© БГЭУ Лекция № 7 |
Дифференциальные уравнения |
проф. Дымков М. П. |
1 |
|
Часто приходится отыскивать |
|
неизвестную |
функцию из |
|||||
|
соотношения, которое связывает |
независимую |
переменную |
||||||
|
x , искомую функцию y = y(x) |
|
и ее производные |
||||||
|
′ |
′′ |
|
|
′′′ |
(n) |
(x). |
|
|
|
y (x), y (x), y |
(x),..., y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральное исчисление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x2dx найти функцию |
y(x), |
что верно равенство y′ = x2 . |
||||||
|
Решение есть функция y(x) = |
x3 |
+ C . |
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Демографическая модель
Известно, что число новорожденных за единицу времени прямо пропорционально с коэффициентом k1 , а число
умерших – с коэффициентом k2 – от численности населения.
Пусть y = y(t) – число жителей региона в момент времени t.
Задача: |
. |
получить формулу подсчета населения |
||||||||||||||
Решение |
∆y = k1 y∆t − k2 y∆t = (k1 − k2 ) y∆t |
– |
прирост |
|||||||||||||
населения за промежуток ∆t . |
Предельный переход дает тогда |
|||||||||||||||
y′ = k y |
(k = k1 |
− k2 ) |
|
dy |
= ky |
– демографическая модель |
||||||||||
dt |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dy |
= kdt ∫ |
dy |
= ∫ kdt ln y = kt |
+ ln C |
y |
= ekt |
|
||||||||
|
|
C |
||||||||||||||
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = Cekt |
рост численности населения |
(Мальтус) |
|
|||||||||||||
© БГЭУ Лекция № 7 |
Дифференциальные уравнения |
проф. Дымков М. П. |
2 |
Радиоактивный распад
Установлено, что скорость распада пропорциональна наличному количеству не распавшегося вещества с коэффициентом пропорциональности k .
Обозначив:
x0 — массу радиоактивного вещества в начальный момент
времени t = 0,
x − его массу в момент времени t .
|
dx |
= −kx, k > 0. |
|
dt |
|||
|
|
Знак минус указывает на тот факт, что с течением времени масса радиоактивного вещества убывает.
dxx = −kdt ln x = −kt + ln c .
При t = 0 получаем ln x0 = ln c, откуда c = x0 .
Значит, x = x0e−kt — формула для определения количества
радиоактивного вещества в любой момент времени t .
можно произвести датировку событий, имеющих место миллионы лет тому назад.
© БГЭУ Лекция № 7 |
Дифференциальные уравнения |
проф. Дымков М. П. |
3 |
Определение1. |
Обыкновенным |
|
|
дифференциальным |
||||||||
уравнением |
n |
−го порядка называется соотношение вида |
||||||||||
|
|
|
|
′ |
′′ |
(n) |
) = 0 |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y, y , y ,..., y |
|
|
|
|
||||
где F −известная функция, |
заданная в области |
D Rn+2 , x − |
||||||||||
независимая переменная, |
y = y(x) − |
искомая |
функция, а |
|||||||||
′ |
′′ |
(n) |
− |
ее производные |
|
до |
|
n −го порядка |
||||
y , |
y ,..., y |
|
|
|
||||||||
включительно.
Определение2. Порядком n дифференциального уравнения называется порядок старшей из входящих в него производных y(n) (x).
Если уравнение можно записать в виде
|
|
y |
(n) |
= f |
′ |
′′ |
(n−1) |
), |
(2) |
|
|
где f − |
|
|
(x, y, y , y ,..., y |
|
|
|
|||||
функция, |
определенная |
в |
некоторой области |
||||||||
D Rn+1 |
, то |
говорят, |
что |
дифференциальное |
уравнение |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрешено относительно старшей производной. |
Его в этом |
||||||||||
случае еще |
называют дифференциальным уравнением в |
||||||||||
нормальной форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дифференциальное уравнение, в которой неизвестная функция y зависит от одной переменной x , называется обыкновенным. Если же дифференциальное уравнение содержит функцию многих переменных и ее частные производные, то оно называется дифференциальным уравнением в частных производных.
© БГЭУ |
Лекция № 7 |
Дифференциальные уравнения |
|
проф. Дымков М. П. |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
′ 2 |
− ln y |
′ |
= 0 − |
обыкновенное |
||
|
Например, |
|
|
1) |
|||||||||||
|
|
|
|
− (2xy ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциальное уравнение первого порядка; |
|
||||||||||||||
2) |
y′′′ = |
1 − yx −обыкновенное дифференциальное уравнение |
|||||||||||||
третьего порядка в нормальной форме; |
|
|
|
||||||||||||
3) |
∂2u(x, y) |
+ |
∂2u(x, y) |
= 0 −уравнение |
|
второго порядка |
в |
||||||||
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
частных производных.
Определение3. Решением дифференциального уравнения (1)
называется |
всякая |
действительная |
функция |
y = y(x),определенная на интервале (a, b) такая, что: |
|
||
1)y(x) n раз непрерывно дифференцируема на (a, b) ;
2) |
точка |
|
′ |
|
(n) |
(x)) D R |
n+2 |
, для всех |
(x, y(x), y (x),..., y |
|
|
||||||
|
x (a, b), где D − область определения функции F ; |
|||||||
3) |
|
′ |
(n) |
(x)) ≡ 0 |
для всех |
x (a,b). |
||
F(x, y(x), y (x),..., y |
|
|||||||
Всякому решению дифференциального уравнения (1) на плоскости отвечает некоторая кривая y = y(x) , x (a,b), которую называют интегральной кривой дифференциального уравнения (1).
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения
называется интегрированием |
этого уравнения. |
|
|
|||||||||||||||
|
Например, |
решением дифференциального уравнения |
||||||||||||||||
y |
′′′ |
= 1 |
|
′′ |
|
2 |
есть y = −sin x + 2x |
+ C, x |
|
π |
; |
π |
||||||
|
− ( y ) |
|
(− 2 |
2 ), так как |
||||||||||||||
|
|
|
|
π |
π |
|
′ |
|
|
′′ |
|
′′′ |
|
|
|
|||
при x |
(− 2 ; |
2 ), y |
= −cos x + 2, y |
= sin x, y |
= cos x и |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
1 − sin2 x = cos x, если x (−π2 ;π2 ).
Простейшие примеры показывают, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесчисленное множество решений. В связи с этим,