MolFiz_2012_v2
.pdfЧисло молекул, имеющих скорости в
заданном интервале
Для нахождения числа молекул N, имеющих
скорости в диапазоне ϑ1<ϑ<ϑ2, следует найти |
|||||||||
интеграл |
|
m0 |
3/ 2 2 |
|
|
m0 2 2 |
|
||
|
|
|
|||||||
N 4 N0 |
|
|
exp |
|
|
|
d . |
||
|
|
||||||||
|
|
2 kT |
1 |
|
|
2kT |
|
||
К сожалению, такой интеграл можно вычислить только численным способом. В случае скоростей из диапазона от ϑ до ϑ+Δϑ, где
Δϑ<<ϑ, приближенно найдем
|
m0 |
3/2 |
|
|
m0 2 |
2 |
|
|
N 4 N0 |
|
|
exp |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
2 kT |
|
|
2kT |
|
|
|
|
Численное вычисление дает
N нв 0,5724 N0 , N нв 0, 4276 N0. 71
Экспериментальная проверка
Эксперимент Штерна
72
Экспериментальная проверка
Эксперимент Элдриджа
73
Молекулярная физика
Тема 6:
Кинематические характеристики молекулярного движения
74
Содержание
•Частота ударов о стенку.
•Поперечное сечение столкновений. Частота
столкновений.
•Средняя длина свободного пробега молекул.
•Экспериментальное определение длины
свободного пробега молекул.
75
Частота ударов о стенку
Для нахождения частоты ударов молекул о стенку сосуда ν необходимо вычислить интеграл
|
|
|
|
|
ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x dN ns |
|
|
|
|
|
x |
exp |
|
|
|
|
|
|
|
d x d y d z |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 y2 |
|
|
|
|||||||||||||
ns |
0 |
|
|
|
x |
exp |
|
|
0 x |
|
d x |
|
|
exp |
|
|
|
|
d y |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m0 z2 |
|
|
|
|
m0 |
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 x2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
exp |
|
|
|
|
|
d z ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
exp |
|
|
|
d x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
8kT |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8kT |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ns |
|
|
|
|
|
|
exp x dx |
|
|
|
ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ns ср , |
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
m0 |
|
|
4 |
|
m0 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где n – концентрация молекул, s – площадь стенки.
При вычислении было учтено, что вклад вносят только
молекулы, движущиеся в направлении стенки |
|
(находящейся на положительной части оси x) и |
|
имеющих направление скорости нормальное, по |
|
отношению к стенке. |
76 |
|
Поперечное сечение
А насколько часты столкновения молекул газа между собой? Пусть одна молекула движется со скоростью ϑ, а остальные покоятся, тогда молекула испытает столько столкновений, сколько молекул будет у нее на пути. Столкновением можно считать такое событие, когда центр молекулы-мишени будет отстоять от траектории центра летящей молекулы не далее чем на d=2r, где r – эффективный радиус молекулы, d –
эффективный диаметр молекулы.
77
Частота столкновений
Т.е. в единицу времени произойдут столкновения только с теми молекулами, которые попадают внутрь цилиндра с сечением σ=πd2. где величина σ –
называется поперечным сечением столкновения.
Объем цилиндра (в единицу времени) σϑ, концентрация частиц в объеме n, значит частота столкновений
n d 2n .
Если учесть, что все молекулы в газе движутся, то предыдущую формулу необходимо изменить. Во-первых, необходимо заменить ϑ→ϑср; и, во-вторых, учесть относительность движения молекул по отношению друг к другу. В результате для средней частоты столкновений
можно получить
ср 
2n ср 
2 d 2n ср .
78
Длина свободного пробега
Средняя длина свободного пробега молекулы –
среднее расстояние, которое проходит молекула от одного столкновения до другого. Учитывая, что молекулы движется со средней скоростью ϑср, а среднее время между столкновениями τст=1/νср, получим для средней длины свободного пробега
|
|
|
|
|
1 |
|
|
kT |
|
|||||
l |
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ср |
ср |
|
ср |
2 d 2n |
|
|
2 d 2 P |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где было учтено, что
P nkT.
79
Длина свободного пробега
Для длины свободного пробега можно получить другое выражение, исходя из общих соображений. Действительно, по определению
lср xdw,
0
где dw – вероятность пролететь без соударений путь x, а затем испытать столкновение в интервале от x до x+dx. Эта вероятность определяется отношением числа молекул, испытавших первое столкновение в интервале dx, к полному числу молекул N0.
80