Общее уравнение прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через заданную точку M0 (x0; y0 ).

Уравнение прямой L, проходящей через две заданные точки

Угол между двумя прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых

Уравнение прямой в отрезках

Нормальное уравнение прямой (нормированное уравнение прямой)

Расстояние от точки до прямой

Прямую на плоскости относительно фиксированной системы координат можно задать:

1)двумя различными ее точками;

2)точкой и направлением (вектором) прямой;

3)точкой прямой и вектором, перпендикулярным прямой.

Рассмотрим различные варианты аналитического задания прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой

Пусть в прямоугольной системе координат Oху заданы вектор n(А; В)и точка

M0 (x0; y0 ).

Задача. Найти уравнение прямой L, проходящей через М0 и которая перпендикулярна вектору n.

Пусть М (х, у) − произвольная (текущая)

точка искомой прямой L. Тогда при любом положении точки М вектор M0M (x − x0, y − y0 ) должен быть вектору n (А; В). Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

Запишем (1) в координатной форме, пользуясь определением скалярного произведения:

Таким образом, показали, что координаты любой точки прямой L должны удовлетворять уравнению первой степени (3). Можно доказать и обратной: всякое уравнение (3) первой степени (относительно переменных х и у) определяет на

плоскости R2 некоторую прямую (перпендикулярную вектору n (А; В)). Уравнение (2) называют уравнением прямой, проходящей через дан-

ную точку перпендикулярно к данному вектору. Уравнение (3) называют общим уравнением прямой.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Под углом наклона прямой к оси 0х понимают угол, отсчитываемый в направлении движения, противоположным движению часовой стрелки, от положительного направления оси х до данной прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси 0х называется угловым коэффициентом этой прямой и обозначается k.

1.Если прямая оси 0х, то k = 0. Если прямая оси 0х, то k не существует (обращается в ).

2.Если известен угловой ко-

эффициент k и величина b отрезка, отсекаемого прямой на оси 0у, то к ак следует из рисунка, для произвольной

(4) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через заданную точку M0 (x0; y0 )

Искомое уравнение L имеет вид y = kx +b . Но так как M0 L, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению. Значит, y0 = kx0 +b . Вычитая это из предыдущего уравнения, имеем y − y0 = k (x − x0 ).

4. Уравнение прямой L, проходящей через две заданные точки

Пусть заданы M1 (x1; y1 ) и M2 (x2; y2 ), причем x1 ≠ x2 . Т.к. M1 L , то L имеет вид (см. выше) y − y1 = k (x − x1 ). Но этой же прямой должна принадлежать и

точка M2 . Следовательно, M2 удовлетворяет последнему уравнению: y − y1 = k (x − x1 ) y2 − y1 = k (x2 − x1 ). Отсюда k = (y2 − y1 )(x2 − x1 ). Под-

6. Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая отсекает на осях координат Oх и Oу отрезки a ≠ 0 , b ≠ 0 , соответственно. Тогда легко видеть, что точки пересечения прямой с осями координат есть

M1 (a; 0), M2 (0;b). Составим теперь уравнение прямой, проходящей через данные точки пересечения M1 (a; 0), M2 (0;b).

─ уравнение прямой в отрезках.

7. Нормальное уравнение прямой (нормированное уравнение прямой)

Пусть на прямую (не проходящую через О), опущен перпендикуляр ОР, дли-

Для него характерно:

1)сумма квадратов коэффициентов при переменных х и у равна 1;

2)свободный член (− р) – отрицателен.

Пусть дано общее уравнение прямой Ax + By +C = 0 и для этой же прямой – ее нормальное уравнение x cosα + ysinα − p = 0 . Т.к. эти уравнения