Некоторые примеры

∞

2n −1

;

∑

5n +

2

n=1

1

1

n

2

−

2n −1

∞ = lim

2 − n

2

lim

=

n

= lim

=

.

n→∞ 5n + 2

n→∞

2 n→∞

2

5

∞

5 +

n

5

+

n

2

n

Поскольку

lim

an =

≠ 0,

то по

следствию из

5

n→∞

∞

5

n

5

25

+K .

∑

;

Имеем ∑

=

+

26

626

n=1

n=11+ 25n

Заметим,

что

5n

5n

1 n

,

n

=

1,

2, 3,

… .

<

=

1

+ 25n

25n

5

n

ряд

∞

1

∑

есть

сходящийся

∞

n=1 5

геометрический

ряд

∑qn (

q

<1),

то

по

первому

n=1

∞

5

n

признаку

сравнения

меньший

ряд

∑

+ 25n

n=11

© БГЭУ Лекция № 11

Некоторые примеры

проф. Дымков М.П.

2

2)

∞

n +1

∑

2n3 + n

n=1

∞

∞

n +1

Сравним исходный ряд

∑an =

∑

n=1

n=1 2n3 + n −1

∞

∞

1

со сходящимся рядом

∑b

= ∑

∞

1

n=1 n

n=1 n2

(ряд

∑

n=1 n p

Находим

n2

n3 + n2

a

n

n +1

∞

L =

lim

= lim

2n

3

+ n

−1

1

=

lim

2n

2

+ n

=

=

n→∞ bn

n→∞

−1

∞

n→∞

1

1

n3 1+

n

1+ n

1

lim

= lim

=

.

1

1

1

1

2

n→∞

n3

+

−

n→∞

2 +

−

2

n2

n3

n2

n3

Поскольку

L ≠ 0, L ≠ ∞, то ряды

∞

∞

∑an

и ∑bn

n=1

n=1

Ряд

∞

сходится, значит, исходный ряд также

∑bn

n=1

сходится.

на сходимость

∞

4n

;

∑

n3n

n=1

Здесь an =

4n

,

an+1

=

4n+1

.

Находим

n3n

(n +1)3n+1

l = lim

an+1

=

lim

4n+1 n 3n

=

(

+

)

n+1

n

n→∞

a

n

n→∞

n

4

1 3

4n4n 3n

4

n

∞

= .

lim

=

lim

=

(n +1)3n3 4n

n→∞

3 n→∞ n +1

∞

=

4

lim

n 1

=

4

lim

1

=

4

1

=

4

.

1

1

3

3 n→∞

3 n→∞

1

+

3

n 1

+

n

n

сходимость

∞

1 n

;

∑

2n

n

n=1

Здесь an =

1

n +1 n2

. Для применения признака

2n

n

l = lim n an = lim

n

1 n

+

1 n2

=

lim

1

n

+1

n

2n

n

2

n

=

n→∞

n→∞

n→∞

1

1 n

1

e.

=

lim

1 +

=

2

2 n→∞

n

Поскольку

ряд расходится.