Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)

З огляду на, що s→0 при t→0, одержуємо

де Vτ - проекція швидкості на напрямок дотичної. Помітимо, що

де знак плюс ставиться у випадку збігу напрямку швидкості і додатнього напрямку дотичної і знак мінус у протилежному випадку.

Тому проекція швидкості на напрямок дотичної Vτ носить ще назву алгебраїчної величини швидкості. Тоді (24) запишеться так:

Алгебраїчна величина швидкості дорівнює похідної натуральної координати за часом. Якщо алгебраїчна величина швидкості додатньа, то напрямок швидкості збігається з напрямком дотичної, у протилежному випадку – напрямок швидкості протилежний напрямку дотичної.

§ 8. Кривизна лінії

Кутом суміжності θ відрізка кривої ММ1 називається кут між двома дотичними до цієї кривої – на початку М и кінці М1

розглянутого відрізка (мал.9).

Середньою кривизною лінії на відрізку

називається відношення кута суміжності до довжини дуги цього відрізка:

Кривизною лінії в точці М називається Мал.9 границя середньої кривизни прилег- лого до цієї точки відрізка ММ1 кри-

вої при прагненні довжини дуги відрізка до нуля:

61

Радіусом кривизни лінії називається величина , зворотна

k

Кривизна кола. Як приклад знайдемо кривизну кола (мал.10). Помітимо, що кут суміжності дуги ММ1 кола і центральний кут МОМ1 , що спирається на цю дугу, рівні один одному як кути з взаємно перпендикулярними сторонами. Тому між довжиною дуги ММ1 і кутом суміжності θ існує залежність

Мал.10

s = θR .

Тоді середня кривизна на відрізку ММ1 дорівнює

kcp = θ = 1 ,

sR

що не залежить від довжини дуги s. Тому в границі одержуємо

k = 1 . R

Звідси випливає, що для кола ρ = R . Таким чином,

кривизна кола однакова у всіх її точках і дорівнює величині, зворотної радіусу. Радіус кривизни кола дорівнює її радіусу.

§ 9. Натуральний тригранник

Нехай τ – дотична, проведена в деякій точці М просторової кривої (мал.11). Проведемо дотичну τ1 у точці М1 , розташовану недалеко від точки М (ми будемо називати її сусідньою точкою). Проведемо через дотичну τ площину П, паралельну дотичної τ1. При прагненні точки М1 до точки М площина буде повертатися навколо нерухомої дотичної τ.

Граничне положення площини, проведеної через дотичну в даній точці паралельно дотичної в сусідній точці, при прагненні сусідньої точки до даної, називається дотичною площиною до кривої в даній

точці.

Помітимо, що якщо крива лежить у площині (як наприклад, коло чи парабола), то дотична площина збігається з цією площиною.

62

Очевидно, дотична до кривої лежить у дотичній площині.

Вісь, що проходить через точку М,

лежить у дотичній площині і спрямована

убік увігнутості кривої, називається головною нормаллю (на мал.12 вона позначена буквою п).

Вісь, яка перпендикулярна дотичній Мал.11 площини і направлена в той бік , відкіля

видний поворот від осі τ до осі п на 90о

проти годинної стрілки, називається бінормаллю (на мал.12 вона позначена буквою b).

Площина, що проходить через головну нормаль і біноррись, називається нормаль- ною.

Площина, що проходить через дотичну і бінормаль, називається спрямляючою.

Три площини – дотична, нормальна і спрямляюча – утворяють натуральний триграник.

Мал.12

§ 10. Похідна орта дотичної за натуральною координатою

Орт дотичної τ залежить від напрямку дотичної в точці М, положення якої визначається натуральною координатою s. Таким чином, орт дотичної є функцією натуральної координати: τ = τ (s). Позначимо через τ1 орт дотичної, проведеної в точці М1 кривої з натуральною координатою s1 = s + s, тобто

τ1 = τ ( s + s ).

Збільшення вектор-функції τ (s ) вектор τ = τ1 – τ лежить у площині П, проведеної через дотичну τ паралельно дотичної τ1 (мал.13).

63

ний вектор dτ/ds є перпендикулярним дотичної, тобто спрямованим уздовж головної нормалі, причому в додатньому її напрямку. Залишається знайти його величину. З трикутника АМВ маємо

З огляду на величину і напрямок вектора dτ/ds, можна записати

де n – орт головної нормалі.

§ 11. Визначення прискорення при натуральному способі завдання руху точки

64

(тут використані формули (25) і (31)).

Підставивши (33) у (32), знаходимо

чином,

прискорення дорівнює геометричній сумі двох складових:

Проекції прискорення на дотичну (дотичне прискорення) і головну нормаль (нормальне прискорення) визначаються за

формулами

§12. Деякі окремі випадки руху точки

1.Рівномірний рух.

Рівномірним називається рух точки з постійною алгебраїчною

швидкістю.

Таким чином,

65

(so – натуральна координата точки, що рухається, при t = 0), тобто

закон рівномірного руху точки являє собою лінійну функцію часу.

Знайдемо дотичне прискорення точки

aτ = dVτ = 0 , тобто dt

дотичне прискорення точки при рівномірному русі дорівнює нулю.

2.Рівнозмінное рух точки.

Рівнозмінним називається рух точки з постійним дотичним прискоренням, тобто

Таким чином, закон рівнозмінного руху точки являє собою

квадратичну функцію часу.

Помітимо, що якщо aτ > 0, то рух точки називається рівноприскореним, якщо ж aτ < 0, рух точки називається

рівноуповільненим.

§13. Приклади

1.Визначення швидкості і прискорення точки при координатному способі завдання руху.

Дано рівняння руху точки

x = 2cos2t + 3 (м); y = 4sin 2t (м) ( t – у секундах)

66

Необхідно знайти рівняння траєкторії і побудувати її на кресленні, а також для моменту часу t = π / 4 с знайти положення точки М, що рухається, швидкість і прискорення її і побудувати їх на кресленні. Крім того, необхідно знайти дотичне і нормальне прискорення точки М, а також радіус кривизни траєкторії в тім місці, де знаходиться точка

М.

Рішення. Для визначення рівняння траєкторії точки необхідно виключити параметр t з рівнянь руху. Використовуємо основну тригонометричну тотожність

sin2 2t + cos2 2t = 1

З першого рівняння руху маємо cos2t = x −2 3 , а з другого sin 2t = 4y .

Підставляючи ці вираження в основну тригонометричну тотожність, одержимо

(x − 3)2 + y2 = 1 22 42

Це рівняння еліпса, півосі якого відповідно рівні 2м і 4м, а центр знаходиться в точці x = 3м, y = 0.

Таким чином, траєкторією руху точки є еліпс. Будуємо його на кресленні. У момент часу t точка М має координати

При t = π/4 з вони приймають наступні значення:

Vx = −4sin(π / 2) = − 4 м/с

67

Vy = 8cos(π / 2) = 0 .

Модуль швидкості дорівнює

V = Vx2 +Vy2 = 4м / с .

На кресленні будуємо складові швидкості Vx і Vy , паралельні осям

координат і що мають знайдені вище величини. Вектор V дорівнює геометричній сумі Vx і Vy . У розглянутому випадку V = Vx .

Проекції прискорення точки М на осі координат дорівнюють

ax = &x& = −8cos2t, ay = &y& = −16sin 2t .

a = ay .

Диференціюючи формулу

V = Vx2 +Vy2

за часом і використовуючи (37) і (20), знаходимо, що

aτ = (Vxax + Vxay ) /V .

Урозглянутому випадку aτ = [−4 0 + 0 (−16)]/ 4 = 0 .

ρ = 42 /16 = 1 м.

68

2. Визначення швидкості і прискорення точки при натуральному способі завдання руху.

Приклад. Точка М рухається уздовж траєкторії, зображеної на малюнку.

Довжина прямолінійного відрізка l=4π м, радіус криволінійної частини траєкторії R=8м. Закон руху точки уздовж

траєкторії s = 2πt2 м.

Необхідно знайти положення точки, швидкість, дотичне, нормальне і повне прискорення точки при t=1c і при t=2с.

Мал.16

Рішення. Знаходимо положення точки при t=1с. Для цього підставляємо це значення в закон руху. Одержуємо s = 2π = l / 2 . Таким чином, точка знаходиться посередині прямолінійної ділянки траєкторії.

Знаходимо алгебраїчну величину швидкості за формулою

ділянки l=4π м, то очевидно, що точка знаходиться на криволінійній ділянці, при цьому її відстань від початку цієї ділянки дорівнює s − l = 4π м. Довжина півкола дорівнює πR=8π м, у такий спосіб точка виявляється посередині півкола. Величина швидкості дорівнює V = 8π м/с. Дотичне прискорення

69

aτ = dVτ = 4π м/з2. dt

Нормальне прискорення

an = V 2 / R = 8π2 м/с2.

Повне прискорення точки визначається за формулою

a = aτ2 + an2 = 16π2 + 64π4 = 79,95 м/з2.

Вектори V, aτ ,an і a показані на малюнку.

70