раическую структуру называют полем (поле действительных чисел, поле комплексных чисел). Отметим, что в зависимости от наличия (чаще всего отсутствия) тех или иных свойств в алгебраической структуре различают такие алгебраические объекты как группа, кольцо, тело.

3. Традиционная форма записи комплексных чисел.

Где же среди введенных новых чисел спрятано «хитроумное» мнимое

именно пары вида i = 10 .

Тогда любое комплексное число можно записать следующим образом

Итак, комплексным числом называются числа вида z = a +bi где i2 = −1. Это традиционная алгебраическая форма комплексных чисел, При этом первая компонента называется действительной частью комплексного числа a = Re z , вторая – мнимая часть b = I m z .

Подчеркнем, что как Re z так и I m z есть действительные числа.! Следует

различать выражение, «мнимая часть комплексного числа» и «мнимое число». Множитель « i » в записи комплексного числа можно трактовать как

ло z = a −bi является сопряженным для числа z = a +bi .

4. Геометрическое изображение комплексных чисел

Мы привыкли, что множество R удобно изображать точками на прямой. Как быть с новыми числами ?

Для геометрического истолкования комплексных чисел формулу (*) перепишем в виде

2)z =1 =1 (cos0 +isin 0) ,

3)−1 =1 (cosπ +isinπ),

5. Операции над комплексными числами

Речь идет об обычных операциях (сложение, вычитание, умножение, деление, выведение в степень, извлечение корней).

Удобство выполнения операций зависит от избранной формы представления комплексных чисел. Сразу же заметим, что представление ком-

оно требовалось для корректного и внятного определения новых объектов

еще одну ─ показательную (экспоненциальную) форму представления.

как умножение над обычными двучленами, а затем в итоговом результате надо выражение «i2 » заменить на « –1 ».

(1+ 2i)(2 −3i) =1 2 + 4i −1 3i −6i2 = 2 +i + 6 =8 +i .

Возведение в степень уже становится громоздким. Прежде выясним, что происходит при возведении в степень мнимой единицы i :

i1 = i, i2 = −1, i3 = i2 i = −i, i4 = i2 i2 = (−1)(−1) =1, i5 = i4 i =i

Таким образом, идет чередование (i, −1, −i,1), (i, −1, −i,1)...

По соглашению считаем , что i0 =1.

Лекция № 15 Комплексные числа проф. Дымков М. П. 142

Извлечение квадратного корня: положим

a bi x yi a bi (x yi)2 x2 2xyi y2i2

(x2 y2 ) (2xy)i 10 a x2 y2 x, y.b 2xy

Эти формулы показывают, что операции умножения, деления, возведения в степень, извлечения квадратного корня – громоздки. Поэтому для упрощения обычно используют тригонометрическую форму записи комплексных чисел.

Умножение: r1(cos 1 isin 1) r2 (cos 2 isin 2 ) r1 r2 (cos( 1 2 )) .

Возведение комплексного числа в целую степень:

(r(cos isin ))n rn (cos n isin n ) при r 1 следует известная формула

Тогда можно показать, что n z имеет ровно « n » штук различных значений:

Отметим, что если k заставить принимать больше значений, то пойдет «повторение» уже найденных чисел.

6. Экспонента с комплексной переменной

Имеет место следующая формула Эйлера (возведение в мнимую степень)

eiφ = cosφ +isinφ – формула Эйлера

Строгое обоснование этой формулы можем получить из соотношения

Отсюда следует (см. также тригонометрическую форму записи), что для записи комплексных чисел можно использовать так называемую показательную форму записи

z = reiφ .

Тогда, например, умножение чисел легко реализуемо как z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1 r2ei(φ1+φ2 ) .

Аналогично, деление чисел z1z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2ei(φ1−φ2 )

Определим экспоненциальную функцию с произвольным комплексным

Тригонометрические функции комплексной переменной z C можно ввести, опираясь на формулы Эйлера: