Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Лекция № 4 Неопределенный интеграл проф. Дымков М. П. 7

Весьма полезным приемом интегрирования является

поднесение под знак дифференциала некоторого выражения и использование потом свойства неопределенного интеграла:

∫ dF (x) = F(x) + C или ∫ F′(x)dx = F(x) + C .

Например, ∫ sin 2xdx =	1	∫ sin 2xd(2x) = −	1	cos 2x + C;
	2		2

∫ctgxdx = ∫ cossin xx dx = ∫ d(sinsin xx) = ln sin x + C.

5.2.Основные методы интегрирования

Ксожалению, общего метода интегрирования нет, тем не менее, ниже мы укажем некоторые приемы вычисления интегралов. Сравнительно в редких случаях удается дать правила для интегрирования.

5.2.1.Замена переменной в неопределенном интеграле.

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

	Теорема	5.1.	Пусть	требуется найти		интеграл
∫ f ( φ(x)) ϕ′ (x)dx ,			где	подынтегральная		функция
непрерывна и известно, что ∫				f (t)dt = F (t) + C . Тогда
	∫ f (φ(x)) ϕ′		(x)dx = ∫ f (ϕ(x))dϕ(x) =F( φ(x)) + C .
	Теорема	5.2.	Пусть требуется найти ∫ f (x)dx , где
f (x) −непрерывная функция.				Если	φ(t) −строго монотонная
функция, имеющая			непрерывную производную ϕ′ (t), и при
x =	φ( ),t	dx =	ϕ′ (t)dt		справедливо	равенство

f (x) = f (φ(t)) = g(t) ,	причем ∫ g(t) ϕ′ (t)dt = G(t) + C , то
∫	f (x)dx = G(ψ (x)) + C,
где ψ(x) − обратная	функция для функции x = φ(t) .

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

Полезно запомнить формулу:

∫	f ′(x)	dx = ∫	df (x)	= ln	f (x)	+ C


	f (x)		f (x)

С помощью этой формулы можно вычислять,

интегралы вида ∫ tgxdx, ∫ ctgxdx,

∫

, a ≠ 0,

ax + b

другие интегралы.

cos xdx

Например,

∫ ctgxdx = ∫

= ln

sin x

+ C;

sin x

Пример 5.4. Найти ∫

x 1

+ ln2

Решение. Подстановка ln x = t,

d (ln x) = dt,

Тогда исходный интеграл примет вид

(5.4)

например,

а так же и

1x dx = dt.

∫

= ln t +

1 + t

+ C =ln ln x + 1 + ln

x + C .

1 + t 2

Пример 5.5. Найти

∫

dx методом подстановки.

(x −1)2

Решение.

Пусть x = t +1,

dx = d (t +1),

dx = dt.

Тогда

∫

dx = ∫

(t +1)3

dt = ∫

t3 + 3t 2 + 3t +1

dt = ∫

dt + ∫

(x −1)2

t 2

= ∫ tdt + 3∫ 1dt + ∫ 3 dt

+ ∫ t−2dt = t2

+ 3t + 3ln

t−1

+ C =

(x −1)2

−1

+ 3(x −1) + 3ln

x −1

−

+ C.

x −1

Лекция № 4	Неопределенный интеграл	проф. Дымков М. П.	9
Интегралы, содержащие иррациональные выражения вида
a2 − x2 ,	x2 + a2 или x2 − a2 ,	можно вычислить	с

помощью тригонометрических подстановок :

для

a2 − x2

применяют подстановку

x = asin t ,

dx = a costdt (или x = a cost,

dx = −asin tdt) ;

для

x2 + a2

подстановку

x = a tg t,

dx =

(или x = a ctg t,

dx = −

dt);

cos2

sin2

для

x2 − a2

подстановку

x =

или x =

sin t

cost

1 − x2 dx .

Пример 5.6. Найти ∫

Решение.

∫

1 − x2 dx = [x = sin t,

dx = cos tdt,

t = arcsin x,

−1 ≤ x ≤1 ]=

= ∫	1 −sin2 t cos tdt	= ∫ ctg 2tdt = ∫ (	1	t	−1)dt = ∫	1	t	dt − ∫ 1dt =
	sin2 t		sin2	t		sin2	t

=−ctgt −t + C = − 1 −x x2 − arcsin x + C.

5.2.2.Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Интегралы	вида ∫ R(x, (		ax + b	)	p	,..., (	ax + b	)	s	)dx, где R −
					q
									t

			cx + d				cx + d
рациональная функция,		p,q,...,s,t − целые числа, находятся с
помощью	подстановки		t = m	ax + b , где						m −наименьшее
				cx + d

общее кратное чисел q,...,t.

Лекция № 4 Неопределенный интеграл проф. Дымков М. П. 10

Пример 5.7. Найти ∫

x +

1 + x dx.

1 + x

Решение. Пусть t = 6 1 + x ,

тогда

x = t6 −1, dx = 6t5 dt,

1 + x = t5 ,

3 1 + x = t 2 .

Следовательно,

∫ x +

1 + x dx = ∫ t6

−1 + t3

6t5 dt =

1 + x

t 2

= 6∫ (t9 +t6 −t3 )dt = 6(

t10

−

) + C

где

t = 6 1 + x .

5.2.3.Интегрирование тригонометрических функций.

			∫ sin axcosbxdx,							∫ cos axcosbxdx,										∫ sin axsin bxdx,

	где a ≠ b, находятся с помощью формул:
				sin ax cosbx =								1	(sin(a − b)x + sin(a + b)x),
				sin ax cosbx =						2			(sin(a − b)x + sin(a + b)x),
										2
			cos ax cos bx =									1	(cos(a −b)x + cos(a + b)x),
			cos ax cos bx =							2			(cos(a −b)x + cos(a + b)x),
										2
			sin ax sin bx =								1		(cos(a −b)x − cos(a + b)x).
			sin ax sin bx =							2			(cos(a −b)x − cos(a + b)x).
										2
			Пример 5.8. Найти ∫ sin 2xsin 4xdx.
						1																	Решение.
		∫ sin 2xsin 4xdx = ∫				1	(cos(2x − 4x) − cos(2x + 4x))dx =
		∫ sin 2xsin 4xdx = ∫					(cos(2x − 4x) − cos(2x + 4x))dx =
		1	2						sin 2x								sin 6x
		1	∫ cos 2xdx −	1	∫ cos 6xdx		=	1	sin 2x					−	1		sin 6x	+ C =	1	sin 2x −		1	sin 6x + C.
2			∫ cos 2xdx −		∫ cos 6xdx		=							−		6		+ C =	4	sin 2x −	12		sin 6x + C.
2			2				2			2			2			6			4		12
		Вычисление интервалов вида:

			∫ R(sin x,cos x)dx,											где R −рациональная функция.
	Если выполнено:

Лекция № 4	Неопределенный интеграл		проф. Дымков М. П.	11
R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x),			то подстановка	t = cos x;
R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x),			то	t = sin x,
R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x),			то	t = tgx.
Пример 5.9. Найти ∫ cos3		xdx.
Решение.	Пусть t = sin x,	dt = cos3 xdx, cos2 x =1 − sin2 x.
Тогда

∫ cos3 xdx = ∫ cos2

x cos xdx = ∫ (1 −t

2 )dt = ∫ 1 dt − ∫ t

2 dt = t −

+ C =

= sin x −

sin3 x

+ C.

Если ни одно из вышеуказанных равенств не выполняется, то

целесообразно применять так называемую универсальную

тригонометрическую подстановку:

2tg

1 −tg

1 −t 2

t = tg

, sin x =

cos x =

2 x

+ y2

2 x

+ tg

1 + tg

1 + t2

2dt

x = 2arctg t,

dx =

1 + t 2

5.2.4. Интегрирование по частям.

Кчислу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. Он

основывается на следующем утверждении.

Теорема 5.3. Если функция u = u(x) и v = v(x)

дифференцируемы на некотором множестве Х и, кроме того, на этом множестве существует интеграл ∫ v(x)u′(x)dx, то на

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

множестве X существует и интеграл

′

причем

∫ u(x)v (x)dx,

справедлива формула

′

= u(x)v(x) −

′

(5.5)

∫ u(x)v (x)dx

∫ v(x)u (x)dx

или в

виде, удобном для запоминания:

∫ udv = uv − ∫ vdu

Неудачный выбор функции u

и v может привести к более

сложному интегралу, чем исходный интеграл.

Пример 5.11. Найти ∫

x cos xdx.

Пусть

u = cos x,

dv = xdx.

Покажем, что такой выбор

функций

u и v

является неудачным.

Так как

du = −sin xdx,

v = ∫ xdx =

то

∫ x cos xdx = cos x

− ∫

(−sin x)dx =

cos x + ∫

sin xdx.

Получили, что

∫

sin xdx

сложнее, чем исходный

интеграл.

Положим теперь u = v,

v = ∫ cos xdx = sin x.

Тогда

∫ x cos xdx = xsin x − ∫ sin xdx = xsin x + cos x + C.

Существует ряд рекомендаций

по выбору функций

u и v

в основных трех типах интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям с помощью формулы (5.5).

	arcsin x
	arccos x

1. Интегралы вида ∫	arctgx
1. Интегралы вида ∫
	arcctgx
	ln x

	ln(ϕ (x))
подстановкой u = g(x),	где g(x) −

Pn (x)dx вычисляются

из { }, а dv = Pn (x)dx.

Лекция № 4		Неопределенный интеграл					проф. Дымков М. П.			13
					eax
									вычисляются
	2. Интегралы вида ∫ Pn (x) cos ax dx								вычисляются

					sin ax
подстановкой			u = Pn (x),	dv ={ }dx,				причем		формулу
интегрирования по частям нужно применять n раз.
	3. Интегралы вида
∫	eax cos bxdx,		∫ eax sin bxdx,			∫	sin(ln x)dx ,		∫ cos(ln x)dx ,
∫	x2 + adx,	∫	a2 − x2 dx,		∫		dx	и некоторые другие
∫	x2 + adx,	∫	a2 − x2 dx,		∫	(x2	+ a2 )n	и некоторые другие
						(x2	+ a2 )n

вычисляются с помощью применения формулы интегрирования по частям дважды, причем дважды выбирают тригонометрическую, либо дважды показательную функцию и получают линейное уравнение относительно исходного интеграла.

Пример 5.12. Найти ∫ ln xdx.

∫ ln xdx =

u = ln x,

dv = dx,

du =

dx,

v = x

= x ln x − ∫

= x ln x − x + C

Пример 5.13.

Найти ∫

arcsin xdx.

Решение.

du =

dx,

= x arcsin

∫ arcsin xdx = u = arcsin x, dv = dx,

− x

v = x

− ∫

xdx

= [

1 − x2 = t,

1 − x2 = t 2 ,

− 2xdx = 2tdt]= x arcsin x + ∫

tdt

1 − x2

= x arcsin x + 1 − x2 + C.

Интегрирование рациональных функций.

дробь, то∫

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

Теорема 5.4. Если R(x) = QP((xx)) −правильная рациональная

P(x) dx выражается в элементарных функциях.

Q(x)

Разложим Q(x) на линейные и квадратичные множители с дискриминантом, меньшим нуля:

Q(x) = (x − a1 )α 1 (x − a2 )α2 ….(x − an )α n (x2 + p1x + q1 )β 1 ×

×(x2 + p2 x + q2 )β 2 …(x2 + pr x + qr )â r ,

где α 1, α 2,...α k , β 1,

β 2,...β r −целые числа, большие или

равные 1, то R(x) может быть разложена на простейшие

дроби по следующей схеме:

Aα

P(x)

+... +

Q(x)

(x − a )2

(x − a )α

x − a

+... +

Bá

x + N

+…+

(x − a

)á k

x2 + p x + q

(x2

+ p x

+ q )2

x + N

+... +

R x

+ S

... +

Râ

x + Sâ

(x2

x2 + p

x + qr

(x2

+ p

x + q

+ p x + q )β 1

)â r

где A1 , A2 ,...M1 , N1 ,...Rβ r , Sβ r − некоторые числа, называемые

неопределенными коэффициентами.

Интегралы от простейших дробей вычисляются следующим образом:

1. ∫	A	dx = A∫	d (x − a)	= Aln	x − a	+ C.

	x − a		x − a

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

Например, ∫

3dx

= 3ln

x + 5

+ C .

x + 5

d (x − a)

= A∫

(x − a)−k dx = A

(x − a)−k +1

+ C =

2. ∫

dx = ∫

(x − a)k

− k +1

= ∫

(x − a)−k +1

+C =

+C .

− k

− a)k −1

− k +1

Например, ∫

4dx

= 4

(x − 2)−2

+ C = −

+ C.

(x − 2)3

− 2

(x −

2)2

Mx + N

∫

dx =

∫

dx =

x +

= t,

= dt,

+ px + q

(x +

)

+ q

−

Mt + N −

Mtdt

N − M

q −

= a2

= ∫

=∫

− ∫

dt =

+ a

2 2

+ a

t 2

+ a2

+ (N −

)arctg

+ C

ln(x2

+ px + q) +

2N − Mp

arctg

2x + p

+ C

4q − p2

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

4. Интегралы

вида ∫

Mx + N

, где

k ≥ 2,

вначале

(x2 + px

+ q)k

разбиваются

на два интеграла, один из которых вычисляется

подстановкой x

= t ,

второй

–

этой же

подстановкой,

потом интегрированием по частям и понижением порядка.

Пример 5.16.

Найти ∫

x3 −5

dx.

− 6x + 5

Решение.

Поскольку

степень

числителя

выше

степени

знаменателя, то вначале выделяем целую часть алгебраической дроби, деля числитель на знаменатель:

x3 −5

= x + 6

31x − 35

Тогда

x2 − 6x +

∫

x3 − 5

dx. =

∫ (x + 6)dx + ∫

31x −35

dx =

+ 6x + I,

− 6x +

x2 − 6x +

где I = ∫

31x −35

dx.

− 6x +

Пусть

31x −35

. Тогда приводя к общему

x2 − 6x + 5

x −1

x −5

знаменателю,

получим

31x − 35

A(x −5) + B(x −1)

− 6x +

(x −1)(x −5)

Отсюда

31x − 35 = ( A + B)x − 5A − B

Для нахождения

неопределенных коэффициентов A и B

составим систему

A + B = 31,

4A = 4, A =1,

B = 30.

5A + B = 35,

Значит, I = ∫

dx +

∫

dx = ln

x −1

+ 30 ln

x −5

+ C.

x −

x − 5

Окончательно получим

−5

∫

dx =

+ 6x + ln

x −1

+ 30 ln

x −5

+ C.

x2 − 6x + 5

Лекция № 4

Неопределенный интеграл

проф. Дымков М. П.

Вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x , можно при нахождении неопределенных коэффициентов A, B, воспользоваться методом произвольных значений.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019117.76 Кб8Lek-07-1C_8_2-20.doc
#
24.09.201976.29 Кб8Lek-08-1C_8_2-80.doc
#
24.09.201994.72 Кб9Lek-09-1C_8_2-Свод.doc
#
24.09.2019441.34 Кб10Lek-10-Гал_8.10-Опис.doc
#
20.02.20162.06 Mб256Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.20162.84 Mб458Lekcii.Vysshaya matematika (2 semestr).pdf
#
20.02.2016744.96 Кб58lekcii_marketingovye_issledovaniya.doc
#
20.02.2016610.3 Кб35lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.2016645.12 Кб26lekcii_nac_ekonomika_rb.doc
#
20.02.201610.32 Mб235lekcii_po_makroekonomike.doc
#
20.02.201674.75 Кб6lektion 6 landeskunde.doc