Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Комплексные числа

проф. Дымков М. П.

Рассмотрим двумерное линейное пространство Ω радиусвекторов на плоскости.

Каждый элемент z пространства Ω в некотором базисе

однозначно задается двухкомпонентным столбцом

Если за базисные элементы пространства Ω принять

g1 =

и g2 =

, то произвольный элемент z =

может

быть представлен в виде z =α

+ β

=αg1 + βg2 .

Введем операцию умножения элементов пространства Ω по следующему правилу:

	Определение 1.			Результатом операции умножения
	элементов z =	α	1	и z		=	α2		из Ω является элемент
1		β	1		2		β	2
	также этого пространства								z z		=	α1α2 − β1β2							.
	также этого пространства								z z		=	α1α2 − β1β2							.
									1	2		α	β	2	+α	2	β	1
												1		2		2		1

Определение 2. Двумерное линейное пространство Ω, с базисом g1 = 10 , g2 = 10 , в котором введена операция

умножения элементов согласно определению 1, называется множеством комплексных чисел, а каждый элемент z Ω - комплексным числом.

Комплексные числа

проф. Дымков М. П.

Замечания:

1°. Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует непосредственно из ее определения.

2°. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа z1

на ненулевое z2 называется комплексное число z такое, что

z = z		2	z .
1		2
3°.	Нетрудно				убедиться, что подмножество	комплексных
чисел вида				α	, где α - произвольное вещественное число, в
				α
				0
силу определения 2, обладает всеми свойствами						вещественных

чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексных чисел.

На практике более употребительна специальная, упрощенная

форма

записи

комплексных чисел:

в представлении

z =α

+ β

=αg

+ βg

символ

опускается (как бы

заменяется не записываемым явно множителем “единица”), а символ g2 заменяется символом i (называемым иногда “мнимой единицей”).

Тогда произвольное комплексное число z представимо как z = α+ βi , а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:

z1 + z2 = (α1 + β1i) + (α2 + β2i) = (α1 +α2 ) + (β1 + β2 )i;

λz = λ(α + βi) = (λα) + (λβ)i;

z1 z2 = (α1 + β1i)(α2 + β2i) = (α1α2 − β1β2 ) + (α1 β2 +α2 β1 )i.

Комплексные числа

проф. Дымков М. П.

Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами, если принимать во внимание, что i2 = −1, поскольку


	i2	= ii = (0 +1i)(0 +1i) =							0		0		=	−1	= (−1) + 0i = −1.
	i2	= ii = (0 +1i)(0 +1i) =							0		0		=	−1	= (−1) + 0i = −1.
									1		1			0
Тогда
Тогда	, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя
повсюду i2 на число (−1), имеем
	z z		2	= (α + β i)(α		2	+ β	i) =α α				2	+α βi +α			2	β i + β β			i2	=
1			2	1	1	2	2			1		2	1			2	1	1	2

= (α1α2 − β1β2 ) + (α1β2 +α2 β1)i,

которое согласуется с введенным выше определением.

Достаточно просто может выполняться также и операция

деления:

= α1 + β1i

(α1 + β1i)(α2 − β2i)

(α1α2 + β1β2 ) +(α2 β1 −α1β2 )i

α2 + β2i

(α2 + β2i)(α2 − β2i)

α22 + β22

α1α2 + β1β2

+α2 β1 −α1β2 i .

α22 + β22

Определение 3.

Для комплексного числа z =α + βi :

1°. Вещественное

число α называется вещественной частью z

и обозначается Re z .

мнимой

частью z и

2°. Вещественное число

называется

обозначается Im z .

3°.

Вещественное число ρ =

α2 + β 2 называется модулем z и

обозначается

4°.

Число ϕ

такое,

что cosϕ = α2 + β 2

и sinϕ =

α2 + β 2 ,

называется аргументом z и обозначается arg z , при условии, что

z ≠ 0.

α − βi

комплексно

5°.

Комплексное

число

называется

сопряженным числу z и обозначается z .

Комплексные числа

проф. Дымков М. П.

Замечание:

1°. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиус-векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные числа можно изображать точками на плоскости.

Свойства комплексного сопряжения

Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых z, z1 , z2 Ω:


1°.			= z ;
1°.		(z)	= z ;
2°. Число z будет вещественным тогда и только тогда,									когда
	z = z ;
3°.	Число				zz =α2 + β 2		всегда	вещественное	и
неотрицательное;
4°.				= z1 + z2 ;			= z1 z2 ;
4°.		z1 + z2		= z1 + z2 ;		z1 z2	= z1 z2 ;

5°. Если Pn (z) = ∑αk z k многочлен с вещественными

k =0

коэффициентами, имеющий корень λ, то этот многочлен также

							n
будет	иметь и корень				λ.	Действительно, пусть ∑αk λk = 0 ,
							k =0
				n		n
				n		n
тогда	0 =	0	= ∑αk λk		=	∑αk λ k .
			k =0			k =0

Замечание:

если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень.

Задача На множестве комплексных чисел решить уравнение

Решение:

z 2 +1 = 0.

Перепишем это уравнение, приняв, что

z =α + βi =

, то есть

. Заметим, что здесь мы

воспользовались

развернутыми

представлениями чисел

1 =1 + 0i =

0 = 0 +0i =

Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения,

приходим к равенству

α 2

− β 2 +

. Но поскольку два

αβ

комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных α и β :

2	− β	2	+1	= 0 ,
α	− β		+1	= 0 ,
	2αβ = 0					α = 0
			α = 0			α = 0	.
которая имеет два решения				β =1	и		.
				β =1	β = −1

Поэтому исходное уравнение также имеет два решения

z =

= 0 +1i = i

= 0 + (−1)i = −i .

−1

Комплексные числа

проф. Дымков М. П.

Исходя из определения 3, можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую

тригонометрической:

z =α + βi = α2 + β 2	(	α		+	β	i) = ρ(cosϕ + i sinϕ)
		α2	+ β 2		α2 + β 2

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел соответствует заданию точки, изображающей комплексное

число, в полярной системе координат.

Пусть

направляющим

Im z

элементом полярной оси

служит элемент g1 =

значение

модуля

Re z

комплексного

числа

g1 1

равно ρ - расстоянию от

начала

координат

до

точки,

изображающей

данное число,

- значение аргумента arg z совпадает с величиной полярного угла ϕ, отсчитываемого против часовой стрелки.

Тогда, согласно определению 3, комплексное число z =α + βi представимо в тригонометрической форме

z = ρ(cosϕ +i sinϕ) .

Комплексные числа

проф. Дымков М. П.

Другой часто используемой формой представления комплексных чисел, является их экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы по

		формуле Эйлера:	eiz = cos z + i sin z
В этом случае из равенства				z =α + βi =	z	(cosϕ +i sinϕ)
В этом случае из равенства				z =α + βi =	z	(cosϕ +i sinϕ)
следует, что
	экспоненциальная форма есть			z = ρeiϕ .

Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются1).

Например,

z z	2	= ρ eiϕ1		ρ	2	eiϕ2		= ρ ρ	2	ei(ϕ1 + ϕ2 )
1	2		1		2			1	2
или
i ( π +2π k )			− π +2π k				,	k = 0, ±1, ± 2, ....
ii = (e 2			)i = e	2			,	k = 0, ±1, ± 2, ....

Задача

Найти вещественное решение уравнения cos x = 5.

Из формулы Эйлера следует cos z =

eiz + e−iz

, z

Ω. Поэтому

данное уравнение можно записать

в виде

x + e−i x

= 5

или

y +

−10 = 0,

где y = ei

x .

Откуда находим, что

ei x = 5 ± 2

, то есть i

x = ln(5 ± 2

или окончательно x = −ln 2 (5 ± 2

6) .

1) Обоснование обобщения свойств экспоненциальной функции вещественного аргумента на комплексный случай приводится в курсе ТФКП.

Тригонометрические функции комплексной						переменной
z C можно ввести, опираясь на формулы Эйлера:

	cos z =	eiz +e−iz	,	sin z =	eiz −e−iz	,
	cos z =	2	,	sin z =	2i	,
		2			2i
Остальные обычным образом
	tgz = sin z		,	ctgz = cos z
		cos z			sin z

Графики некоторых тригонометрических функций:

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019117.76 Кб8Lek-07-1C_8_2-20.doc
#
24.09.201976.29 Кб8Lek-08-1C_8_2-80.doc
#
24.09.201994.72 Кб9Lek-09-1C_8_2-Свод.doc
#
24.09.2019441.34 Кб10Lek-10-Гал_8.10-Опис.doc
#
20.02.20162.06 Mб256Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.20162.84 Mб458Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf
#
20.02.2016744.96 Кб58lekcii_marketingovye_issledovaniya.doc
#
20.02.2016610.3 Кб35lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.2016645.12 Кб26lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.201610.32 Mб235lekcii_po_makroekonomike.doc
#
20.02.201674.75 Кб6lektion 6 landeskunde.doc