Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

2

Определение 5.1. Функция F (х) называется первообразной

для функции f(х) на интервале

(a, b), если F (x)

дифференцируема на (a, b) и выполняется равенство

′

(5.1)

F (x) = f (x),

или, что то же самое,

dF (x) = f (x)dx,

(5.2)

причем (5.1) и (5.2) выполняются для всех

x (a;b).

Задача об отыскании первообразных решается

неоднозначно.

если функция f (х) имеет первообразную

Действительно,

F (х), то она имеет бесконечное множество первообразных

вида F (х)

+

С, где С – произвольная постоянная,

так как

′

=

(F(x))

′

= f (x) . Более того,

если F(x) и Ф(x) ―

(F (x) + C)

две первообразные для f (x)

на (a; b) ,

то для всех

x (a;b)

выполняется равенство F(x)

Ф(x) ≡ C , где C ― некоторая

фиксированная постоянная. Другими словами, если F (х) есть

первообразная для f (х), то множество вида

F (х) + С,

где С –

Определение 5.2. Совокупность всех первообразных для

функции

f (x) на

(a, b) называется

неопределенным

интегралом от функции f (x) и обозначается ∫

f (x)dx:

∫ f (x)dx = F(x) + C

(5.3)

где С- константа. В записи (5.3) символ «

∫

» называется

интегралом,

f (x)― подынтегральной функцией, x ―

переменной интегрирования.

1) ∫ 0dx = C;

∫ 1dx = x + C;

2)

∫

xα dx =

xα +1

+ C

(α ≠ −1);

α +1

dx

3)

∫

= ln

x

+ C, (x ≠ 0);

x

ax

4)

∫

ax dx =

+ C

(a > 0, a ≠1), ∫ ex dx = ex + C;

ln a

8) ∫

dx

= −ctgx + C

(x ≠ π n, n Z );

sin 2

x

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

5

9)

dx

x

x

∫

a2

− x2

= arcsin

a

+ C = −arccos

a + C, (a ≠ 0, − a < x < a );

10)

∫

dx

=

1

arctg

x

= −

1

arctg

x

+ C,

(a ≠ 0);

x

+ a2

a

2

a

a

a

dx

=

1

x − a

+ C (a ≠ 0,

x

≠

a

11)

∫

ln

);

x

2

− a2

2a

x + a

12)

∫

dx

= ln x +

x2

+ a + C

(a ≠ 0,

x2 + a > 0).

x2 + a

Замечание 1.

Если первообразная

F (x)

для функции

f (x)

является элементарной функцией,

то говорят, что интеграл

обладает.

Например, интегралы

∫

e−x2 dx

(интеграл Пуассона),

∫

sin x2 dx, ∫

cos x2 dx

(интегралы Френеля),

∫

dx

(x > 0,

x ≠1),

∫

cos x

dx,

∫

sin x

dx

ln x

x

x

хотя и существуют,

но не выражаются через элементарные

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

6

∫ tg2 xdx = ∫

sin2 x dx = ∫

1 − cos2 x dx =

cos2 x

cos2 x

∫

1

dx − ∫ cos2

x dx = tgx + C1 −

cos2 x

cos2

x

1

+

2

+

3

I = ∫

3 − x2

x2 + 5

dx.

Решение.

x2 −9

Применяя свойства неопределенного интеграла

и табличные интегралы, получаем:

1

x

I =

∫

1

dx +

2

∫

1

dx + 3

∫

dx =arcsin

+

3 − x2

x2 + 5

x2 −9

3

+ 2 ln x + x2 + 5 +

3

3

ln x −3

+ C =

x

2

x + 3

1 ln x −3

arcsin

+

2 ln x +

x2 + 5

+

+ C.

3

2

x + 3