Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

бесконечно тонкая эластичная перегородка MCDN (рис. 266). Пусть пространство MCDN, ограниченное этой перегородкой, заполнено неподвижной жидкостью, находящейся под постоянным давлением Р0. Пусть эту систему тел обтекает идеальная несжимае­ мая жидкость. Тогда при стационарном течении граница MCDN будет вести себя как поверхность твердого тела, и часть линий тока расположится вдоль этой поверхности. Ширина бесконечно тонких трубок тока в окрестности поверхности MCDN будет изменяться по такому закону, чтобы обеспечить постоянство скорости жидкости вдоль всей поверхности MCDN. Тогда, согласно уравнению Бер­ нулли, будет постоянно и давление жидкости на этой поверхности. Если убрать эластичную перегородку, то характер течения жидкости не изменится. Действительно, поверхность MCDN останется поверх­ ностью постоянного нормального давления, а тангенциальные силы

и формой поверхности тангенциального разрыва MCDN. Давле­ ние в области застоя (т. е. области, где жидкость покоится) Р 0 , очевидно, равно давлению на линии отрыва CD. Последнее же •меньше давления в критической точке В. Это приводит к тому, что равнодействующая сил давления, действующих на переднюю по­ верхность тела, превышает соответствующую силу, действующую на заднюю сторону его. В результате появляется лобовое сопротивле­ ние Fx *).

Тем не менее идеальные разрывные течения с отрывом от обтекае­ мого тела, рассмотренные выше, не совсем лишены интереса. Они в известном смысле могут рассматриваться как предельные случаи реальных течений вязкой жидкости. Силы вязкости мало суще­ ственны вдали от обтекаемого тела, где они малы. Их влияние про-

*) Если обратить направление течения, то величина и направление силы Fx

от тела. При этом вместо области застоя за телом возникает область интенсивного турбулентного движения. Наличие такой области и ведет к возникновению лобового сопротивления. При этом силы вязкости автоматически устраняют неоднозначность в положении линии отрыва, характерную для разрывных течений идеальных жидкостей. Чем уже область отрыва, тем меньше лобовое сопротив­ ление. С целью уменьшения лобового сопротивления самолетам, судам, автомобилям и прочим быстроходным самодвижущимся аппа­

на неподвижное тело, и применим к этой проблеме методы теории размерности. Сила F зависит от формы и размеров тела, от ориен­ тации его по отношению к потоку, от скорости потока v (на «беско­ нечности»), а также от свойств жидкости. Ориентацию крыла само­ лета принято характеризовать углом атаки, т. е. углом между пло­ скостью крыла и направлением полета. Не будем вводить явно такие параметры, предполагая, что мы имеем дело с телами не только гео­ метрически подобными, но и подобно расположенными. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р и коэффициентом вяз­ кости г). Таким образом, должна существовать функциональная связь между величинами F, v, р, т), S, где 5 — характерная пло­ щадь поперечного сечения тела. Квадратный корень из нее / = Y~S может служить характерным линейным размером тела. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбина­

Безразмерные коэффициенты Сх (Re) и Су (Re) называются соот­ ветственно коэффициентами лобового сопротивления и подъемной силы. Оба они являются функциями числа Рейнольдса и зависят

§ 102] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 497

Так как формула (101.5) получила широкие применения в очень важных физических опытах (определение заряда электрона методом Милликена, бро­ уновское движение и пр.), то имеет смысл более подробно выяснить на конкрет­ ных примерах границы ее применимости.

В опытах Милликена (1868—1953) по определению заряда электрона формула Стокса (101.5) применялась к капелькам масла, падавшим в воздухе под действием

где р — плотность воздуха. Условие применимости формулы Стокса Re <! 1 дает

а <^ 0,05 мм. Формулу можно применять для мельчайших капелек тумана. Однако

оприменении ее к каплям дождя, даже самым мелким, не может быть речи.

Вкачестве второго примера возьмем капельки ртути, падающие в жидкости под действием собственного веса. По скорости установившегося падения капли можно вычислить вязкость жидкости. Это дает практический метод измерения вязкости. В рассматриваемом случае надо учитывать архимедову выталкивающую

силу. Если р0 — плотность ртути, р и п — плотность и вязкость исследуемой жидкости, то для применимости формулы Стокса необходимо выполнение усло­ вия

§102. Потенциальные и вихревые движения

1.Все движения жидкостей подразделяются на потенциальные и вихревые. Рассмотрим поле скоростей жидкости v (г) в какой-то фиксированный момент времени. Возьмем в жидкости произволь­ ный замкнутый контур С и на нем установим положительное направ­ ление обхода (рис. 267). Пусть т — единичный вектор касательной, a ds — элемент длины контура, проведенные в положительном на­ правлении. Интеграл

называется циркуляцией вектора скорости по контуру С. Если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру обращается в нуль, то движение жидкости называется потенциальным. В про­ тивном случае движение называется вихревым.

При этом предполагается, что область пространства, в которой течет жидкость, односвязна. Это значит, что любой замкнутый кон-

в точку, не пересекая при этом обтекаемые тела. Если же область не односвязна (например, жидкость, обтекающая тор), то приведен­ ные определения необходимо дополнить следующими замечаниями. В качестве С следует брать не все контуры, а только произвольные замкнутые контуры, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку, не выходя при этом за границы жидкости. Важным случаем может служить так называемое плоское течение являющееся идеализацией действительных течений. Пусть обтекаемое тело яв­ ляется бесконечно длинным цилиндром с произвольным поперечным сечением, а жидкость течет перпендикулярно к оси этого цилиндра. Тогда достаточно ограничиться рассмотрением течения в одной из

Рис. 267. Рис. 268.

плоскостей, перпендикулярных к той же оси. Течение в этой плоско­ сти и называется плоским. Оно будет потенциальным, если цирку­ ляция скорости обращается в нуль по любому замкнутому контуру,

не охватывающему обтекаемый цилиндр, например по контуру С\ (рис. 268). Но циркуляция по контуру С, окружающему цилиндр, может и не обращаться в нуль. Нетрудно показать, что при потен­ циальном течении циркуляция Г будет одной и той же для всех замкнутых контуров, обходящих вокруг цилиндра один раз. Если Г Ф 0, то говорят о потенциальном течении с циркуляцией.

2. Определение потенциального течения совершенно аналогично определению консервативных сил (см. § 24). Поэтому при потен­

от положения крайних точек этой кривой Л и В, но не зависит от формы самой кривой АВ. Рассуждая так же, как в случае потен­ циальной энергии, можно ввести функцию координат ср, через кото­ рую скорость v выражается формулой

Примером'потенциального течения может служить течение жидко­ сти вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью. Можно показать, что всякое течение идеальной жидкости, возникшее из состояния покоя под действием консервативных сил, является потенциальным.

3. Примером вихревого движения может служить плоское течение жидкости, когда частицы последней вращаются по концен­ трическим окружностям с одной и той же угловой скоростью со (рис. 269). Циркуляция

скорости по окружности радиуса г в этом случае равна Г = 2nrv = 2пг2а. Ее отноше-

направление, перпендикулярное к плоскости контура. Вообще, для произвольного движения ротор скорости v определяется своими проекциями на произвольное направление следующим образом.

го^ "о — — а,

Если vx меняется с координатой у не по линейному закону, а про­ извольно, то формула (102.4) остается верной, однако rot^ v стано­ вится функцией координаты у.

Заметим еще, что в разбираемом примере скорость v можно представить в виде векторной суммы двух векторов ©х и ©2 с компо­ нентами

поненты же вектора ©2 могут быть получены из потенциала скоростей Ф = у ХУ и 0 формулам

в общем виде показать, что произвольное движение жидкости можно разложить на вращение и потенциальное течение, причем угловая скорость вращения и ее направление в пространстве могут непре­ рывно меняться от точки к точке.

Тангенциальный разрыв может рассматриваться как пример вихревого течения. В вихревом характере движения в этом случае можно убедиться совершенно так же, как при разборе последнего примера. Распадаясь, тангенциальный разрыв переходит в вихревое турбулентное движение.

§103. Пограничный слой и явление отрыва

1.При больших числах Рейнольдса силы вязкости вдали от поверхности обтекаемого тела не играют существенной роли. Здесь они малы по сравнению с силами, обусловленными разностями дав­ лений. Ими можно пренебречь и считать жидкость идеальной. Не так, однако, обстоит дело вблизи поверхности обтекаемого тела. Силы вязкого трения вызывают прилипание жидкости к поверхности

3. При малых значениях числа Рейнольдса порядка единицы и меньше соображения, на которых основан вывод формулы (103.2), неприменимы. Тем не менее и в этих случаях формула (103.2) при­ водит к качественно верному выводу, что толщина пограничного слоя становится порядка размеров тела. При таких условиях го­ ворить о пограничном слое уже не имеет смысла. Представление о пограничном слое неприменимо также и к стационарному лами­ нарному течению жидкости по трубе. Причина этого в том, что при таком движении силы вязкости уравновешиваются градиентами давлений не только вблизи стенок трубы, но и во всем объеме жидко­ сти. И действительно, согласно формулам (97.2) и (97.3), скорость жидкости в круглой трубе определяется выражением

ставлением о пограничном слое, то следует сказать, что пограничный слой заполняет всю трубу, каковы бы ни были значения числа Рейнольдса. Но в таких условиях понятие пограничного слоя ста­ новится бессодержательным. Поэтому в дальнейшем такие случаи не рассматриваются, а речь идет о потоке жидкости, обтекающем тело, причем предполагается, что числа Рейнольдса велики.

4. Поскольку в пограничном слое скорость меняется в на­ правлении, перпендикулярном к слою, движение жидкости в погра­ ничном слое является вихревым. А всякое вихревое движение содер­

действия сил вязкости, не отрывался от тела, то изучение движения жидкости можно было бы производить в предположении ее идеаль­ ности. Влияние пограничного слоя свелось бы к некоторому увели­ чению эффективных размеров тела. Именно так ведет себя погранич­ ный слой на передней части тела, обращенной к потоку жидкости. Однако на задней части тела пограничный слой в большинстве слу­ чаев время от времени отрывается от поверхности обтекаемого тела. В этих случаях предположение о полном отсутствии сил вязко­ сти приводит к результатам, совершенно не согласующимся с дей­ ствительностью. Отрыв пограничного слоя приводит к качествен­ ным изменениям всей картины обтекания тела.

Почему же происходит отрыв пограничного слоя и к каким по­ следствиям он приводит? Благодаря силам вязкости частицы жидко-