MolFiz_2012_v2
.pdfРаспределение Максвелла
Преобразуем выражение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 exp 2 |
d x d y d z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 |
exp 2 d x d y d z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y2 |
exp 2 |
d x d y d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z2 |
exp 2 |
d x d y d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
u2 |
exp |
u2 du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Распределение Максвелла
Для вычисления последнего интеграла поступим следующим образом. Обозначим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляя производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u |
2 exp |
u |
2 du |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
u2 exp u2 du |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогичным образом получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u4 exp u2 |
du |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Распределение Максвелла
Таким образом, получаем
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3/2 |
||
|
2 exp |
2 d |
d |
d |
|
. |
||||
|
|
|
||||||||
|
x |
y |
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Данный интеграл можно вычислить иначе. Для этой цели перейдем в «сферическое пространство». Получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 exp |
|
|
2 d |
d |
|
d |
|
|
|
2 exp |
|
2 |
4 |
|
2d |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
4 exp |
|
2 |
d |
|
2 |
|
u4 exp |
u2 du |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- тот же самый результат.
63
Распределение Максвелла
Таким образом, можно записать
|
2 |
|
1 |
|
|
3/2 |
|
|
|
|
dN |
|
|
|
N0 |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
3/2 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
||
С другой стороны, из основного уравнения МКТ
известно, что
2 |
2 |
|
3kT |
, |
|
||||
кв |
|
|
m0 |
|
|
|
|
||
значит
2 |
|
3 |
|
3kT |
, |
|
m0 |
. |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
m |
|
|
2kT |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
64
Распределение Максвелла
Таким образом, распределение Максвелла по компонентам скорости имеет вид
1 |
|
dN |
|
m0 |
3/2 |
|
|
m0 2 |
|
|
|
|
|
w |
|
|
exp |
|
|
|
, |
N0 d x d y d z |
|
|
||||||||
|
2 kT |
|
|
2kT |
|
|
||||
и распределение Максвелла по абсолютному значению скорости имеет вид
1 dN |
|
m0 |
3/2 |
|
|
m0 2 |
2 |
|
|||
|
|
|
w 4 |
|
|
exp |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
N0 d |
|
2 kT |
|
|
2kT |
|
|
|
|||
65
Кинетическая энергия
Поскольку кинетическая энергия молекулы
|
|
E |
m 2 |
, |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно записать |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dN N0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
exp |
|
EdE |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
kT |
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|||
- распределение молекул по кинетической энергии.
Для средней энергии найдем
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
|
EdN |
|
|
|
|
|
|
E exp |
|
|
|
EdE |
|
|
||||||||
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
kT |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
exp y2 dy |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
kT |
x3/ 2 exp x dx |
|
kT y4 |
kT. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
66
Средняя арифметическая скорость
Мы знаем среднюю квадратичную скорость. Вычислим
среднюю арифметическую скорость по формуле
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
3/ 2 |
|
|
|
|
m0 2 |
2 |
|
||||||
ср |
|
|
|
d N |
4 |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
d |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
0 |
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
||||||
|
|
m0 |
|
3/ 2 |
|
|
|
|
m0 2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 kT |
|
|
0 |
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m0 |
|
|
3/ 2 |
|
2kT |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8kT |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
x exp x dx |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 kT |
|
|
|
m0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Нарисуем распределение Максвелла
67
Распределение Максвелла
где T3>T2>T1.
68
Наивероятнейшая скорость
Видно, что распределение Максвелла имеет максимум. Найдем соответствующую этому максимуму скорость,
которая называется наивероятнейшей скоростью.
Используем условие обращения в нуль производной в соответствующей точке. Имеем
d |
|
1 dN |
|
0, или |
d |
|
|
|
m0 2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d N0 d |
|
нв |
d |
|
|
2kT |
|
|
|
|
нв |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляя найдем
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0, нв |
|
. |
||
kT |
|
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
нв |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
69
Приведенное распределение
Введем переменную
,
нв
Тогда распределение Максвелла примет т.н.
приведенный вид
dN |
|
4 |
|
exp 2 2d . |
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
N0 |
|
|
|||
70