Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf

Скачиваний:

254

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2823 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 112

Условия возрастания и убывания функции

Понятие экстремума

Необходимое условие экстремума

Первое достаточное условие экстремума

Схема исследования функции на экстремум

Второе достаточное условие экстремума

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Выпуклость функции. Точки перегиба

Схема исследования функции на выпуклость

Асимптоты графика функции

Исследование функций и построение их графиков

Приложение. Эластичность функции

Условия возрастания и убывания функции

Изучим условия возрастания (не убывания) и убывания (не возрастания) функций. Напомним, что функция y = f (x) называется возрастающей на

промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства x2 > x1 следует

неравенство f (x2 ) > f (x1) . Функция называется убывающей на промежутке, если из x2 > x1 следует f (x2 ) < f (x1).

Функция y = f (x) называется неубывающей на промежутке, если из неравенства x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) ≥ f (x1), и невозрастающей, если из условия x2 > x1 следует f (x2 ) ≤ f (x1).

Теорема 1. (условия возрастания (убывания) монотонной функции).

Если f	(x) > 0	на промежутке		X , то функция y = f (x) возрастает на этом
′		если f (x) < 0 на промежутке			X , то функция y = f (x)		убывает
промежутке,
		′
на этом промежутке.
◄Для функции			y = f (x)	выполняются	условия теоремы	Лагранжа на
отрезке	[x1; x2 ] X ,		поэтому	существует	точка x0 (x1; x2 ) ,	в	которой
f (x2 ) − f (x1) = f ′(x0 ) (x2 − x1) . Анализируем это равенство: если						f ′(x0 ) > 0, то
из неравенства x2 > x1			следует неравенство		f (x2 ) > f (x1) и обратно. Если же

f ′(x0 ) < 0, то из x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) < f (x1).►

© БГЭУ Лекция № 13-14		Исследование функций с помощью производных					проф. Дымков М. П.	113
Замечание 1. Обратное утверждение звучит несколько иначе. Если
функция возрастает на промежутке, то f ′(x0 ) ≥ 0 или не существует.
Пример 1.	Функция		y = x3	возрастает на		всей числовой		оси,
соответственно	f	(x) > 0 , но в точке		x = 0 производная		f	(0) = 0.
	′						′
Пример 2. Функция			2x,	x≥ 0	не имеет производной в точке			х=0
			y =	<x0
			x,

(левая и правая производная различны), однако она возрастает при всех значениях х, в том числе и в точке х = 0.

Замечание 2. Опираясь на более «мягкие» условия, можно сформулировать прямую теорему: если производная функции, непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на этом промежутке не убывает. Тогда прямая и обратная теоремы на формализованном языке звучат так:

для того,	чтобы непрерывная на промежутке функция y = f (x) была
неубывающей	на	этом промежутке, необходимо		и достаточно, чтобы
f ′(x0 ) ≥ 0.
Понятие экстремума
Определение.		Точка	x0 называется точкой	локального максимума

функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f (x) ≤ f (x0 ).

Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f (x) ≥ f (x0 ).

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами

(extremum – крайний).

Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции y = f (x), если для всех х из окрестности точки x0 верно строгое неравенство f (x) < f (x0 ) (соответственно

f (x) > f (x0 ) ).

Замечание. В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции в точке x0 .

		2	,	x≠ 0
Пример 3.	x		,	x≠ 0	разрывна в точке	х = 0, но имеет в этой
Пример 3.	Функция y =			x= 0	разрывна в точке	х = 0, но имеет в этой
	1,			x= 0

точке максимум, поскольку существует окрестность точки х = 0, в которой f (x) < f (x0 ).

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 114

Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема 2. (о необходимом условии экстремума).

Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная f ′(x0 ) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

◄Если в точке x0 функция имеет экстремум и дифференцируема, то в

некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю.

Но функция y = f (x) может иметь экстремум и не быть дифференцируемой в этой точке. Достаточно указать пример. Примером может

служить функция y =

которая имеет минимум в точке

x = 0,

однако не

дифференцируема в этой точке. ►

Замечание

Геометрическую

иллюстрацию теоремы дает Рис.1. Функция

y = f (x) , график которой представлен на этом

y = f ( x )

рисунке, имеет экстремумы в точках x , x

, x ,

при

этом

точке

производная

не

существует,

в точке

она равна нулю, в

точке

обращается

бесконечность.

точках x2,

функция экстремума не имеет,

причем в точке x2 производная обращается в

бесконечность, в точке x5

производная равна

Рис

. 1

нулю.

Замечание 2. Точки, в которых выполняется необходимое условие

экстремума для непрерывной функции, называются критическими

точками

этой

функции.

Они определяются из

уравнения

′

(стационарные

f (x) = 0

точки) или f

′

(x) = ∞.

Замечание 3. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Пример 4. Рассмотрим функцию y = x3 . Критической для этой функции

является точка х = 0, что следует из уравнения f ′(x) = 3x2 = 0. Однако эта функция при всех х является возрастающей и экстремума не имеет.

© БГЭУ Лекция № 13-14				Исследование функций с помощью производных						проф. Дымков М. П.	115

Теорема 3.			(о достаточных условиях экстремума).
Пусть для			y = f (x) выполнены следующие условия:
1) y = f (x)			непрерывна в окрестности точки x0 ;
2)	f	(x) = 0	или		f (x) = ∞	в точке		x0 ;
3)	f	′			′			меняет свой знак.
3)	f	(x) при переходе через точку x0						меняет свой знак.
		′
Тогда в точке x = x0				функция y = f (x) имеет экстремум:
минимум, если при переходе через точку x0									производная меняет свой знак
с минуса на плюс;
максимум, если при переходе через точку									x0 производная меняет свой
знак с плюса на минус.					f (x) при переходе через точку x0 не меняет своего
Если производная					f (x) при переходе через точку x0 не меняет своего
					′
знака, экстремума в точке x = x0 нет. ◄
Условия теоремы можно свести в следующую таблицу
					Знак производной				Экстремум
					-			+	Минимум
					+			-	Максимум
					-			-	Нет
					+			+	Нет
Так как по условию f (x) < 0 при x < x0 , то на левом относительно точки
x0 интервале функция					′	убывает. Так как f (x) > 0 при x > x0 , то на
x0 интервале функция					y = f (x)	убывает. Так как f (x) > 0 при x > x0 , то на
									′
правом		относительно точки				x0	интервале		функция f (x) возрастает.
Следовательно,			f (x0 ) есть наименьшее значение функции							f (x) в окрестности
точки	x0 , а это означает, что f (x0 )						есть локальный минимум функции				f (x) .

Если при переходе с левого интервала на правый функция продолжает убывать, то в точке x0 не будет достигаться минимальное значение функции

(экстремума нет).

Аналогично доказывается существование максимума.►

На рис. 2 a-h представлены возможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции, производная которой в критической точке равна нулю или обращается в бесконечность.

у	у		у	у
х	x0	х	х	х
x0	x0		x0	x0
а)	в)		с)	d)
а)	у
у	у		у	у
х	х		х	х
x0	x0		x0	x0
e)	f)		g)	h)
	Рис. 2

© БГЭУ Лекция № 13-14			Исследование функций с помощью производных						проф. Дымков М. П.		116
Замечание. Если условие непрерывности							функции		в	у
самой	точке	x0	не выполнено, то вопрос				о	наличии
экстремума остается открытым.											х
Пример 5.											х
Пример 5.
Рассмотрим			разрывную	в	точке	x0		функцию		Рис. 3

-x +1,x

≤ 0,

(рис.3). Производная

этой функции меняет

знак

при

f (x) =

> 0

переходе через точку

x0 = 0 , однако функция в точке

x0 = 0 экстремума не

имеет.

Пример 6. Пусть дана функция

≠ 0,

x x,

(рис.4). Как видно из рисунка,

f (x)

f (x) =

x = 0

имеет локальный максимум в точке x0 = 0 ,

однако функция

Рис. 4

имеет разрыв в точке x0 = 0 .

Замечание

3. Если функция имеет в

точке x0

экстремум,

например,

минимум, то необязательно слева от точки

x0 функция монотонно убывает, а

справа от x0

монотонно возрастает.

Пример 7. Пусть дана функция

−cos

x ≠ 0,

f (x) =

(рис. 5).

x = 0

y = 3x2

y = x

Можно

показать,

что

в точке х = 0 данная

функция непрерывна и имеет минимум.

Производная функции

′

Рис. 5

f (x) = 2x

2 - cos

−sin

в любой окрестности

точки х = 0 меняет знак бесконечно много раз. Поэтому функция f (x) не

является монотонно убывающей или возрастающей ни слева, ни справа от точки х = 0.

Схема исследования функции на экстремум:

1)найти производную f ′(x);

2)найти критические точки, т.е. такие значения х, в которых f ′(x) = 0 или

f′(x) = ∞;

3)исследовать знак производной слева и справа от каждой критической

© БГЭУ Лекция № 13-14		Исследование функций с помощью производных			проф. Дымков М. П.		117
точки. Если при переходе через критическую точку				производная f (x)		меняет
					′
свой знак с плюса на минус, то в точке x0			функция	f (x)	имеет максимум, если
знак f (x)	меняется с минуса на плюс,		то в точке x0		функция f (x)	имеет
′	Если при переходе х через критическую точку x0 знак f					(x)	не
минимум
						′

меняется, то в точке x0 функция f (x) не имеет ни максимума, ни минимума; 4) найти значения функции в экстремальных точках.

Теорема 4. (2 -ое достаточное условие экстремума). Пусть для функции y = f (x) выполнены следующие условия:

1.y = f (x) непрерывна в окрестности точки x0 ,

2.f ′(x) = 0 в точке x0

3.f ′′(x) ≠ 0 в точке x0 .

Тогда, в точке x0

достигается экстремум, причем:

если f ′′(x0 ) > 0, то в точке

x = x0

функция

y = f (x)

имеет минимум,

если

f ′′(x0 ) < 0 , то

при

x = x0

функция y = f (x) имеет максимум.

◄ По определению 2-й производной f

′′

f ′(x) − f ′(x0 )

) = lim

− x

x→x0

′

Но по условию f

′

Поэтому

′′

) = lim

(x)

Если

′′

(x ) = 0.

− x

(x ) > 0, то

x→x0

дробь

f ′(x)

> 0

в некоторой

окрестности

точки

x = x .

При

x < x

дробь

x − x0

При

x > x0

дробь положительна,

при условии

положительна, если f (x) < 0 .

′

f (x) при переходе через точку

x = x0

меняет знак,

f (x) > 0 . Следовательно,

′

поэтому есть экстремум. Знак производной меняется с минуса на плюс, значит,

это минимум. Аналогично доказывается случай			f ′′(x0 ) < 0 .►
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию y = x2 + 2x +3.
Находим производную y′ = 2x + 2 .
1) Находим	критические	точки, для	чего приравниваем к нулю
производную:	y′ = 2x + 2 = 0, →	0 = 1.

2)Изучаем знак производной слева и справа от этой точки (рис. 6). Поскольку знак производной меняется с минуса на плюс, в точке х = −1 достигается минимум.

3)Находим величину минимума: ymin (−1) = 2.

Пример 9.					f ′(x) -
							+
Исследовать на экстремум функцию y = 3			x2	+1.			+
	2	1				-1	х
1) Находим производную y′ =						-1

	3	3 x .				Рис. 6

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 118

2)Критической точкой является x = 0, т.к. в этой точке f ′(0) = ∞.

3)Исследуем знак у' слева и справа от точки x = 0. Очевидно, f ′(x) < 0 ,

если x < x0	, и f (x) > 0 , если	x > x0 . Таким образом, точка	x = 0 есть точка
	′

минимума данной функции. 4) ymin (0) =1.

Пример 10.

Исследовать на экстремум функцию y = e-x2 .

1)Находим первую производную: y′ = -2xe-x2 .

2)Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку x = 0.

3)Далее находим вторую производную: y′′ = −2e-x2 + 4x2e−x2 . Ее значение

вточке x = 0 равно -2.

4)Делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем: ymax (0) =1.

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [а; b], то,

согласно 2-й теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Если свое наибольшее значение М функция f (x) принимает во внутренней точке x0 отрезка [а; b], то M = f (x0 ) будет локальным максимумом функции f (x) , т. к. в этом случае существует окрестность точки x0 такая, что значения f (x) для всех точек х из этой окрестности будут не

больше f (x0 ) .

Однако свое наибольшее значение М функция f (x) может принимать и на концах отрезка [а; b]. Поэтому, чтобы найти наибольшее значение М непрерывной на отрезке [а; b] функции f (x) , надо найти все максимумы функции в интервале (а; b) и значения f (x) на концах отрезка [а; b] и выбрать

среди них наибольшее число. Вместо ограничиться нахождением значений Наименьшим значением m непрерывной

исследования на максимум можно функции в критических точках. на отрезке [а; b] функции f (x) будет

наименьшее число среди всех минимумов функции f (x) в интервале (a; b) и значений f (a) и f (b) .

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2823 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019210.94 Кб5Lek-06-1C_8_2-ЗП.doc
#
24.09.2019117.76 Кб8Lek-07-1C_8_2-20.doc
#
24.09.201976.29 Кб7Lek-08-1C_8_2-80.doc
#
24.09.201994.72 Кб8Lek-09-1C_8_2-Свод.doc
#
24.09.2019441.34 Кб10Lek-10-Гал_8.10-Опис.doc
#
20.02.20162.06 Mб254Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.20162.84 Mб456Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf
#
20.02.2016744.96 Кб58lekcii_marketingovye_issledovaniya.doc
#
20.02.2016610.3 Кб35lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.2016645.12 Кб25lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.201610.32 Mб234lekcii_po_makroekonomike.doc