© БГЭУ Лекция № 6 Приложения определенный интеграл проф. Дымков М. П. 1
Двойные интегралы
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление площади |
|
Определенный (1-ый) интеграл |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление объема |
|
|
Двойной интеграл |
|
|||
|
Найти |
|
|
объем |
|||
Задача: |
|
|
|||||
цилиндроида, т.е. |
|
|
|
тела, |
|||
ограниченного |
|
|
сверху |
||||
поверхностью z = f (x, y) , |
снизу |
||||||
областью S плоскости Oxy и с боков прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе области S и имеющей
образующие, перпендикулярные плоскости Oxy.
Интегральная сумма Римана:
Vn = ∑ f (M i )∆Si = ∑ f ( xi , yi )∆Si
Двойной интеграл
|
|
||
V = limVn = lim |
∑ f (xi , yi )∆Si = ∫∫ f (x, y)dS |
||
d →0 |
d →0 |
|
S |
|
|
|
|
dS = dxdy |
элемент площади |
|
|
∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x, y)dxdy
S S
© БГЭУ Лекция № 6 |
Приложения определенный интеграл проф. Дымков М. П. 2 |
Вычисление двойного интеграла через повторные интегралы
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
область |
S |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
криволинейная трапеция |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
S : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
По методу сечений |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = ∫S(x)dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Но сечение S(x) |
представляет площадь криволинейной |
||||||||||
трапеции, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ограниченной |
сверху |
|
|
|
|
|
|||||
z = z(x) = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
x=const |
|
|
|
|
|
|
вертикальными |
|
|
|
|
|
||||||
прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = yi (x) |
|
x=const . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y2 |
( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S(x) = |
∫ f (x, y)dy |
|
|
|
|
|
|
||||
y1 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b y2 |
( x) |
b |
y2 |
( x) |
|
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫[ |
∫ f (x, y)dy]dx = ∫dx |
|
∫ f (x, y)dy |
|
|||
|
|
|
|
S |
|
a y1 ( x) |
a |
y1 ( x) |
|
||
|
|
|
|
b |
y |
2 ( x) |
d |
x2 ( y) |
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx |
∫ f (x, y)dy = ∫dy |
∫ f (x, y)dx |
|
|
|||||||
S |
|
|
|
a |
y1 ( x) |
c |
x1 ( y) |
|
|
|
|
