Понятие числового ряда и его сходимости

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

a1, a2 , a3,..., an ,... .

Числовым рядом называется выражение

∞

a1 + a2 +... + an +... = ∑an , (1)

n=1

где числа a1, a2 , a3,..., an ,... называются членами ряда,

Например, сочетательное свойство может нарушаться:

(1−1) +(1−1) +(1−1) +..... = 0 +0 +0 +.... = 0 1−(1−1) −(1−1) −.......... =1−0 −0 −........ =1

Для корректного определения суммы бесконечного ряда воспользуемся операцией предельного перехода.

Определение. Частичной n ― ой суммой ряда (1) называется сумма Sn его первых n членов:

Sn = a1 + a2 +... + an .

Образуем теперь последовательность

S1, S2 ,...Sn ,..., состоящую из частичных сумм ряда (1).

© БГЭУ Лекция № 11 Числовые ряды проф. Дымков М.П. 2

Определение. Если существует конечный предел S

последовательности частичных сумм S = lim Sn , то

n→∞

ряд (1) называется сходящимся, а число S ― суммой

∞

ряда и записывается этот факт как S = ∑an .

n=1

Если lim Sn не существует или равен бесконечности,

n→∞

то ряд (1) называется расходящимся.

Пример. 1) Исследовать на сходимость ряд

1−1+1`−1+........ т.е общий член есть an = (−1)n

Решение. Так как последовательность частичных

сумм имеет вид

S1 =1, S2 =1−1 = 0, S3 =1−1+1 =1,....., Sn = (−1)n+1

представим в виде двух слагаемых

(153 −183) +183 +1113) +... +(31n −31 − 3n1+3 2).

В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.

Итак, данный ряд сходится и его сумма равна S = 16 .

n=1

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q , называется геометрическим рядом.

Если q <1, то ряд (2) сходится и его сумма равна

Простейшие свойства сходящихся рядов.

Определение 1. Если в ряде (1) отбросить первые n членов, то получится ряд rn , называемый остатком ряда (1) после n -го члена:

∞

rn = an+1 + an+2 +... + an+k +... = ∑ak (3)

k =n+1

Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой его остаток и, наоборот, если остаток (3) сходится, то сходится и ряд (1).

Определение 2. Произведением ряда (1) на постоянное

∞

число c называют ряд ca1 +... +can +... = ∑can (4)

n=1

Теорема 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S ,

то и ряд (4) сходится и его сумма равна cS.

Как вычислить сумму ряда???

Ряд сходиться или расходится??

Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.

Ниже приведены несколько утверждений, позволяющих делать (в некоторых случаях) заключение о сходимости или расходимости рядов.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости). Если ряд (1) сходится, то общий член этого ряда

стремится к нулю: lim an = 0.

n→∞

Значит, ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с

неотрицательными членами

Теорема 4 (первый признак сравнения).

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

∞

∑an = a1 + a2 +... + an +... (А)

n=1

∞

и ∑bn = b1 + b2 +... + bn +... (В)

n=1

Если для всех n , или начиная с некоторого номера n = N , выполняется неравенство an ≤ bn , то из

сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Иначе говоря, если «больший» ряд сходится, то и «меньший» ряд сходится; если «меньший» ряд расходится, то и «больший» ряд расходится.

всех n , значит, на основании теоремы ряд сходится.

расходится, то на основании теоремы заключаем, что

Теорема 5. (второй признак сравнения).

Если существует конечный, отличный от нуля, предел

что исследуемый ряд расходится.

© БГЭУ Лекция № 11 Числовые ряды проф. Дымков М.П. 9

при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, при l =1 вопрос остается открытым ― нужно применять другие признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда в записи общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

На основании признака Коши заключаем, что исследуемый ряд сходится.

© БГЭУ Лекция № 11 Числовые ряды проф. Дымков М.П. 10