Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3131

Приложения рядов

проф. Дымков М.П. 1

Разложение обратных тригонометрических функций в степенные ряды

Разложить в ряд Маклорена функцию

y = arcsin x

Применим

интегрирование

степенных

рядов

Рассмотрим функцию

f (x) =

;

1− x2

Представим f (х) в виде f (x)= (1+(− x2 ))−

воспользуемся известным разложением

бинома

(1+t)m =1+

m(m −1)

t 2

m(m −1)(m

K+

−2)

t3 +

m(m −

1)(m −2)K(m −n +1)

,−1 < t <1

1 ,

Полагая теперь m = −

t = −x2 , получим

−

(− x2 )2 +

f (x)=1+

(−x2 ) +

−

(− x

)

−

−n +1

(− x2 )n

+.. +

или, произведя упрощения, получаем

=1+

1 3

1 3 5

+....

−1 ≤ x ≤1

(а)

1− x2

2 4

3 6

= arcsin x , то имеем из

(а)

Так как ∫

1− x2

© БГЭУ Лекция № 14					Приложения рядов					проф. Дымков М.П. 2
arcsin x = x +		1	x3	+	1 3	x5	+	1 3 5	x7	+.... +
		2	3		2 4	5		2 3 6	7


	Разложить в ряд Маклорена функцию
											y = arctgx

Можно разложить, вычисляя коэффициенты Тейлора.

Применим интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим геометрическую прогрессию (в которой вместо x возьмем - x2 )

1− x2 + x4 − x6 +... +... =

при

(| x |<1)

1+ x2

Интегрируем этот ряд

∫(1

− x

2 + x4 − x6 +... +...)dx = ∫

dx.

Отсюда

1+ x2

x −

+... +... = arctgx,

Ряд сходится при

−1 ≤ x ≤1

arctgx = x −

+... +

(−1)n−1 x2n−1

+...

(*)

2n −1

Степенные ряды применяются для вычисления с заданной точностью значений функций; для приближенного вычисления определенных интегралов и для решения других задач, в частности, при интегрировании дифференциальных уравнений.

© БГЭУ Лекция № 14			Приложения рядов	проф. Дымков М.П. 3
Задача	:	вычислить число π с точностью …….

При

x =1

из

(*)

имеем

еще

один

способ

вычисления числа π :

arctg1 =

=1−

−

... +

(−1)n−1

+...

2n −1

Задача

вычислить число

с точностью 0,0001

Из формулы

=1 + x +

+... +

+...

при

x =1

получаем (знакоположительный) ряд

e = 2 +

+... +

+ R

Так как

≤

,....., то

e = 2 +

+... +

+... < 2 +

+... = 2 +

= 2 +1 = 3

−

или

2 < e < 3

Тогда

при x =

1 остаточный член в форме Лагранжа

удовлетворяет неравенству

| R

(x) |≤

(n +1)!

Найдем требуемое

n из условия Rn < 0,0001 или

< 0,0001. Отсюда n = 7

(

< 0,0001).

(n +1)!

(8)!

13440

Итак

e ≈ 2 +

+... +

≈ 2,7183

Вычислить приближенно	1	с точностью до 0,0001	.
	4 e

Поскольку 41e = e−14 , то из известного разложения

					e x =1 + x +							x2		+		x3	+K+					xn	+K
					e x =1 + x +									+			+K+					n!	+K
		1											2!	3!								n!
при x = −		1	, получаем
при x = −	4		, получаем
	4			1
	e−			1			1			1					1					1
				4	=1	−	1	+		1			−		1		+			1				−K .
				4	=1	−	4	+	16 2				−		64 6		+	256 120						−K .
Поскольку					1		>		1		,				1				<		1				, то для
Поскольку					64	6	>	10000			,				256 120				<	10000					, то для
					64	6		10000							256 120					10000

достижения заданной точности достаточно четырех первых членов разложения:

e−	1		1		1		1
	4	≈1−		+		−		≈1−0,25000 +0,03125 −0,00260
			4		32		384

≈ 0,77865 ≈ 0,7787

Вычислить приближенно 3 9 с точностью до 0,001 .

3	9	= 2 3			9	=	2 3 1+			1	=				1		13			Здесь			m =			1	, x	=	1
3	9	= 2 3			8	=	2 3 1+			8	=	2 1+			8					Здесь			m =			3	, x	=	8
					8					8					8											3			8
3						1	13					1	1			1			1		1	)2		1
	9	= 2 1		+				= 2	(1+					+				(		−1)(					+... =
	9	= 2 1		+				= 2	(1+			3	8	+		3		(	3	−1)(	8			2!	+... =
						8						3	8			3			3		8			2!
= 2(1+			1		1	−		2	+...)			≈ ........ ≈ 2,080
= 2(1+			3		8	−			+...)			≈ ........ ≈ 2,080
			3		8	32823!

© БГЭУ Лекция № 14	Приложения рядов	проф. Дымков М.П. 5

вычислить число

cos 50

с точностью 0,0001

Задача

cos x =1−

−

+... +

(−1)n x2n

+...

(2n)!

При x =

50 =

имеем

cos

=1 −(

(

+.... = a − a

+ a

+...

Так как

< 0,1,

4 1

(0,1)

a3 = (

)

< 0,00001

240000

10 10000

то cos 50 ≈ a1 −a2 ≈1−0,0038 = 0,9962

2e x

−2

−2x − x2

Задача

Найти lim

x −sin x

x→0

2(1+ x +

..) −2 −2x − x2

= lim

x −(x − x

+ x

x→0

+..)

2x3

+....

= lim

= 2

x→0

−

+...

x→0

−

+...

© БГЭУ Лекция № 14		Приложения рядов	проф. Дымков М.П. 6

1 sin x

dx;

Задача

Вычислить

с точностью до 0,0001 ∫

Неопределенный

интеграл

∫

sin x

относится

sin x

«неберущимся» интегралам.

Разложим

ряд

sin x

x −

−

=1 −

−

1 sin x

dx = ∫

−

∫

+K dx =

1 +K=

x −

−

7 7!

−

+K=1−

−

+K.

3 3!

5 5!

7 7!

600

35280

В правой части ряд Лейбница, поэтому его остаток не

превосходит по	абсолютной		величине				первого
отбрасываемого	члена. Так		1	<		1	, то для
		35280			10000

вычисления интеграла с требуемой точностью 0,0001 достаточно взять три первых члена разложения:

1 sin x		dx =1 −	1	+	1	≈ 0,9461.
0∫
	x		18		600

Задача	:	Вычислить	0,5
			∫e−x dx с точностью до 0,001.
			0

e−x =1 − x

−

... +

(−1)n xn

+... .

Интегрируя его почленно, получим:

0,5

(−1)

∫ e−x dx = ∫

− x

−

+... +

+...)dx =

(x −

−

+ (−1)n xn+1

+...

00,5 =

3 2!

4 3!

5 4!

(n +1)n!

0,5 −

(0,5)

(0,5)3

−

(0,5)4

+... +

(−1)n

0,5n+1

+.... .

4 3!

+1)n!

По признаку Лейбница остаток сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит по абсолютной величине абсолютной величины первого отбрасываемого члена, поэтому

0,5	e−x dx ≈ 0,5 −	0,25	+	0,125	−	0,0625	=
∫
0		2		3 2		4 6

0,5 −1,125 + 0,0208 −0,0026 =0,0182 ≈ 0,018.

Заданная точность обеспечена, так как первый отброшенный член удовлетворяет требуемому неравенству

(0,5)5	=	0,03125	= 0,00026	< 0,001.
5 4!		5 24

© БГЭУ Лекция № 14	Приложения рядов	проф. Дымков М.П. 8

Задача

Решить задачу Коши

′′

− xy = 0, y(0)

′

= 0, y (0)

Решение будем искать в виде степенного ряда

y(x) = a

+ a x + a

x2 +......

(Р)

Из начальных

условий при

можно определить

x = 0

коэффициенты

= 0, a1 =1.

(В противном случае они служат произвольными постоянными общего решения ДУ).

Дважды дифференцируя ряд (Р) и подставляя в ДУ,

имеем (учтем, что a0 = 0, a1 =1)

2a2 +3 2 a3 x + 4 3 a4 x2 ... + n (n −1) an xn−2 +... =

		= x2 + a2 x3 +... + an−3 xn−2 +......
Отсюда, сравнивая коэффициенты, получаем
a2 = 0, a3 = 0,4 3 a4 =1,....., n(n −1)an = an−3
или				1												1
a2 = 0, a3	= 0, a4		=	1			, a5 = 0, a6 = 0, a7 =									1		,
a2 = 0, a3	= 0, a4		=				, a5 = 0, a6 = 0, a7 =										3 4 6 7	,
				3 4						1							3 4 6 7
a8 = 0, a9	= 0, a10		=							1			,.....,
a8 = 0, a9	= 0, a10		=		3 4			6 7 9				10	,.....,		1
					3 4			6 7 9				10
a3m−1 = 0, a3m = 0, a3m+1								=
a3m−1 = 0, a3m = 0, a3m+1								=			3 4 6 7 9 10....3m(3m −1)
											3 4 6 7 9 10....3m(3m −1)
Значит		y(x) = x +				1			x4 +				1		x7	+......
Значит		y(x) = x +				3 4			x4 +			3 4 6		7	x7	+......
						3 4						3 4 6		7

УПР* Найти область сходимости ряда ( R )

Приложения рядов

проф. Дымков М.П. 9

Задача: Решить задачу Коши

y′ = xy2 , y(1) = 0

Решение будем искать в виде степенного ряда по степеням (x −1):

y(x) = a	0	+ a (x −1) + a	2	(x −1)2	+......	(С)
	0	1	2

Исходное уравнение нелинейное и поэтому подстановка ряда (С) в ДУ приводит к сложным вычислениям.

Продифференцируем исходное ДУ

y ′ = xy 2

y ′′ = y 2 + 2 xy y ′

y ′′′ = 4 yy ′ + 2 x( y ′) 2 + 2 xy y ′′

( 4 )

= 6 y

′2

+ 6 yy

′′

′

′′

+ 2 xy y

′′′

+ 6 xy y

.......... .......... .......... .

Полагаем теперь

, учитывая условие

y(1) = 0

x =1

последовательно найдем:

(4)

′

1, y

′′

′′′

(1)

= 6,.......

y (1)

(1) = 0, y

)1) = 2, y

Из (С) имеем

′

′′

= 0

a0 = y(1) = 0, a1 = y (1) =1, a2

(1)

a3 =

′′′

, a4

(4)

(1)

,.....

(1) =

Тогда

y(x) =1 (x −1) +

(x −1)3

(x −1)4

+......

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3131

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019117.76 Кб8Lek-07-1C_8_2-20.doc
#
24.09.201976.29 Кб8Lek-08-1C_8_2-80.doc
#
24.09.201994.72 Кб9Lek-09-1C_8_2-Свод.doc
#
24.09.2019441.34 Кб10Lek-10-Гал_8.10-Опис.doc
#
20.02.20162.06 Mб256Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.20162.84 Mб458Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf
#
20.02.2016744.96 Кб58lekcii_marketingovye_issledovaniya.doc
#
20.02.2016610.3 Кб35lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.2016645.12 Кб26lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.201610.32 Mб235lekcii_po_makroekonomike.doc
#
20.02.201674.75 Кб6lektion 6 landeskunde.doc