Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf

Скачиваний:

254

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2825 26 27 28 > Следующая >>>

Исследование функций с помощью производных

проф. Дымков М. П. 123

Значительно

короче

можно

решить

y = x −1

пример, используя «о»-малое.

y = −x +1

y = x(x - 2)

= x

1−

Поскольку

x → ∞,

заменим

скобку

асимптотическим равенством. Получим

y =

+o(1).

-1

−

1−

−

Рис. 12

Пусть x → +∞.

Тогда y =

−

+ o(1) = x −1+ o(1) .

Пусть x → −∞. Тогда y =

−

+ o(1) = −x +1+ o(1).

Как известно, о(1) есть бесконечно малая величина. Правая

y = x -1 и

левая y = −x +1 наклонные асимптоты получены.

Замечание 1. Прямая x = x0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке x = x0 . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Замечание 2. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k=0.

Замечание 3. Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается

lim f (x) = ∞, то функция может иметь наклонную асимптоту.

x→∞

Замечание 4. Кривая y = f (x) может пересекать свою асимптоту, причем многократно.

Исследование функций и построение их графиков

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Построение сразу по точкам, за исключением элементарных случаев, может привести к потере на графике важных свойств функции. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика представлена ниже.

1. Область определения D(y) и область допустимых значений E(y) функции.

2.Симметрия и периодичность.

3.Точки разрыва и промежутки непрерывности функции.

4.Нули функции и промежутки постоянного знака.

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 124

5.Экстремумы и промежутки монотонности.

6.Точки перегиба и промежутки выпуклости.

7.Асимптоты.

Замечание 1. Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика. Однако без нахождения разрывов, экстремумов, асимптот и исследования на выпуклость часто невозможно получить график, правильно отражающий поведение функции.

Замечание2. Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Замечание 3. Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

Пример 13. Провести полное исследование функции y =	1	и
	1+ x2

построить график.

1.Областью определения является вся числовая ось.

2.Функция четная: f (-x) = f (x), так что ее график симметричен

относительно оси ординат. Из четности функции следует, что достаточно построить ее график в правой полуплоскости, а затем отразить его в левую полуплоскость.

3.Точек разрыва нет, функция непрерывная на всей числовой оси.

4.При х = 0 имеем у =1. Функция положительна при всех x, так что

график функции лежит в верхней полуплоскости.
′		2x	. Функция возрастает при	х < 0 и
		(1+ x2 )2
5. y	= −
убывает	при	х > 0.	Точка х = 0 – критическая. При
переходе х через точку х = 0 производная у '(х)				меняет

знак с плюса на минус (рис.13). Следовательно, точка х = 0 – точка максимума, у(0) =1.

	y′′ = -2	1- 3x2
6.				.	Вторая			производная
6.		(1+ x	2 3	.	Вторая			производная
		(1+ x	)
обращается в нуль в точках x = ±						1	. Исследуем точку

						3
						3

x = 13 . При x > 13 имеем у" >0, т.е. кривая выпукла

max
′	-
y ( x ) +	-
0		х
0
Рис. 13

перегиб

′′	-		+
y ( x )	-		+	х
0	∩ 1			х
		3
	Рис. 14

© БГЭУ Лекция № 13-14		Исследование функций с помощью производных	проф. Дымков М. П. 125
вниз; при x <	1	получаем у"<0 (кривая выпукла	вверх) (рис.14).

	3
	3

Следовательно, x = 13 - точка перегиба

7.	lim	1		= 0.	График		имеет
	x→+∞1+ x2					у			точки		максимум
горизонтальную			асимптоту				=	0,
									перегиба
наклонных асимптот нет.									горизонтальная	1	y = 1+ x2
Строим		график			в		правой
									асимптота у=0
полуплоскости и симметрично отражаем											х
его в левую полуплоскость. График										Рис.	15
функции изображен на рис. 15.

Пример 14.

Провести полное

исследование функции y =

(x +1)3

(x −1)2

построить график.

1. Область определения функции х ≠1, т.е.

D(y) = (−∞, 1) (1; + ∞) .

Так

как

при

х < −1

y < 0,

при

x > −1

y > 0 ,

lim

y(x) = −∞, lim

y(x) = +∞,

то

множество

значений

функции

x→−∞

x→+∞

Е (у)= (−∞; + ∞) .

2. Функция у(х) не является периодической. Она ни четная, ни нечетная, т.е. ее график не обладает симметрией. (Этот очевидный для данной функции

пункт можно было опустить).

точке

х=1

функция

имеет

разрыв

второго рода,

т.к. lim

y(x) = +∞, lim y(x)

= +∞.

x→1−0

x→1+0

y(x)

Точки

пересечения

с осями координат:

-1

х = 0,

у =1,

х = −1,

у =

. 0Промежутки

Рис. 16

постоянного знака представлены на рис. 16.

5. Найдем интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции. Для

этого вычислим первую производную:

′

3(x +1)2 (x −1)2 − 2(x −1)(x +1)3

(x +1)2 (x −5)

(x −1)4

= (x −1)3 .

Отсюда получим

′

min

а)

′

> 0 при x <1 и x > 5 ,

следовательно, на

y (x)

этих промежутках

функция возрастает,

а при

х (1,5)

у′<

и функция убывает. (рис. 17).

Рис. 17

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П.

126

б)

у′ = 0 при х=5 и в точке (5; 27/2) функция имеет локальный минимум.

Точка

х = −1 тоже является

критической точкой

у (−1) = 0,

но

локального

′

экстремума функции в этой точке нет.

Найдем

интервалы выпуклости

функции. Для этого вычислим

вторую

′′

24(x +1)

′′

< 0

производную:

== (x −1)4 .

Тогда

при

′′

перегиб

х < −1 и функция выпукла вверх, а на промежутках

y ( x )

∩

-1

−1< x <1 и xу>1

′′ > 0 и функция выпукла

вниз.

Точка

(−1, 0)

точка перегиба графика

функции

Рис. 18.

(рис. 18).

7. Прямая х=1 будет вертикальной асимптотой графика функции. Наклонными асимптотами графика функции будут прямые, заданные уравнением у=kx+b, где коэффициенты k и b определяются равенствами

k = lim		f (x)		,	b = lim ( f (x)− kx).
k = lim		x		,	b = lim ( f (x)− kx).
	x→±∞	x			x→±∞
Поскольку
k = lim	(x +1)3					(x +1)3
			=1,		b = lim		− x	= 5,
			=1,		b = lim	(x −1)2	− x	= 5,
x→±∞ (x −1)2 x					x→±∞	(x −1)2

то единственной наклонной асимптотой будет прямая у=x+5.

точка	у						y
минимума							30
							25
точка			наклонная				20
перегиба			наклонная				20
перегиба			асимптота				15
			асимптота				15
y = x +5		1	х				10
		1	х				5
	-1						5				20x
	-1	x =1		-15	-10	-5		5	10	15
		x =1	вертикальная	-15	-10	-5	-5	5	10	15
			асимптота				-5
			асимптота				-10
	Рис. 19а						-10
	Рис. 19а						Рис. 19б

График данной функции, построенный по результатам исследования, представлен на рис. 19а. На другом рисунке (рис. 19б) представлен график этой же функции, рассчитанный и построенный компьютерной программой «Mathematica 5.0».

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2825 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019210.94 Кб5Lek-06-1C_8_2-ЗП.doc
#
24.09.2019117.76 Кб8Lek-07-1C_8_2-20.doc
#
24.09.201976.29 Кб7Lek-08-1C_8_2-80.doc
#
24.09.201994.72 Кб8Lek-09-1C_8_2-Свод.doc
#
24.09.2019441.34 Кб10Lek-10-Гал_8.10-Опис.doc
#
20.02.20162.06 Mб254Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.20162.84 Mб456Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf
#
20.02.2016744.96 Кб58lekcii_marketingovye_issledovaniya.doc
#
20.02.2016610.3 Кб35lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.2016645.12 Кб25lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.201610.32 Mб234lekcii_po_makroekonomike.doc