- •Міністерство освіти і науки україни
- •Скопійовано з оригіналу-макета, наданого автором
- •1. Математичне моделювання хіміко-технологічних процесiв
- •1.1. Загальні поняття
- •1.2. Класифікація моделей.
- •1.3. Фізичне моделювання
- •1. 4. Математичне моделювання
- •Знак ( –) при коефіцієнтах порівнянь означає, що потік спрямований з
- •1. 5. Засоби складання математичних моделей.
- •1. 5. 1. Емпiричний засіб
- •Загальна оцінка експериментальних засобів.
- •Приклад
- •1.5.2. Експериментально - аналітичний засіб
- •1. 5. 3. Теоретичний засіб
- •1. 5. 4. Зіставлення засобів побудови математичних моделей
- •5. 5. Вірогідність та простота моделі
- •5. 6. Рішення порівнянь математичного опису
- •5. 7. Перевірка адекватності та iдентифікація моделі
- •5. 8. Вибір математичної моделі
- •2.Моделювання Хімічних Реакторів
- •2. 1. Модель реактора ідеального змішування
- •2. 1. 1 Модель різ для опису стаціонарного режиму
- •2. 1. 2. Модель різ при протечі деяких реакцій
- •2. 1. 3. Дослідження моделі різ
- •2. 1. 4. Побудова q - t -діаграми і дослідження стійкості стаціонарних режимів різ
- •2. 1. 5 Умова стійкостi
- •2. 1. 6. Вплив вхідних параметрів на стаціонарні режими. Побудова статичних характеристик різ
- •2. 2. Реактор ідеального витиснення (рів)
- •2. 2. 1. Математична модель рів
- •2. 2. 2. Дослідження рів.
- •1.Зміна ступені перетворення при iзотермічному режимі
- •2.Зміна ступеня перетворення при адiабатичному режимі
- •2. 2. 3. Зіставлення різ та рів
- •2. 3. 5. Ячеєчна модель
- •2. 4. Дифузійна модель зподовжнім переносом речовини та тепла
- •2.5. Двохпараметрична дифузійна модель
- •3. Побудова математичнОї моделі каталітичного реактора
- •3. 1. Етапи побудови математичної моделі
- •3. 2. Структурний аналіз
- •3. 3. Моделювання процесу на одному зерні каталiзатора
- •3.4 Теоретична оптимiзація.
- •3. 5. Попередній вибір типу реактора .
- •3. 6. Моделювання процесу в шару каталiзатора.
- •4. Усталеність реакторних схем
- •4.1 Методи дослідження усталеності
- •4.2 Усталеність простих схем
- •4.3 Усталеність промислових реакторів.
- •5. Методи оптимізації технологічних процесів
- •5.1. Постановказадачіоптимізації
- •5.2. Цільова функція і її властивості
- •5.2.1. Нормалізація незалежних перемінних
- •5.2.2. Геометрична інтерпретація цільової функції
- •5.2.3. Особливі крапки і лінії цільової функції
- •5.2.4. Глобальний і локальний оптимуми
- •5.3. Методи рішення задач оптимізації
- •5.4.Аналітичні засоби
- •5.5. Загальна характеристика засобів рішення задач нелiнійного програмування
- •5.6. Градiєнтні методи рішення задач оптимiзації
- •5.6.1. Градієнт цільової функції
- •5.6.2. Обчислення похідних цільової функції
- •5.6.3. Засіб релаксації.
- •5.6.4. Метод градієнту
- •5. 6. 5. Засіб найскорішого спуска
- •5.7. Безградiєнтні методи рішення задач оптимiзації
- •5. 7. 1. Метод сканiрованiя
- •5. 7. 2. Метод локалiзації екстремума
- •5. 7. 3. Метод "золотого перетину"
- •5. 7. 4. Метод покоординатного спуска Гаусса - Зейделя
- •5. 7. 5. Метод Хука - Джiвса
- •5. 7. 6. Метод сканiрованiя
- •5. 7. 7. Симплексний метод
- •5.7.8. Метод Нелдера-Мида
- •5.8. Методи випадкового пошуку
- •5.8.1. Метод сліпого пошуку
- •5.8.2. Метод випадкових напрямків
- •5.8.3. Метод випадкових напрямків зі зворотним кроком
- •5.8.4. Одержання випадкових чисел
- •5.8.4.1. Метод добутків
- •5.8.4.2. Метод відрахувань
- •5.8.4.3. Одержання псевдовипадкових послідовностей з ірраціональних чисел
- •5.9. Порівняння різних методів рішення задач оптимізації методами нелінійного програмування
- •Література
5.8. Методи випадкового пошуку
Основна ідея методів випадкового пошуку полягає в тім, що
перебором випадкових сукупностей значень незалежних перемінних знайти оптимум цільової чи функції напрямок руху до нього.
Існує значна кількість методів випадкового пошуку, з яких будуть розглянуті лише найбільш розповсюджені.
Загальним для всіх методів випадкового пошуку є застосування випадкових чисел у процесі пошуку. Розглянемо лише основні поняття про випадкові числа.
Під випадковою величиноюрозуміють величину, що приймає в результаті іспитів значення, що принципово не можна пророчити, виходячи з умов досвіду. Випадкова величина має цілий набір припустимих значень, але в результаті кожного окремого досвіду приймає лише якесь одне з них.
Випадковий вектор, визначений у n-мірному просторі
α = (α1, α2, ..., αn )
може з рівною імовірністю приймати будь-як напрямок у n-мірному просторі і має довжину, рівну 1. Такий вектор може бути отриманий з послідовності випадкових чисел βj (j = 1, 2, ..., n), рівномірно розподілених на інтервалі [-b, b].
Для перебування випадкового вектора a за допомогою послідовності випадкових чисел β , виразимо компоненти випадкового вектора αj наступними співвідношеннями:
(5.67)
Вектор α, компоненти якого розраховуються по (5.67), характеризує випадковий напрямок у n-мірному просторі.
Випадкова крапка. Під випадковим вибором деякої крапки в заданій області простору розуміється випадковий вибір з імовірністю влучення в задану околицю будь-якої крапки зазначеної області, рівної відношенню обсягу околиці крапки до обсягу всієї області. Координати випадкової крапки знаходяться за допомогою випадкових чисел βj , заданих на інтервалі [-b, b].
Нехай область простору нормованих перемінних
Uj (j = 1, 2,..., n) задана умовами:
0 < Uj < 1 (j = 1, 2, ...,n) (5.68)
Для визначення координат випадкової крапки можна використовувати наступні співвідношення:
Xj = (bj +b)/ (2.b) (j = 1, 2, ... n) (5.69)
Деякі способи одержання випадкових чисел будуть розглянуті нижче.
До числа найбільш розповсюджених методів випадкового пошуку відносяться метод сліпого пошуку, метод випадкових напрямків і його модифікації.
5.8.1. Метод сліпого пошуку
При використанні сліпого пошуку в припустимій області зміни незалежних перемінних випадковим образом вибирається крапка, у якій обчислюється значення цільової функції. Далі, аналогічно вибирається інша випадкова крапка, де також розраховується значення цільової функції і порівнюється з отриманим раніше. Якщо значення цільової функції в новій крапці виявляється меншим, чим у попередній крапці (у випадку пошуку мінімуму), то нове значення запам'ятовується разом з координатами крапки, для якої воно було обчислено.
Потім продовжується вибірка випадкових крапок і порівняння значень цільової функції в цих крапках із уже знайденим. Щораз, коли знаходиться менше значення цільової функції, воно запам'ятовується з відповідними значеннями координат, після чого продовжується пошук кращого наближення до крапки екстремуму.
Пошук закінчується, якщо після виконання наступної серії з S кроків менше значення цільової функції знайти не удалося.
Теоретично при застосуванні такої стратегії і досить великому числі іспитів можна досягти як завгодно високого ступеня точності у визначенні положення крапки оптимуму. Але на практиці використання методу сліпого пошуку істотно обмежується розмірністю розв'язуваної задачі і складністю обчислення цільової функції.
Так, наприклад, навіть при n=2 і з імовірністю P =0.5 для того, щоб положення крапки оптимуму визначити з точністю ? = 0,001 необхідно виконати не менш S виборів випадкових крапок. Число виборів S можна оцінити по формулі
(5.70)
З (5.70) видно, що число необхідних обчислень різко збільшується зі зростанням розмірності розв'язуваної задачі.
Аналогічно методу сканування, можна після грубого наближення до крапки оптимуму проводити пошук вже в більш вузькій області, що приведе до скорочення обсягу обчислень.