- •Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •Сравнение функций по скорости роста
- •Формулы Маклорена и Тейлора
- •Разложение в ряд Маклорена элементарных функций
- •Вопросы для повторения
- •Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Выпуклость функции. Точки перегиба
- •Схема исследования функции на выпуклость
- •Асимптоты графика функции
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Геометрическая интерпретация
- •Свойства эластичности функции
- •Эластичность элементарных функций
- •Вопросы для повторения
- •3 Функции многих переменных
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Экстремум функции многих переменных
- •Достаточные условия экстремума
- •Метод наименьших квадратов
- •4 Неопределенный интеграл
- •Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования
- •5-6 Определенный интеграл
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Определение определенного интеграла
- •Площадь плоской фигуры
- •Длина дуги плоской кривой
- •Объем тела вращения
- •Несобственные интегралы
- •Двойные интегралы
- •7-8 Дифференциальные уравнения
- •Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения.
- •8(доп) Комплексные числа
- •Краткие сведения теории ЛДУ 2-го порядка
- •Краткие сведения теории ЛНДУ 2-го порядка
- •Модель гонки вооружений Ричардсона
- •Модель ведения боевых действий Ланчестера
- •Числовые ряды
- •Понятие числового ряда и его сходимости
- •Некоторые примеры
- •Знакопеременные ряды
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Свойства степенных рядов
- •Примеры
- •Приложения рядов
© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных |
проф. Дымков М. П. |
14 |
|||
Замечание 1. Обратное утверждение звучит несколько иначе. Если |
||||||
функция возрастает на промежутке, то f ′(x0 ) ≥ 0 или не существует. |
|
|||||
Пример 1. |
Функция |
y = x3 |
возрастает на |
всей числовой |
оси, |
|
соответственно |
f (x) > 0 , но в точке |
x = 0 производная |
f (0) = 0. |
|
||
|
′ |
|
|
|
′ |
|
Пример 2. Функция |
2x, |
x ≥ 0, |
не имеет производной в точке |
х=0 |
||
y = |
x < 0 |
|||||
|
|
x, |
|
|
|
(левая и правая производная различны), однако она возрастает при всех значениях х, в том числе и в точке х = 0.
Замечание 2. Опираясь на более «мягкие» условия, можно сформулировать прямую теорему: если производная функции, непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на этом промежутке не убывает. Тогда прямая и обратная теоремы на формализованном языке звучат так:
для того, |
чтобы непрерывная на промежутке функция y = f (x) была |
|||
неубывающей |
на |
этом промежутке, необходимо |
и достаточно, чтобы |
|
f ′(x0 ) ≥ 0. |
|
|
|
|
Понятие экстремума |
|
|
||
Определение. |
Точка |
x0 называется точкой |
локального максимума |
функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f (x) ≤ f (x0 ).
Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех х из этой окрестности f (x) ≥ f (x0 ).
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами
(extremum – крайний).
Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции y = f (x), если для всех х из окрестности точки x0 верно строгое неравенство f (x) < f (x0 ) (соответственно
f (x) > f (x0 ) ).
Замечание. В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции в точке x0 .
|
|
2 |
, x ≠ 0, |
|
|
Пример 3. |
x |
|
разрывна в точке |
х = 0, но имеет в этой |
|
Функция y = |
|
x = 0 |
|||
|
1, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
точке максимум, поскольку существует окрестность точки х = 0, в которой f (x) < f (x0 ).
© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. |
15 |
Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Необходимое условие экстремума
Теорема 2. (о необходимом условии экстремума).
Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производная f ′(x0 ) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
◄Если в точке x0 функция имеет экстремум и дифференцируема, то в
некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю.
Но функция y = f (x) может иметь экстремум и не быть дифференцируемой в этой точке. Достаточно указать пример. Примером может
служить функция y = |
|
x |
|
, |
которая имеет минимум в точке |
x = 0, |
однако не |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируема в этой точке. ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Замечание |
1. |
|
|
|
Геометрическую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
иллюстрацию теоремы дает Рис.1. Функция |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y = f (x) , график которой представлен на этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y = f ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
рисунке, имеет экстремумы в точках x1, x3 , x4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
при |
этом |
в |
точке |
x1 |
производная |
не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
существует, |
|
в точке |
x3 |
она равна нулю, в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
точке |
x4 |
обращается |
|
в |
бесконечность. |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
точках x2, |
x5 |
функция экстремума не имеет, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
x4 |
|
x5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
причем в точке x2 производная обращается в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
бесконечность, в точке x5 |
производная равна |
|
|
|
|
Рис |
. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. Точки, в которых выполняется необходимое условие |
|||||||||||||||||||||||||||||
экстремума для непрерывной функции, называются критическими |
точками |
||||||||||||||||||||||||||||
этой |
функции. |
Они определяются из уравнения |
f (x) = 0 |
|
(стационарные |
||||||||||||||||||||||||
точки) или f |
|
(x) = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Пример 4. Рассмотрим функцию y = x3 . Критической для этой функции
является точка х = 0, что следует из уравнения f ′(x) =3x2 = 0. Однако эта функция при всех х является возрастающей и экстремума не имеет.
© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. |
16 |
|||||||
|
|
|
|||||||
Теорема 3. |
(о достаточных условиях экстремума). |
|
|||||||
Пусть для |
y = f (x) выполнены следующие условия: |
|
|||||||
1) y = f (x) |
непрерывна в окрестности точки x0 ; |
|
|||||||
2) |
f |
(x) = 0 |
или |
f (x) = ∞ |
в точке |
x0 ; |
|
|
|
3) |
f |
′ |
|
′ |
|
|
меняет свой знак. |
|
|
(x) при переходе через точку x0 |
|
||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда в точке x = x0 функция y = f (x) имеет экстремум: |
|
||||||||
минимум, если при переходе через точку x0 |
производная меняет свой знак |
||||||||
с минуса на плюс; |
|
|
|
|
|
|
|||
максимум, если при переходе через точку |
x0 производная меняет свой |
||||||||
знак с плюса на минус. |
f (x) при переходе через точку x0 не меняет своего |
||||||||
Если производная |
|||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
знака, экстремума в точке x = x0 нет. ◄ |
|
|
|
||||||
Условия теоремы можно свести в следующую таблицу |
|
||||||||
|
|
|
|
Знак производной |
|
Экстремум |
|
||
|
|
|
|
- |
|
|
+ |
Минимум |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
- |
Максимум |
|
|
|
|
|
- |
|
|
- |
Нет |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
Нет |
|
Так как по условию f (x) < 0 при x < x0 , то на левом относительно точки |
|||||||||
x0 интервале функция |
′ |
убывает. Так как f (x) > 0 при x > x0 , |
то на |
||||||
y = f (x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
правом |
|
относительно точки |
x0 |
интервале |
функция f (x) возрастает. |
||||
Следовательно, |
f (x0 ) |
есть наименьшее значение функции f (x) в окрестности |
|||||||
точки |
x0 , а это означает, что f (x0 ) |
есть локальный минимум функции |
f (x) . |
Если при переходе с левого интервала на правый функция продолжает убывать, то в точке x0 не будет достигаться минимальное значение функции
(экстремума нет).
Аналогично доказывается существование максимума.►
На рис. 2 a-h представлены возможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции, производная которой в критической точке равна нулю или обращается в бесконечность.
у |
|
у |
|
у |
|
у |
x0 |
х |
x0 |
х |
x0 |
х |
х |
x0 |
||||||
а) |
|
в) |
|
с) |
|
d) |
|
у |
|
|
|
|
|
у |
|
|
у |
|
у |
|
|
х |
х |
|
|
х |
х |
x0 |
|
x0 |
|
x0 |
|
x0 |
e) |
|
f) |
|
g) |
|
h) |
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
© БГЭУ Лекция № 2 |
|
Исследование функций с помощью производных |
проф. Дымков М. П. |
17 |
||||||
Замечание. |
Если условие непрерывности функции в |
у |
|
|||||||
самой |
точке |
x0 |
не выполнено, то вопрос о наличии |
|
|
|||||
экстремума остается открытым. |
|
|
|
|
|
|
х |
|||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим |
разрывную |
в |
точке |
x0 |
функцию |
Рис. 3 |
|
-x +1, |
|
|
x ≤ 0, |
(рис.3). Производная |
этой функции меняет знак |
при |
|
||||||||||||||||||
f (x) = |
|
|
|
x > 0 |
|
||||||||||||||||||||
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
переходе через точку x0 = 0 , |
однако функция в точке |
x0 = 0 |
экстремума не |
|
|||||||||||||||||||||
имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Пусть дана функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
, x ≠ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
(рис.4). Как видно из рисунка, |
f (x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
f (x) = |
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеет локальный максимум в точке |
x0 = 0 |
, однако функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Рис. 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
имеет разрыв в точке x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Замечание |
3. |
|
Если |
|
функция имеет в точке x0 экстремум, например, |
|
|||||||||||||||||||
минимум, то необязательно слева от точки |
x0 функция монотонно убывает, а |
|
|||||||||||||||||||||||
справа от x0 монотонно возрастает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 7. Пусть дана функция |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 −cos |
1 |
|
, x ≠ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
x |
|
(рис. 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3x2 |
y = x |
2 |
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Можно показать, что в |
точке |
х = 0 |
данная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
функция |
непрерывна |
|
и |
имеет |
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|||||||||
Производная функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
||||
f (x) = 2x |
2 - cos |
x |
|
−sin |
x |
в любой окрестности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки х = 0 меняет знак бесконечно много раз. Поэтому функция f (x) не
является монотонно убывающей или возрастающей ни слева, ни справа от точки х = 0.
Схема исследования функции на экстремум:
1)найти производную f ′(x);
2)найти критические точки, т.е. такие значения х, в которых f ′(x) = 0 или
f′(x) = ∞;
3)исследовать знак производной слева и справа от каждой критической
© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных |
проф. Дымков М. П. |
18 |
|||
точки. Если при переходе через критическую точку |
производная f (x) |
меняет |
||||
|
|
|
|
|
′ |
|
свой знак с плюса на минус, то в точке x0 |
функция |
f (x) |
имеет максимум, если |
|||
знак f (x) |
меняется с минуса на плюс, |
то в точке x0 |
функция f (x) |
имеет |
||
′ |
Если при переходе х через критическую точку x0 знак f |
(x) не |
||||
минимум |
||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
меняется, то в точке x0 функция f (x) не имеет ни максимума, ни минимума; 4) найти значения функции в экстремальных точках.
Теорема 4. (2 -ое достаточное условие экстремума). Пусть для функции y = f (x) выполнены следующие условия:
1.y = f (x) непрерывна в окрестности точки x0 ,
2.f ′(x) = 0 в точке x0
3.f ′′(x) ≠ 0 в точке x0 .
Тогда, в точке x0 |
|
достигается экстремум, причем: |
если f ′′(x0 ) > 0, то в точке |
||||||||||||||||||||
x = x0 |
функция |
y = f (x) |
имеет минимум, |
если |
f ′′(x0 ) < 0 , то |
|
при |
x = x0 |
|||||||||||||||
функция y = f (x) имеет максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
◄ По определению 2-й производной f |
′′ |
|
|
|
|
|
f ′(x) − f ′(x0 ) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
) = lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(x |
|
|
x |
− x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Но по условию f |
′ |
|
Поэтому |
f |
′′ |
|
) = lim |
(x) |
. |
Если |
f |
′′ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x ) = 0. |
|
(x |
x |
− x |
|
(x ) > 0, то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
дробь |
f ′(x) |
> 0 |
в некоторой |
окрестности |
точки |
x = x . |
При |
|
x < x |
дробь |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
При |
x > x0 |
|
дробь положительна, |
при условии |
|||||||||||||||
положительна, если f (x) < 0 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
f (x) при переходе через точку |
x = x0 |
|
меняет знак, |
|||||||||||||||
f (x) > 0 . Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому есть экстремум. Знак производной меняется с минуса на плюс, значит, это минимум. Аналогично доказывается случай f ′′(x0 ) < 0 .►
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию y = x2 + 2x +3. Находим производную y′= 2x + 2 .
1)Находим критические точки, для чего приравниваем к нулю производную: y′= 2x + 2 = 0, → x0 = -1.
2)Изучаем знак производной слева и справа от этой точки (рис. 6).
Поскольку знак производной меняется с минуса на плюс, в точке х = −1 достигается минимум.
3) Находим величину минимума: ymin (−1) = 2.
Пример 9. |
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x) - |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||
Исследовать на экстремум функцию y = 3 |
x2 |
+1. |
|
|||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
-1 |
х |
|
1) Находим производную y′= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 x . |
|
Рис. 6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. |
19 |
2)Критической точкой является x = 0, т.к. в этой точке f ′(0) = ∞.
3)Исследуем знак у' слева и справа от точки x = 0. Очевидно, f ′(x) < 0 ,
если x < x0 |
, и f (x) > 0 , если |
x > x0 . Таким образом, точка |
x = 0 есть точка |
|
′ |
|
|
минимума данной функции.
4) ymin (0) =1.
Пример 10.
Исследовать на экстремум функцию y = e-x2 .
1)Находим первую производную: y′= -2xe-x2 .
2)Приравнивая производную нулю, находим единственную критическую точку x = 0.
3)Далее находим вторую производную: y′′= −2e-x2 + 4x2e−x2 . Ее значение
вточке x = 0 равно -2.
4)Делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем: ymax (0) =1.
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [а; b], то,
согласно 2-й теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
Если свое наибольшее значение М функция f (x) принимает во внутренней точке x0 отрезка [а; b], то M = f (x0 ) будет локальным максимумом функции f (x) , т. к. в этом случае существует окрестность точки x0 такая, что значения f (x) для всех точек х из этой окрестности будут не
больше f (x0 ) .
Однако свое наибольшее значение М функция f (x) может принимать и на концах отрезка [а; b]. Поэтому, чтобы найти наибольшее значение М непрерывной на отрезке [а; b] функции f (x) , надо найти все максимумы функции в интервале (а; b) и значения f (x) на концах отрезка [а; b] и выбрать
среди них наибольшее число. Вместо ограничиться нахождением значений Наименьшим значением m непрерывной
исследования на максимум можно функции в критических точках. на отрезке [а; b] функции f (x) будет
наименьшее число среди всех минимумов функции f (x) в интервале (a; b) и значений f (a) и f (b) .