Свойства степенных рядов

Примеры

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

Данный знакочередующийся ряд удовлетворяет признаку Лейбница и поэтому сходится. Следовательно, областью сходимости ряда является полуинтервал (−3,3)U{x = −1/ 3} =[−13;13).

Пусть функция S(x) есть сумма степенного ряда

	∞
S(x) =	∑an xn , x (−R, R).
	n=0

Какие свойства функции S(x)?

Теорема. Функция S(x) является дифференцируемой на интервале сходимости x (−R, R). Причем ее производная S′(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов ряда

S′(x) = (a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn +...)′ =

= a1 + a2 x +... + an xn−1 +...

при этом радиус сходимости полученного ряда равен R Кроме того, степенной ряд можно почленно интегрировать, т.е. для a,b (−R, R) справедлива формула

b	b
∫ S(x) = ∫ (a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn +...)dx =
a	a
b	b	a1xdx +... +	b
= ∫	a0dx + ∫	a1xdx +... +	∫ an xn dx +...
a	a		a

Замечание. 1) При дифференцировании интервал сходимости (−R, R) остается неизменным. Однако ситуация в точках x = ±R может не совпадать с ситуацией, которая имеет место в исходном степенном ряде.

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

2)Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.

3)На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не

распространяется.


Например,		ряд		sin(23 x)		sin(33 x)			3 x)
sin x			+		+		+... +	sin(n		+...
	1			22		32		n2

сходится абсолютно при любом x , так как он мажорируется (оценивается) сходящимся рядом (обобщенным гармоническим рядом)

11 + 212 + 312 +... + n12 +...

Вместе с тем ряд из производных

cos x + 2 cos 23 x +.... + n cos n3 x +.....

расходится при всяком x так как его общий член

n cos n3 x не стремится к 0.

Дан сходящийся ряд

. Оценить ошибку,

Найти радиус, интервал и область сходимости следующих степенных рядов:

а) ∑∞ n!(x −1)n ;

n=1

Выполним замену x −1 = y и найдем радиус сходимости

R полученного степенного ряда	∞
	∑an yn
Поскольку	n=1

= ∞ n! yn .

∑

n=1

= lim

n→∞

R = lim

= lim

lim

= lim

= 0

an+1

(n +1)!

n→∞

n→∞ n!(n +1)

n→∞ n +1

то ряд сходится в единственной точке

y = 0

, значит,

по замене

x −1 = 0,

x =1.

Исходный ряд сходится в

единственной точке

x =1.

Это

и есть область

его

сходимости.

б)

∞

∑

n=1

Для ряда		∞
		∑an xn
		n=1
		an
R = lim
	an+1
n→∞

= ∑∞ xn находим радиус сходимости

n=1 n!

(n +1)! = lim n!(n +1) = lim (n +1)= ∞

n! n→∞ n! n→∞

Значит, ряд сходится на всей числовой прямой (− ∞; + ∞). Это и есть область сходимости ряда.

в)

∞

;

∑

n=1 n2 + n

Имеем: an =

, an+1 =

n2 + n

(n +1)2 + (n +1)

n2 + 3n + 2

Тогда

n2 +3n + 2

R = lim

= lim

∞

+ n

n→∞

∞

lim

= lim

n→∞

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

Значит, интервал сходимости данного ряда ( – R; R) есть интервал (– 1; 1).

Исследуем теперь сходимость ряда на концах интервала.

При х = 1 из исходного ряда получаем числовой ряд

∞

здесь

Сравним

его

со

∑

n=1n2 + n

∞

+ n

сходящимся

рядом

т.е.

(ряд

Дирихле

∑

n=1n2

∑∞

сходится при р > 1, а у нас р = 2).

n=1n p

Поскольку

< b

то

меньший

ряд

∞

n n2 + n

сходится, поэтому х = 1 принадлежит области

∑

n=1n2 + n

сходимости.

∞ (−1)n

При х = – 1 получаем знакочередующийся ряд ∑ ,

n=1n2 + n

который сходится абсолютно, как доказано выше. Значит, х = – 1 принадлежит области сходимости. Область сходимости исходного ряда есть отрезок

[– 1; 1].

г)

∞

(x +1)n

. Выполним замену у = х + 1. Получаем

∑

n=1

∞

. Здесь an =

an+1 =

степенной ряд ∑

5n+1

n=15n

значит

R =

lim

= lim

5n+1

lim

= 5.

an+1

n→∞

Поэтому – 5 < y < 5, – 5 < х +1 < 5, – 6 < х < 4.

Интервал сходимости исходного ряда (– 6; 4).

Исследуем сходимость на концах интервала.

При

–

получаем

ряд

∞ (−5)n

∞

(−1)n 5n

∞

+1 −1 +1 −K

∑

= ∑

= ∑(−1) = −1

n=1 5n

n=1

Общий член ряда не стремится к нулю, значит, он расходится и х = – 6 не входит в область сходимости. Аналогично, при х = 4 получаем ряд

∞	5n	∞	=1 +1 +K .
∑		= ∑1

n=15n		n=1

Данный ряд также расходится, поэтому областью сходимости исходного ряда остается интервал (– 6; 4).

Пример 1

допускаемую при замене суммы этого ряда:

1)суммой первых трех его членов

2)суммой первых его четырех членов

1)	Решение.																							находим S = S3 + r3 . Или
1)	Из формулы													S = Sn + rn										находим S = S3 + r3 . Или
S =1−			1			+		1			+			r				. Откуда									S =						1		+ r .					По теореме
S =1−						+					+			r				. Откуда									S =								+ r .					По теореме
		22					32								3																	36					3
		22					32																									36											1							1
Лейбница																				. Значит \| r							\|< a							или			\| r			\|<							=				.
							\| r \|< a										n+1															4
							\| r \|< a
									n																3													3		42							16
Так как r							= −					1			+				1		−..... +, то																			42							16
												1							1										r			< 0
																													r			< 0
				3			42											52												3
							42											52
(см.		т. Лейбница) Для ряда вида
− a		+ a		2		− a +...											+ (−1)n a						n		+...,		a			n		> 0
1				2			3																n							n
оценка суммы ряда имеет вид																																														.
оценка суммы ряда имеет вид																																− a1 < S < 0														.

Тогда −					1		< r < 0 или сумма																				S ≈					1
					1																											1					с избытком.
																																					с избытком.
				16			3																									36
							3																													1						1						1

2) Аналогично S = S																					4	+ r		. Или			S =1−												+						−				+ r .
2) Аналогично S = S																						+ r		. Или			S =1−												+						−				+ r .
																						4												22						32							42					4
Откуда S = 115 + r . Далее\| r \|< a																																		22						32							42
																												5			или \| r							\|<			1			=			0,04.
																															или \| r							\|<						=			0,04.
							144											4							4									4						52
Так как r							= +						1			−..... +, то															. Значит, сумма ряда
													1													r > 0
																										r > 0
				4			52																			4
							52

										S ≈							115
										S ≈							115					с недостатком
																	144
																	144

Пример 2

Сколько нужно взять членов ряда, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01 ?

Решение.

1)Ряд сходится, так как все условия т. Лейбница выполнены.

2)Так как S = Sn + rn и верна оценка | rn |< an+1, то

требуемое n найдем из условия: an+1 =

< 0,01.

n +1

Из уравнения

= 0,01 находим n = 9999

n +1

Итак,

причем

Значит

| r9999 |< 0,01

0 < r9999 < 0,01.

или

с недостатком.

S = S9999 + r9999

S ≈ S9999

Пример 3

Сколько нужно взять членов ряда

∞

∑ (−1)n−1

, чтобы вычислить его сумму с

(2n +1)5n

n=1

точностью до 0,01 ?

Ряд

сходится

по

т. Лейбница 2)

3 5

= −

, a3 =

< 0,01. Значит, надо

7 53

5 52

125

875

S = S2 + r2 ,

взять

два

члена

ряда

или

S ≈

−

(с недостатком, так r

125

375

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

Пример 4 Найти сумму ряда

1+ 2x +3x2 + 4x3 +... +...(| x |<1)

Применим дифференцирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

1+ x + x2 + x3 +... +... = 1−1 x при (| x |<1)

Дифференцируем этот ряд

(1+ x + x2 + x3 +... +...)′ = (1−1 x)′.

Отсюда 1+ 2x +3x2 + 4x3 +... +... = (1−1x)2

Пример 4 Найти сумму ряда

x + 12 x2 + 13 x3 +... +...(| x |<1)

Применим интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

1+ x + x2 + x3 +... +... =

при

(| x |<1)

− x

Интегрируем этот ряд

∫(1

+ x

+ x2

+ x3 +... +...)dx = ∫

dx.

1− x

Отсюда

x +

+... +... = −ln(1− x),

Ряд сходится при −1 ≤ x <1 !

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

Пример 5*

Исследовать сходимость ряда

∞

k +1 k

∑

(x −2)2k

k =1

2k +1

Здесь an = 0 при n = 2k −1 и an =

k +1 k

при n = 2k

2k +1

Находим

R =

lim

2k +1

| an |

k +1

lim n

lim 2k

k →∞

n→∞

k →∞

2k +1

При x −2 =

2 имеем числовой ряд

∞

k +

∞

∑

= ∑

2k +1

k =1

2k +1

k =1

k +

Так

как

1 k

(2k +1)

2k +1

e ≠ 0

lim

= lim 1+

2k +

k →∞

2k +1

то ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю.

Аналогично, при x −2 = − 2 ряд расходится.

Итак, 2 − 2 < x < 2 + 2 — область сходимости ряда

© БГЭУ Лекция № 13	Функциональные ряды	проф. Дымков М.П.	5

Среди различных аналитических аппаратов исследования функций первое место по своей простоте и удобству употребления занимают степенные ряды. Идея проста: функция, которую мы хотим изучить, представляется как предел частичных сумм простейших степенных функций.

Пусть задана

f (x)

в окрестности точки

x = x0 .

Предположим,

что f (x)

разлагается в ряд по степеням

(x − x0 ) : т.е. ряд имеет вид

)2 +.. + a

)n +...

f (x) = a

+ a (x

− x

) + a

− x

(x − x

(1)

с радиусом сходимости R ,

(| x − x0 |< R)

Этот ряд на интервале сходимости |

x − x0 |< R

можно

дифференцировать бесконечно число раз:

n−1

′

+ 2 a2 (x − x0 ) +3 a3 (x − x0 )

.. + n an (x − x0 )

...

(x) = a1

′′

1 a2 +3 2 a3 (x − x0 ) +.. + n (n −1) an (x − x0 )

n−2

...

(x) = 2

………………………………………………………………

f (n) (x) = n

(n −1)

... 1 a

+1) n ... 3

n+1

(x − x ) +...

Положим

каждом

равенстве

x = x0 .

Тогда

последовательно получаем

коэффициенты Тейлора:

= f (x

)

a =

f ′(x0 )

, a

f ′′(x0 )

,…

f (n) (x0 )

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

Итак, если функция f (x) разлагается в

ряд по степеням

(x − x0 ) , то этот ряд имеет вид

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 +...

f (n) (x

)

∞

f (n) (x )(x

− x )n

(x − x0 )n +... = ∑

(2)

n=0

Определение. Степенной ряд вида (2) называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x0 . Если x0 = 0, то ряд

	′	f n (0)	x	n		∞	f (n) (0)		n
f (x) =	f (0) + f (0)x +.. +	n!	x		+... =	∑	n!	x		(3)
		n!				n=0	n!

называется рядом Маклорена.

Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) было получено в предположении, что f (x) разлагается в ряд.

Теперь откажемся от этого предположения. Будем считать только, что f (x) имеет производные любого порядка при x = x0 (бесконечно дифференцируема).

		∞	f (n) (x	0	)	(x − x0 )n
Составим	ряд Тейлора						(*)
		∑
			n!
		n=0

Ниоткуда не следует, вообще говоря, что этот ряд сходится для x ≠ x0 . Более того, ряд может сходится,

а его сумма вовсе не равна f (x) !!!

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

Вопросы:

1)при каких условиях этот формальный ряд (*) сходится?

2)если сходится, то будет ли его сумма S(x)

совпадать с функцией f (x), его породившей?

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если функция f (x) и ее производные любого порядка


ограничены в окрестности точки x0 :				(\| x − x0 \|< R)
одним и тем		же	числом M :	f (n) (x)	≤ M ,

	то ее ряд Тейлора сходится к самой				f (x)
(n = 0,1,2,....)
для любого x из этой окрестности \| x − x0 \|< R .
Если функция		f (x)	разложима в ряд Тейлора, то это

разложение единственно.

Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора

Tn (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +... + f (n) (x0 ) (x − x0 )n n!

Остаточным членом ряда Тейлора называют разность

Rn (x) = f (x) −Tn (x)

Таким образом, имеет место формула Тейлора

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +... + f (n) (x0 ) (x − x0 )n + Rn (x) n!

Важно знать, как устроен остаток Rn (x) !!!


Теорема.	Если функция			f (x)		имеет			производную
(n +1) -го	порядка f (n+1) (x)			в окрестности точки x0 , то
остаточный член имеет вид:
		Rn (x) =	(x − x0 )n+1		f	(n+1)	(ξ)	,
		Rn (x) =	(n +1)!		f		(ξ)	,	и x0 .
			(n +1)!
где ξ -некоторая точка, лежащая между x

При n = 0 из формулы Тейлора имеем


	′	-формула Лагранжа
	f (x) = f (x0 ) + f (ξ)(x − x0 )	-формула Лагранжа
	При n =1 имеем		f ′′(ξ)
	f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +		f ′′(ξ)	(x − x0 )2
	f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +			(x − x0 )2
		2!
Если отбросить остаточный член, то получим
	f (x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )2	- формула для вычисления

приближенного значения через дифференциал

Само по себе выражение для Rn (x) возможности вычислять его величину, неизвестна точка ξ , в которой вычисляется

не дает

так как

f (n+1) (x).

Удобно пользоваться следующей оценкой : если производную f (n+1) (x) удовлетворяет условию f (n+1) (x) ≤ M n+1, для некоторого числа M n+1, то

| Rn (x) |≤ M n+1 | x −nx+01|n+1

Этой формулой можно пользоваться для оценки точности аппроксимации функции f (x) ее многочленом Тейлора Tn (x).

Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды

Выпишем теперь разложение в степенные ряды

Маклорена

(при

x0 = 0)

некоторых

элементарных

функций:

1) f (x) = ex

(n)

Имеем

′

,....., f

(x)

= e

,.........

f (x) = e

Следовательно, при

x0 = 0

ex =1 + x +

... +

+...

Найдем радиус

сходимости этого ряда

l = lim |

|= lim

= lim

= 0

или R =

= ∞

an+1

n→∞

n→∞ (n +1)!

n→∞ n +1

оси

Значит,

ряд

в правой

части

сходится

на всей

(−∞,+∞). Если взять промежуток вида [−N,+N ],

где N -произвольно, то для x [−N, N ] имеем оценку

| f (n) (x) |≤ eN = M , n = 0,1,2,3....

Согласно теореме (достат. условие) функция f (x) = ex разлагается в ряд Маклорена на всей оси (−∞, ∞) так

как N -произвольно.

Интересно заметить, что при x =1 получаем

e =1+1+ 21! +... + n1! +...

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

f (x) = sin x

Вычислим

′

′′

= −sin x = sin(x + 2

(x) = cos x = sin(x +1

2 ), f

(x)

2 ),

′′′

(n)

(x)

(x) = −cos x = sin(x +

2 ),...,

= sin(x + n 2 )

f (0) = 0, f

′

1, f

′′

′′′

= −1,...,

Отсюда

(0) =

(0) = 0, f

(0)

f (2n)

= 0, f (2n−1)

= (−1)n−1

Тогда

(−1)n−1 x2n−1

sin x = x −

−

+... +

+...

(2n −1)!

Можно показать, что радиус сходимости ряда

R = ∞

Так как | f (n) (x) |=| sin(x + n

π ) |≤1, x, то ряд сходится

к функции sin x на всей оси.

На рис.

изображен

жирной

линией

график

функции

= sin x ,тонкими линиями его приближение одним членом

ряда Маклорена

= x,

приближение четырьмя отличными

от

нуля

членами

ряда

= x − x

+ x − x

и,

наконец,

приближение

семью

членами

ряда

x13

= x −

x 7

x11 -10

-5

−

11!

13!

-2

3) Аналогично

-4

cos x =1−	x2	+	x4	−	x6	+... +	(−1)n x2n	+...
	2!		4!		6!		(2n)!

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

Данные разложения верны для x (−∞;+∞).

Бином

(α −1)

(1 + x)

+αx +

+... +

α(α −1)...(α − n +1)

+...

Данное разложение верно при x (−1;+1) и, может быть,

при

x = ±1

(это

решается

для конкретного α

индивидуально).

Если в разложении для функции

(1 + x)α

Замечание.

положить α = n , где n - натуральное число, то все члены этой

формулы начиная

с (n+1) -го

исчезают, и

формула

Маклорена превращается в известную формулу бинома

Ньютона

(1 + x)n =1 +	n	x +	n(n −1)	x 2	+ ... + x n	,
			2!
1!

т.е. бином Ньютона является частным случаем разложения функции (1 + x)α в ряд Маклорена.

5)	ln(1	+ x) = x −	x2	+	x3	+... +	(−1)n−1 xn	+...
			2		3		n!

Можно найти разложение, вычисляя коэффициенты Тейлора.

Применим интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию (или бином при α = −1)

Интегрируем этот ряд

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

+ x2

− x3

∫(1

− x

+... +...)dx = ∫

dx. Отсюда

+ x

0 1

x −

+... +... = ln(1+ x),

Ряд сходится при −1 < x ≤1 !

ПРИМЕРЫ.

Полученные формулы дают возможность производить разложения в ряд некоторых функций без использования общей схемы с нахождением производных высокого порядка.

ПРИМЕР 1.

Разложить по формуле Маклорена функцию e2 x +1

Решение. Воспользуемся разложением функции ex в ряд, заменив в правой части ряда величину х на 2х:

e2x+1

(2x)2

(3x)3

= e1 1+

+.....

e 1+ 2x + 2x2

x3 +.......

e + 2ex + 2ex2 +

9 ex3 +.....

Пользуясь известными разложениями элементарных функций в степенные ряды, разложить в ряд Маклорена следующие функции:

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

f (x) = x3e−x ;

ПРИМЕР 2.

Воспользуемся известным разложением

et =1 + t +

t 2

+K+

t n

+K, где − ∞ < t < +∞.

Полагаем здесь t = – х, получим

f (x)= x3 1

− x +

−

+K+ (−1)

= x3 − x4 +

−

+K+

(−1)xn+3

+K.

Данное разложение сходится к

f (х) при всех х.

ПРИМЕР 3.

f (x) = sin 3x ;

Воспользуемся известным разложением

n x2n+1

sin t = t −

−K+ (−1)

(2n +1)! +K,− ∞ < t < +∞.

Полагаем теперь t=3х, получаем

33 x3

35 x5

n 32n+1 x2n +1

sin 3x = 3x −

−K+ (−1)

+K,

(2n +1)!

x R.

f (x) =

1 − x3 ;

ПРИМЕР 4.

Представим f (х) в виде f (x)= (1 + (− x3 ))

воспользуемся известным разложением

(1 + t)m =1 +

m(m −1)

t 2

m(m −

1)(m − 2)

t3 +K+

m(m −1)(m −

2)K(m − n +1)

+K,

которое верно при – 1 < t < 1.

Полагая теперь m =

, t = x3

, получим

−

(x3 )2

−

(x3 )

f (x)=1 +

x3 +

−

− n +1

(x3 )n +K,

или, произведя упрощения, получаем

f (x)=1−

x3 +

1 3

x6 −

1 3 5

2 1!

22 2!

23 3!

K+

(−1)n1 3 5 K(2n −1)x3n

+K.

2n n!

Это разложение верно, если −1 < x3 <1, т.е. −1 < x <1.

Функциональные ряды

проф. Дымков М.П.

f (x) = ln(x + 2) .

Преобразуем f (х).

ПРИМЕР 5.

f (x)= ln

+1 = ln 2 + ln 1 +

Воспользуемся разложением

ln(1 + t )= t −

t 2

−

t 4

+K+ (−1)n −1t n

+K, −1 < t ≤1.

Полагая t =

, получим, что

(−1)n−1 xn

f (x)= ln 2

−

+K+

+K ,

2n n

4 2 8 3 16

где −1 <

≤1, значит − 2 < x ≤ 2.

Степенные ряды применяются для вычисления с заданной точностью значений функций; для приближенного вычисления определенных интегралов и для решения других задач, в частности, при интегрировании дифференциальных уравнений.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019117.76 Кб8Lek-07-1C_8_2-20.doc
#
24.09.201976.29 Кб8Lek-08-1C_8_2-80.doc
#
24.09.201994.72 Кб9Lek-09-1C_8_2-Свод.doc
#
24.09.2019441.34 Кб10Lek-10-Гал_8.10-Опис.doc
#
20.02.20162.06 Mб256Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.20162.84 Mб458Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf
#
20.02.2016744.96 Кб58lekcii_marketingovye_issledovaniya.doc
#
20.02.2016610.3 Кб35lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.2016645.12 Кб26lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.201610.32 Mб236lekcii_po_makroekonomike.doc
#
20.02.201674.75 Кб6lektion 6 landeskunde.doc