§ 6. Однородные системы уравнений

Система линейных уравнений (1) называется однородной, если во всех

Очевидно, что верно равенство r(A) = r(Ab ). Значит, система (3) всегда сов-

местна. Очевидно, х =0 является решением (3) (тривиальное решение). Когда существуют ненулевые решения?

Теорема. Для того, чтобы однородная система m линейных уравнений с n неизвестными, имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n.

Доказательство. Необходимость. Так как ранг матрицы не может быть больше размеров матрицы то r ≤ n . (Ясно, что r ≤ m тоже – но это нам не надо!). Предположим вначале, что r = n . Тогда по тереме Кронекера-Капелли система линейных уравнений имеет единственное решение, а именно нулевое решение. Значит, других, кроме тривиальных решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то должно выполняться неравенство r < n , что и требовалось доказать.

Достаточность.

Если есть система уравнений размера n×n , и r < n , то это означает, что столбцы матрицы коэффициентов линейно зависимы. Это означает, что в их линейной комбинации

x1 a1 + x2 a2 +....+ xn an = 0

существует ненулевой набор чисел x1,..., xn , что и требовалось доказать. Имеет место следующее утверждение

Теорема. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными, имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю ∆ = det A = 0 .

Следствие. Однородная система, у которой число уравнений меньше числа неизвестных всегда имеет ненулевое решение.

§ 7. Собственные векторы и собственные числа

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n, элементы которой действительные числа. При умножении такой матрицы на n-мерный вектор x Rn ,

получается некоторый n-мерный вектор b = Ax , b Rn .

Во многих задачах линейной алгебры возникает следующий вопрос: можно ли найти такое число λ , что верно равенство b = λx , т.е.

Ax = λx.

Использование алгебры матриц

Использование систем линейных уравнений

§1. Использование алгебры матриц

Использование элементов алгебры матриц упрощает и облегчает решение многих экономических задач. Особенно актуальным становится этот вопрос при компьютерной разработке и использовании различных баз данных, в которых почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим простейшие производственные задачи, в которых можно использовать понятие матрицы и операций над ними.

Пример. Рассмотрим 4 фирмы, выпускающие 5 видов продукции и потребляющие при этом 3 типа сырья. Данные о дневной производительности этих фирм по каждому виду изделий, нормах потребления каждого типа сырья по каждому виду изделий, продолжительность работы (в днях) каждой фирмы в году, а также цены каждого типа сырья приведены в таблице:

Требуется определить:

1) годовую производительность каждой фирмы по каждому виду изделий;