MolFiz_2012_v2
.pdfВязкость жидкости
Коэффициент вязкости жидкости при постоянной температуре хорошо описывается формулой
Бачинского |
|
A |
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
V b |
||
|
0 |
|
|
где A и b – постоянные, определяемые свойствами жидкости (b – постоянная Ван-дер-Ваальса); V0 – молярный объем жидкости.
Зависимость вязкости от температуры дается формулой
Френкеля |
u |
|
|
|
|
|
|||
|
0 exp |
|
|
, |
|
|
|||
|
kT |
|
||
где η0 – постоянная определяемая свойствами жидкости; u – глубина «потенциальной ямы», в которой находится каждая молекула жидкости». 101
Молекулярная физика
Тема 8:
Распределение молекул идеального газа в однородном поле сил
102
Содержание
•Барометрическая формула. Распределение
Больцмана.
•Распределение Максвелла - Больцмана. Распределение Гиббса.
•Экспериментальное подтверждение
распределения Больцмана.
•Модель атмосферы Земли. Рассеяние
атмосферы планет.
103
Барометрическая формула
Для вывода барометрической формулы рассмотрим цилиндрический сосуд с площадью основания s, который находится в поле тяготения Земли. На некоторой высоте h* выбираем слой газа толщиной dh и массой dm.
Рассматривая силы, действующие на слой, получим уравнение
P h dh s gdm P h s.
104
Барометрическая формула
Учтем, что
|
|
dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
h * sdh, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
h * |
|
M |
P |
|
h * |
m0 |
P |
|
h * |
, |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
RT |
|
|
kT |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где m0 |
– масса молекулы; ρ(h*) – плотность газа на |
|||||||||||||||||
высоте h* (температуру считаем не зависящей от |
||||||||||||||||||
высоты). В результате получим |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
P h dh P h |
|
m0 g |
P |
|
h * . |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dh |
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
105
Барометрическая формула
При стремлении dh→0 получим (h*→h)
dP h m0 g P h . dh kT
Решением этого уравнения является
|
|
m0 gh |
|
|
|
P h P0 exp |
|
|
|
, |
P0 P 0 , |
|
|||||
|
|
kT |
|
|
|
- зависимость изменения давления с высотой, при постоянной температуре, называемая барометрической формулой.
С учетом того, что |
P nkT , |
|
|
|||
получим n h |
|
|
m0 gh |
|
n0 n 0 . |
|
n0 exp |
|
|
|
, |
||
|
||||||
|
|
|
kT |
|
|
|
106
Распределение Больцмана
Барометрическая формула является частным случаем общего распределения, называемого распределением Больцмана. В самом деле, учитывая, что потенциальная энергия молекулы на высоте h
U m0 gh,
и n~N, получим
N |
|
|
U |
|
|
w exp |
|
|
|
N0 |
|
|||
|
|
kT |
||
- распределение Больцмана. Данное распределение справедливо не только для гравитационного поля, но и для любого другого однородного (и не только) поля сил.
107
Распределение Максвелла-
Больцмана
Если на идеальный газ действует потенциальное поле (например, сила тяжести), то распределение Максвелла должно быть изменено с учетом распределения Больцмана. Подставляя распределение Больцмана в распределение Максвелла, получим
1 |
|
dN |
|
m0 |
3/ 2 |
|
m0 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
w |
|
|
exp |
|
U |
|
|
|
N0 d x d y d z |
|
|
|
||||||||
|
2 kT |
|
|
2 |
kT |
||||||
- распределение Максвелла-Больцмана.
108
Распределение Гиббса
Распределение Максвелла-Больцмана является частным случаем общего распределения,
называемого распределением Гиббса
(полученного в 1901 г.):
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
||
|
gi exp |
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
wi |
|
|
|
|
kT |
|
, |
|||
g j |
|
|
|
E |
j |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
exp |
|
|
|
|
|||||
kT |
|
|||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|||
где gi – статистический вес (кратность вырождения (повторения)) рассматриваемого состояния i системы, имеющей энергию Ei. Распределение Гиббса широко применяется для исследования как классических, так и квантовых систем.
109
Экспериментальное подтверждение
Распределение Больцмана может быть применено не только к молекулам, но и к любым другим малым частицам. В частности, если взвесить малые частицы в жидкости (чтобы они очень медленно там двигались), и налить такую жидкость в высокий сосуд, а затем подсчитать число частиц на различных высотах в сосуде, то их число, как функция расстояния от дна сосуда, должно удовлетворять распределению Больцмана. Такой эксперимент был выполнен Перреном. Он не только доказал справедливость распределения Больцмана, но и сумел вычислить постоянную Больцмана, значение которой оказалось достаточно близким к современному.
110