MolFiz_2012_v2
.pdf
Распределение Пуассона
В случае n>>m и np=m0=const можно
воспользоваться формулой Стирлинга
|
|
|
n! |
|
n |
m |
|
|
n! |
|
|
n |
|
wm |
|
|
|
pm 1 p |
|
|
|
|
pm 1 p |
|
|
||
m! n m |
! |
|
m! n m |
! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n n
m! e
n m n m |
|
m |
1 p |
n |
|
m0 |
m |
|
m0 |
n |
|||
|
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
m! |
|
n |
|
|||
В пределе получим
|
lim |
m0 |
m |
|
m0 |
n |
|
m0 m e m0 |
wm |
|
1 |
|
|
m! |
|||
|
|
|||||||
|
n |
m! |
|
n |
|
|||
- распределение Пуассона.
51
Распределение Гаусса
Рассмотрим случай n>>m, но n, m>>1 и |m--m0|<<m, m0. Прологарифмируем распределение Пуассона, получим
ln wm m ln m0 m0 ln m!
пользуясь формулой Стирлинга, получим ln wm mln m0 m ln m m m0
Разложим последнее выражение в ряд Тейлора вблизи точки m=m0, ограничиваясь квадратичным членом.
Формула Тейлора разложения функции f(x) в окрестности точки x0 (где |x--x0|<<x, x0) имеет вид
f x f x0 |
|
1 |
|
f x0 x x0 |
|
||||||||
1! |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
f x0 x x0 |
2 |
|
1 |
|
f x0 x x0 3 |
... |
||||
2! |
3! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
52 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Распределение Гаусса
Представим
ln wm f m m ln m0 mln m m m0 ,
тогда
f m0 0, |
f m0 0, |
f m0 |
1 |
, |
|
||||
|
|
|
m0 |
|
следовательно, можно записать |
|
|
||
|
|
ln wm |
|
m m0 |
2 |
|
|
|
|
2m0 |
... |
||
|
|
|
|
|
|
|
или |
wm |
|
m m0 |
2 |
wm 1 |
|
C exp |
2m0 |
, |
||||
|
|
|
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
|
- называется распределением Гаусса. |
53 |
|
Вероятность макросостояния идеального газа
Вероятность макросостояния идеального газа можно определить формулой
|
|
|
n! |
|
n |
m |
wm |
|
|
|
pm 1 p |
|
|
m! n m |
! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
где n – полное число молекул, находящееся в полном объеме газа V, m – некоторое число молекул (из общего их числа n), находящихся в выбранном объеме V1, p=V1/V – вероятность нахождения молекулы в объеме V1.
Наиболее вероятной концентрацией молекул в объеме V1 является такая, которая соответствует равномерному распределению молекул по объему54 .
Молекулярная физика
Тема 5:
Распределение молекул идеального газа по скоростям
55
Содержание
•Границы применимости распределения Максвелла. Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла по компонентам скорости. Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости. Распределение Максвелла по кинетической энергии.
•Характерные скорости. Число молекул в различных участках распределения Максвелла. Приведенное распределение Максвелла.
•Экспериментальная проверка распределения Максвелла.
56
Распределение Максвелла
Скорости молекул в идеальном газе принимают произвольные значения. Скорость молекулы зависит от температуры. А сколько молекул из общего их числа имеют ту или иную скорость при заданной температуре? Ответ на этот вопрос дал Дж.К.Максвелл в 1859 г. Распределение молекул по скоростям было получено при следующих условиях: все молекулы имеют одинаковую температуру (газ равновесный); при соударениях молекул соблюдается условие детального равновесия, т.е. при соударении пары молекул, когда эти молекулы поменяли свои скорости, в газе всегда найдутся две другие молекулы, которые приобрели те же самые скорости, которые имелись в первой паре до соударения, иначе, число молекул, имеющих заданную скорость не меняется со временем; все молекулы одинаковые (имеют одинаковую массу и размер).
57
Распределение Максвелла
Максвелл предположил, что число молекул газа, имеющих скорости в диапазоне от ϑx до ϑx+dϑx, от ϑy до ϑy+dϑy и от ϑz до ϑz+dϑz равно
dN N0 Aexp x2 y2 z2 d xd y d z ,
где exp z ez .
Для нахождения нормировочного
коэффициента учтем, что
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
dN N0 , |
exp u2 |
du |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
Распределение Максвелла
В результате получим (хотя бесконечных скоростей нет, оставляем бесконечные пределы при интегрировании, т.к. интегралы быстро сходятся)
dN N0 N0 Aexp x2 y2 z2 d x d y d z
|
|
|
|
N0 A |
exp x2 |
d x |
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
N0 A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
exp y2 d y |
exp z2 |
d z |
|
|
|
Следовательно
A 3/ 2 .
59
Распределение Максвелла
Таким образом
|
|
3/2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
dN N0 |
|
|
|
y |
|
||
exp x |
z d x d y d z . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения α вычислим квадрат средней квадратичной скорости по формуле
|
2 1 |
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
кв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
N0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
dN |
|
|
|
|
exp |
|
d x d y d z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
2 x2 y2 z2 .
60