Вычтем из элементов второго столбца элементы первого, умноженные на 3, а из элементов третьего столбца вычтем соответствующие элементы первого, умноженные на 4. Полученный определитель вычислим посредством его разложения по первой строке. Получим:

2) Существуют обобщение свойства разложения – можно осуществить разложение не по одному ряду, а по нескольким одновременно (теорема Лапласа).

9. (сравните со свойством 8). Сумма произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю.

Например, сумма элементов первой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов второй строки равно

a11 A21 + a12 A22 + + a1n A2n = 0.

§ 4. Обратная матрица

Пусть An×n = (aij )− квадратная n ×n матрица.

Определение. Говорят, что матрица А невырожденная, если det A ≠ 0. В противном случае т.е если det A = 0 , матрица А называется

вырожденной матрицей.

Замечание. Можно показать, что матрица невырожденная тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы.

Определение. Матрица A−1 называется обратной к матрице А, если выполнено условие A−1 A = AA−1 = En×n .

(Сравните с понятием обратных чисел, введенное для ненулевых действительных чисел a a−1 =1. Не путайте обозначение A−1 с отрицательными

показателями, введенные только для действительных чисел. Запись A−1 ≠ 1A

не имеет смысла !)

Теорема. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную, причем она единственная.

Напомним, что если a ≠ 0, то a−1 −единственно.

Так как

A−1 A E = A−1 A A−1E = E A−1 ,

то A−1 = B . Таким образом, матрица, составленная из элементов bij , будет искомой обратной матрицей A−1 = B .

§ 5. Ранг матрицы

Мы уже упоминали, что прямоугольные Am×n матрицы можно рассматри-

вать как систему, состоящую из m штук n-мерных векторов-строк (или как систему из n штук m-мерных векторов). Поэтому естественным является рангом матрицы назвать ранг полученных систем векторов. Однако, мы имеем две различные системы векторов. Как быть? Оказывается, верна следующая теорема.

Теорема. Для матрицы Am×n максимальное число линейно независимых

строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Поэтому корректно следующее определение.

Определение. Рангом матрицы А назовем максимальное число ее линейно независимых векторов-строк (или столбцов).

Ранг матрицы обозначается как rank А или r (А).

Как находить rank А? В основу вычисления ранга матрицы (соответственно и ранга системы векторов (см. Часть 1)!) могут быть положены следующие свойства.

Свойства ранга матрицы.

1.При транспонировании матрицы ранг не меняется.

2.Если из матрицы вычеркнуть нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3.Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Оказывается, что с помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к так называемой канонической форме матрицы, т.е. к матрице вида

т.е. матрица, у которой в начале диагонали, исходящей из левого верхнего угла, стоят 1, а все остальные элементы равны 0. Тогда ранг матрицы равен количеству единиц на диагонали.

Существуют другие (эквивалентные предыдущему) определения ранга матрицы. Прежде введем новые понятия.

Определение. Рассмотрим матрицу Am×n . Возьмем любое натуральное число k. Выделим в ней k строк и k столбцов, где k ≤ min{m, n}. Из элемен-

тов, стоящих на пересечении выделения строк и столбцов, составим матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка (ранее был введен минор элемента матрицы).

Очевидно, таких миноров k-го порядка может оказаться несколько.

Определение. Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля.

Очевидно, что 0 ≤ r(A) ≤ min{m, n}.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Один из способов нахождения ранга матрицы, основанный на данном определении ─ «метод окаймляющих миноров».

Здесь ранг матрицы равен двум r (А) = 2, так как легко видеть, что есть ненулевые миноры второго порядка, а все миноры 3-го порядка равны 0.