МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет»

М.П. Дымков

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр

Курс лекций для студентов экономических

специальностей вузов

Минск 2014

Векторы и операции над ними.

Понятие n-мерного векторного пространства

Скалярное произведение векторов

Угол между n-мерными векторами

Линейная зависимость векторов

Базис и ранг системы векторов

Ортонормированный базис

§1. Векторы и операции над ними.

Всвоей практической деятельности человек встречается с величинами различного рода. Одни из них, например, площадь, объем, масса, температура полностью характеризуются заданием своих численных значений. Такие величины называются скалярными. Другие же величины, например, сила, скорость, ускорение определяются не только своим числовым значением, но и направлением их действия. Такие величины называют векторными. При этом для анализа векторных величин с одинаковым успехом используют как геометрическую, так и алгебраическую формы их представления.

Вгеометрии вектором называют направленный отрезок. Геометрическое представление вектора на плоскости приводилось в школе, и поэтому не будем его здесь в деталях приводить.

Для алгебраического описания векторов их связывают с некоторой системой координат. В фиксированной системе координат, например, в плоскости

каждый вектор a определяется однозначно своими двумя координатами: a = (a1, a2 ); вектор в пространстве ─ тремя координатами: a = (a1, a2 a,3 ).

Замечание. При геометрическом изображении векторов часто используют понятие свободных и связанных векторов. Под связанным вектором понимают направленный отрезок прямой, у которого указано какой из концов является началом и концом. Длиной вектора называют расстояние (в выбранном масштабе) между конечными точками отрезка. Часто начало вектора не имеет значения, существенны лишь его длина и направление. Два вектора называют эквивалентными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (сонаправлены). Понятно, что если есть фиксированный связанный вектор, то ему соответствует бесконечно много эквивалентных ему связанных векторов. Все множество – это множество эквивалентных связанных векторов (пучок векторов) называют свободным вектором. Для задания свободного вектора достаточно задать какой-нибудь один его представитель, например, выходящий из

Лекция №1 Векторы и операции над ними проф. Дымков М.П. 2

начала координат. Тогда второй конец вектора однозначно определит единственную точку (a1, a2 a,3 )−конец вектора (здесь говорим о векторах в про-

странстве). И наоборот, задав точку (a1, a2 a,3 ), мы физически задаем вектор с началом в начале координат, а конец – (a1, a2 a,3 ).

Приведем теперь обобщение понятия вектора на произвольный n-мерный случай. Такое обобщение естественно и диктуется приложениями. Часто приходится изучать объекты, для задания которых недостаточно задать 2 или 3 координаты. Например, положение самолета определяется в пространстве заданном 3-х координат его центра масс, 2-мя углами описывающие направление оси самолета, угол поворота самолета вокруг его оси (углы атаки, тангажа) и др. Другой пример, пусть некоторое предприятие в своем производстве использует

ют записывать n-мерный вектор как вектор столбец и тогда для того, чтобы записать в виде строки используют операцию транспонирования

x1 T

xT = x2 = (x1, x2 , xn ,).xn

Мы не будем следовать жесткому стилю обозначений.

Пусть λ – любое действительное число. Произведением вектора x на число λ называется n-мерный вектор c вида c = (λx1, λx2 , λxn,) и запи-

сывают как c = λ x .

Введенные выше две операции называют линейными операциями. Замечание. При геометрическом изображении векторов сумму 2-х векто-

ров можно находить по правилу параллелограмма

Позже убедимся, что такое определение приводит к тому же результату, что и ранее.

§ 2. Понятие n-мерного векторного пространства

Так как линейные операции (сложение и умножение на число) сводятся к операциям над их координатами, а они в свою очередь являются обычными действительными числами, то легко проверить справедливость следующих свойств введенных выше операций над векторами.

Пусть x, y, z – произвольные n-мерные векторы. Тогда:

1)x + y = y + x −переместительный закон (или коммутативность);

2)(x + y)+ z = x +(y + z)−сочетательный закон (или закон ассоциативности относительно сложения);

3) λ(x + y)= λx + λy , где λ – действительное число (дистрибутивный закон относительно сложения векторов);

4)(λ + µ)x = λx + µx , где λ, μ – действительные числа (дистрибутивный закон относительно сложения чисел);

5)λ(µx)= (λµ)x −ассоциативный закон относительно умножения на числа;

6)x + 0 = x , где 0 = (0, , 0) ;

7)для любого вектора x существует такой вектор (−x), что x +(−x)= 0;

8)1 x = x ;

9)0 x = 0.

Определение 5. Совокупность всех n-мерных векторов с линейными операциями (сложение и умножение на действительное число), подчиняющиеся свойствам 1) – 9), называется n-мерным линейным (или векторным) пространством. Если координаты векторов – действительные числа, то про-

странство называется арифметическим и обозначается Rn .

Например, R1 = R −множество действительных чисел – одномерное арифметическое пространство.

Отметим, что в определение векторного пространства не входит никакое умножение вектора на вектор.

Замечание. Множество всех векторов могут образовывать и другие алгебраические структуры , такие как группа, кольцо, тело, метрическое пространство и др. Эти структуры получаются, если при определении операций над векторами отказаться от некоторых привычных нам свойств или допустить другие операции (например, от свойства коммутативности, или ввести новую операцию умножения вектора на вектор и т.д.) .

Замечание. Линейные пространства могут быть образованы не только лишь с помощью векторов, эти пространства могут быть построены из объектов самой различной природы (возможность такого абстрагирования, а значит, и разработки универсальных методов исследования, отличает математику от других наук!). Например:

1) множество P[x] всех многочленов от одной действительной переменной с действительными коэффициентами, если сложение и умножение на число определить обычным образом;

2)множество всех бесконечных последовательностей чисел (x1,..., xn ,....), если сложение и умножение определить покомпанентно;