости в текущий момент времени. Здесь иссле­ дование денежного потока ведется в обратном направле­ нии — от будущего к текущему моменту Для определения текущей стоимости будущих доходов обычно применяется следующая формула:

где d — дисконтный множитель; FV — будущая сумма дохода.

Сумма дисконта (Dс) определяется как разность между стоимостью будущих доходов и современной их стоимо­ стью, приведенной к текущей дате:

D = FVPV

С

Ключевое значение в процессе дисконтирования име­ ет дисконтный множитель 1 / (1 + /*)", который показывает, сколько сегодня стоит денежная единица, которая будет получена спустя п лет. Значение его всегда меньше едини­ цы и зависит от величины дисконтной ставки г, а также от длительности периода до погашения платежа.

Норма доходности г, выступающая в качестве ставки дисконта, — это вознаграждение, которое требует инвестор за отсрочку платежа. В качестве ставки дисконта могут служить ставки доходности по государственным ценным бумагам, ставка рефинансирования или ставка доходности по другим альтернативным вариантам инвестирования средств.

Уровень дисконтного множителя зависит не только от ставки дисконта, но и от периода получения будущих до­ ходов. При ставке дисконта 20 % денежная единица будет стоить

•спустя один год:

d= —-—- =------- 1---- = 0,833;

(1 + 0" 0 + 0,2)

68

.10 11и1труменгар1ш финансовых вычислений

•спустя два года:

d= (1 + г ) г = (1 + 0,2)2 = °’694’

•спустя три года:

d --- —^т =----------—г = 0,579 и т. д. (1 + г) (1 + 0,2)

Чем выше ставка дисконта, тем быстрее с годами убы­ вает текущая стоимость будущих доходов. Уменьшается она и по мере увеличения периода получения денег.

Для примера рассчитаем текущую стоимость будущего дохода в размере 100 млн руб. при различной норме аль­ тернативной доходности и разной продолжительности его поступления:

Дисконтирование денежных потоков широко приме­ няется в финансовом менеджменте при оценке эффек­ тивности инвестиционных проектов. Допустим, органи­ зация рассматривает вопрос о том, стоит ли вкладывать 500 млн руб. в проект, который через два года принесет доход 800 млн руб. Принято решение вложить деньги толь­ ко при условии, что годовой доход от этой инвестиции со­ ставит не менее 10 %, который можно получить, положив

PV = 800-------- -—т = 661 млн руб. (1+0,1)2

Проект дает доход в 800 млн руб. при меньшей сумме инвестиций (500 млн руб.). Чистый приведенный эффект (NPV) составляет 161 млн руб. (661 — 500). Следовательно, в него выгодно вкладывать средства.

Мы рассмотрели ситуацию, когда ожидается получение единственного платежа в конце финансовой операции.

69

Г.шва 1. Значении, задачи и методический ннсг|>\ ментарпй

В более сложном виде поток денежных доходов можно представить в виде многократного поступления доходов в течение ряда лет. При этом следует различать денежный поток постнумерандо, когда деньги поступают в конце пе­ риода, и пренумерандо — в начале периода (предоплата).

не в конце, а в начале каждого периода (поток пренуме­ рандо), то тогда доход за первый год не дисконтируется, и для расчета приведенной стоимости доходов используется следующая формула:

FV

PV = У "./1 , „\Л-1

1=1(1 + /•)"

3500 3000 2500 2000 PV =------------ 7г+----------- г +

(1 + 0,1)° (1 + 0,1)' (1 + 0,1 )2 (1 + 0,1)3

= 3500 + 2 727,3 + 2066,1 + 1502,6 = 9 796 млн руб.

На таких условиях проект становится еще более при­ влекательным.

Методический инструментарий оценки аннуитета. Если поступление или расходование денежных средств происходит равномерно через равные временные интервалы и в равной

70

110 II нирументарпп финансовых вычислений

сумме, то такой денежный поток получил название аннуите­ та. Процесс его дисконтирования можно значительно упро­ стить, введя кумулятивный дисконтный множитель для аннуи­ тета (ДМ), который рассчитывают следующим образом:

ДМ = 1 .

г

Текущая стоимость аннуитета постнумерандо опреде­ ляется умножением размера разового платежа {А) на куму­ лятивный дисконтный множитель (ДМ):

PV= А ■ ДМ.

Рассчитаем ДМ и PVдля проекта, от которого доходы будут поступать равномерными частями по 250 млн руб. на протяжении шести лет в конце каждого года при аль­ тернативной ставке доходности 10 %.

После этого найдем приведенную стоимость доходов по проекту:

PV= 250 • 4,355 = 1 088,75 млн руб.

Текущая стоимость аннуитета пренумерандо рассчи­ тывается следующим образом:

PV= А ■ ДМ • (I + г).

Если по данному проекту доходы будут поступать на усло­ виях предоплаты, то приведенная их стоимость будет равна:

PV= 250 • 4,355 ■ (1 +0,1)= 1 197,6 млн руб.

При бессрочном аннуитете, когда ежегодный фикси­ рованный доход от инвестиций поступает в течение нео­ граниченного периода, для расчета его текущей стоимости обычно применяют более упрощенную формулу:

PV = -,

г

где А — размер ежегодного дохода; г — ставка дисконта, в качестве которой обычно прини­

мают процентную ставку банка по депозитным вкладам.

71