определяют одну и ту же прямую, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т.е.

так называемый нормирующий множитель, т.е. множитель, после умножения на который общее уравнение приобретает вид нориального уравнения.

Для определения знака «µ» следует воспользоваться третьим

или 0,6x + 0,8y −1 = 0 .

Вопрос: на каком расстоянии от начала координат находится данная прямая? Ответ: на расстоянии d =1 (это следует из смысла коэффициентов нормального уравнения прямой)!

8. Расстояние от точки до прямой

Задача. Найти расстояние d от точки M0 (x0, y0 ) до прямой, заданной нормальным уравнением x cosα + ysinα − p = 0 .

Для удобства, пусть пока О и M0 лежат по разные стороны от прямой.

Уравнение прямой, проходящей через М0 и данной прямой, имеет вид

x cosα + ysinα −( p + d) = 0 (вспомните смысл

нормального уравнения прямой!). Точка М0 лежит на этой прямой. Следовательно, ее координаты удовлетворяют этому

уравнению , т.е. верно равенство x0 cosα + y0 sinα −( p + d) = 0.

Отсюда d = x0 cosα + y0 sinα − p .

Нетрудно проверить, что если О и М0 лежат по одну сторону от прямой

(Упр.), то d = −(x0 cosα + y0 sinα − p).

Нормальное уравнение прямой имеет вид: 0,6x + 0,8y −1 = 0

Тогда d = 0,6 (−1) + 0,8 3 −1 = 0,8.

Общее уравнение плоскости

Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности (« ») и параллельности ( « » ) плоскостей

Нормальное уравнение плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Угол между прямыми. Условия « » и « » двух прямых

Угол между прямой и плоскостью. Условия « » и « » прямой и плоскости

Точки пересечения прямой и плоскости

1. Общее уравнение плоскости

Пусть плоскость Р проходит через точку M0 (x0, y0, z0 ) перпендикулярно вектору n (А, В, С). Вектор n называют нормальным вектором плоскости. Эти условия определяют единственную плоскость в R3 . Найдем ее уравнение.

Возьмем в плоскости P произвольную точку M (x, y, z) . Тогда вектор

M0M (x − x0, y − y0, z − z0 ) будет n .

Следовательно, их скалярное произведение равно 0.

(n, M0M )= 0 − векторное уравнение плоскости.

Это равенство в координатной форме имеет вид

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C (z − z0 )= 0 ─ уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору.

После преобразования последнее равенство принимает вид

где D = −Ax0 − By0 −Cz0

Упражнение. Если в (**) некоторые коэффициенты равны нулю, то такая плоскость имеет характерные особенности в расположении относительно осей координат. Проанализируйте!

2.Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности (« ») и параллельности ( « » ) плоскостей

углом ϕ между плоскостями угол, образованный нормальными векторами этих плоскостей ni = (Ai , Bi ,Ci ), i =1,2. Следовательно,

A1 A2 + B1 B2 +C1 C2 = 0 ─ условие перпендикулярности плоскостей.

Если плоскости , то векторы n1 и n2 − коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны с некоторым коэффициентом пропорциональности t.

3. Нормальное уравнение плоскости

По аналогии с прямой в R2 можно вывести нормальное уравнение плоскости в виде x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0,

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость; cosα,cos β,cosγ − координаты вектора нормали плоскости единичной длины или, по-другому, α,β,γ −углы. образованные нормалью с координатными осями).

Нормирующий множитель µ (т.е. тот множитель, который общее

плоскости Ax + By +Cz + D = 0вычисляется по формуле

d = Ax0 + By0 +Cz0 + D .

A2 + B2 +C2

5. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (Упр.)