МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет»

М.П. Дымков

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр

Курс лекций для студентов экономических

специальностей вузов

Минск 2014

Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 1

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) Сравнение функций по скорости роста Формулы Маклорена и Тейлора Ряды Маклорена для элементарных функций

Теорема Ферма (о равенстве нулю производной)

Пусть функция y = f (x):

1)дифференцируема на интервале (a;b) ,

2)достигает экстремума в точке x0 (a;b) .

рассматривается другой случай.►

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 2

Теорема Ролля. (о производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения). Пусть функция y = f (x)

1)непрерывна на отрезке [a;b];

2)дифференцируема на интервале (a;b) ;

3)на концах отрезка [a;b] принимает равные значения: f (a) = f (b) . Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 , в

которой f ′(x0 ) = 0.

◄Функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a;b] . В силу второй теоремы

Вейерштрасса она на этом отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения. Пусть это будут значения m и M. Могут представиться два случая:

f (a) = f (b) = M , наименьшее значение будет приниматься уже внутри отрезка. Следовательно, найдется точка x0 (a;b) , в которой f (x0 ) = m .

Но тогда по теореме Ферма f ′(x0 ) = 0.►

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Если f (a) = f (b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать так:

между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях).

Пусть функция y = f (x) :

1)непрерывна на отрезке [a;b];

2)дифференцируемана интервале (a;b) .

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 такая, что

f (b) − f (a) = f ′(x0 ) b −a

◄Введем вспомогательную функцию L(x) на отрезке [a;b] , определив ее так:

Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 4

теоремы Ролля и в таком случае g′(x) была бы равна нулю по крайней мере в

у = f (x) и y = g (x);

2) функция K(x) имеет производную всюду в интервале (a;b) , поскольку

каждое слагаемое в правой части функции K(x) имеет производную на этом интервале;

3) K(a) = K(b) = 0, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Из теоремы Ролля делаем вывод о существовании точки x0 , что K′(x0 ) = 0 .

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g(x) = x .

Теорема (правило Лопиталя) (нахождения предела отношения функций через предел отношения их производных).

Пусть функции y = f (x) и y = g(x)

1)дифференцируемывокрестности точки a , кроме,бытьможет,самой точки a ;

2)g(x) ≠ 0 и g′(x) ≠ 0 в этой окрестности;

◄В теореме ничего не сказано о значениях y = f (x) и y = g(x) в точке

х = а. Положим f (a) = g(a) = 0 . Так как теперь lim f (x) = f (a) и

x→a

lim g(x) = g(a) , то функции y = f (x) и y = g(x) будут непрерывны в точке а.

x→a

Поэтому на отрезке [a; x], где х - какая угодно точка окрестности точки а,