Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 12

Вопросы для повторения

1.Сформулировать и доказать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

2.В чем геометрический смысл теоремы Ролля?

3.Привести геометрический смысл теоремы Лагранжа.

4.Как в смысле общности соотносятся между собой теоремы Роля, Лагранжа и Коши?

5.Сформулировать и доказать правило Лопиталя при x → a .

6.Можно ли распространить правило Лопиталя на случай x → +∞? Как это обосновать?

7.На какие типы неопределенностей распространяется правило Лопиталя?

8.Провести сравнение степенной, показательной и логарифмической функций по скорости роста при x → +∞.

9.Назвать наиболее медленно растущую функцию из известных вам и наиболее быстро растущую при x → +∞.

10.Привести разложение многочлена n-й степени в ряд, используя формулу Маклорена.

11.Привести в общем виде формулы Тейлора и Маклорена разложения

13.Как соотносятся между собой асимптотические формулы и формула Маклорена разложения функции в степенной ряд?

Условия возрастания и убывания функции

Понятие экстремума

Необходимое условие экстремума

Первое достаточное условие экстремума

Схема исследования функции на экстремум

Второе достаточное условие экстремума

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Выпуклость функции. Точки перегиба

Схема исследования функции на выпуклость

Асимптоты графика функции

Исследование функций и построение их графиков

Приложение. Эластичность функции

Условия возрастания и убывания функции

Изучим условия возрастания (не убывания) и убывания (не возрастания) функций. Напомним, что функция y = f (x) называется возрастающей на

промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства x2 > x1 следует

неравенство f (x2 ) > f (x1) . Функция называется убывающей на промежутке, если из x2 > x1 следует f (x2 ) < f (x1).

Функция y = f (x) называется неубывающей на промежутке, если из неравенства x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) ≥ f (x1), и невозрастающей, если из условия x2 > x1 следует f (x2 ) ≤ f (x1).

Теорема 1. (условия возрастания (убывания) монотонной функции).

f ′(x0 ) < 0, то из x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) < f (x1).►