4.1. Метод наименьших квадратов

Вразличных экономических и других практических задачах часто возникает необходимость установления аналитической зависимости между интересующими переменными, которые заданы, например, в виде статистических данных за определенный период. Одним из распространенных способов решения подобных задач является метод наименьших квадратов, который основывается, по сути, на нахождении экстремума функций нескольких переменных.

Важное значение имеет следующая задача:

требуется установить вид функциональной зависимости между двумя переменными величинами x и y по результатам n экспериментальных измерений, приведенных в таблице

Иначе говоря, требуется выразить зависимость между x и y аналитически, т.е. указать формулу

y = f (x, a1,...,an ),

связывающую между собой соответствующие значения переменных. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть

эмпирическими формулами.

Следует заметить, что подбор эмпирической формулы не ставит задачу разгадать истинный вид зависимости − эта задача математически неразрешима. Ставится задача подобрать формулу, в каком-то смысле наилучшим образом отображающую полученные результаты.

Один из способов заключается в следующем. Исходя из некоторых теоретических или практических соображений (например, конфигурации расположения точек на координатной плоскости) подбирается наиболее простая формула, которая дает наилучшее совпадение с опытными данными. Наиболее типичными в экономических исследованиях являются формы зависимостей в виде:

Лекция №3 Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 23

Слова «наилучшее совпадение» понимаются здесь в том

наименьшей.

Описанный способ построения эмпирической формулы называется методом наименьших квадратов, а вычисленные путем решения задачи

n

S(a0 , a1 ,...am ) = ∑( yi − f (xi , a0 , a1 ,...am ))2 → min

i=1

значения параметров a0 0 , a10 ,..., am 0 задают наилучшую в

смысле метода наименьших квадратов формулу

y = f (x, a0 0 , a10 ,...am 0 ).

Исходя из необходимых условий экстремума функций многих переменных, минимум функции S(a0 , a1 ,..., am ) будет в тех точках, где частные производные

Полученная система уравнений называется нормальной системой метода наименьших квадратов.

4.4.2.Выравнивание экспериментальных данных по

прямой.

Пусть для данных табл. 4.1 из

решением нормальной системы метода наименьших квадратов, которая в данном случае имеет вид:

разрешимость системы (4.12).

4.4.3. Выравнивание экспериментальных данных по параболе.

Пусть экспериментальные данные из табл. 4.1 располагаются вблизи некоторой параболы так, что между переменными x и y можно предположить наличие зависимости, которая

выражается формулой y = a2 x2 + a1 x + a0 . Тогда, следуя

методу наименьших квадратов, надо найти минимум по a0 , a1 , a2 функции трех переменных

Лекция №3 Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 25

что искомое уравнение квадратичной зависимости есть

y= a2 0 x2 + a10 x + a0 0 .

4.4.3.Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе.

Если есть основания полагать, что зависимость между переменными x и y обратно-пропорциональная (такая зависимость имеет, например, место для связи между объемом выпускаемой продукции x и себестоимостью y единицы продукции ) , то эмпирическая формула ищется в

уравнений метода наименьших квадратов будет иметь вид :