Теорема 4.9. Если функция z = f (x, y) имеет в точке

M (x, y) непрерывные смешанные частные производные второго порядка, то они равны между собой :

fxy″(x, y)= f yx″(x, y) .

4.3. Экстремум функции многих переменных

Одним из важнейших применений дифференциального исчисления, как и в случае функций одной переменной, так и для функций многих переменных является его использование для отыскания и исследования экстремумов функций.

4.3.1.Необходимое условие экстремума.

Определение 4.14. Говорят, что функция z = f (M ),

Данное определение носит локальный характер, причем, если неравенства (4.10) выполняются, как нестрогие неравенства со знаками ≤ (≥) соответственно, то максимум и минимум называются нестрогими или несобственными. Для обозначения максимума и минимума употребляется и общий термин – экстремум.

(необходимое условие экстремума). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) и

имеет в ней экстремум, то обе частные производные функции в этой точке равны нулю:

Определение 4.14. Все точки M 0 (x0 , y0 ) , координаты

которых удовлетворяют системе уравнений (4.11),

экстремум и в тех точках, где она является непрерывной, но хотя бы одна из частных производных не существует или равна бесконечности. Объединение таких точек и стационарных точек принято называть критическими точками функции многих переменных.

В некоторых случаях вопрос о наличии экстремума функции многих переменных можно решить на основании лишь необходимого условия экстремума.

Пример 4.10. Исследовать на экстремум функцию z = x2 + y2 .

Решение. Найдем частные производные и приравняем их к нулю : zx′ = (x2 + y2 )′x = 2x ; zy′ = (x2 + y2 )′y = 2 y .

любых других точек , таких что M (x, y) ≠ M 0 (0,0), выполня-

M 0 (0, y) −стационарные. Поскольку для любых точек , таких

любой точке оси 0 y функция имеет нестрогий максимум (см.

рис.4.4). Ответ: zmax = f (0, y) = 0.

В общем случае использование только необходимого условия экстремума не позволяет решить вопрос о наличии экстремума функции многих переменных.

Пример 4.13. Исследовать на экстремум функцию z = xy .

Решение. Найдем частные производные zx′ и zy′:

данная функция в точке M 0 (0,0) экстремума не имеет.

Приведенный пример показывает, что найденные критические точки функции требуют, вообще говоря, дальнейшего анализа в отношении того, являются они точками экстремума или нет.

4.3.2. Достаточные условия экстремума.

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные до второго

порядка включительно. Если выполняются условия:

б) ∆ = AC − B2 < 0, то в этой точке экстремума нет. Если ∆= 0, то нужны дополнительные исследования.