Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

394 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. X

Отсюда

З А Д А Ч А

Прямоугольная пластинка зажата между вертикальными плоскостями, перпендикулярными к оси X, так что в направлении этой оси частицы пластинки смещаться не могут (рис. 202). В направлении оси Z пластинка подвергается равно­ мерному одностороннему давлению Р. Определить давление Рх, которому под­ вергается пластинка со стороны плоскостей, между которыми она зажата. Найти выраже­ ние для плотности упругой энергии и, а также относительное сжатие пластинки в на­ правлении оси Z и относительное расширение

в направлении оси Y.

§ 78. Сдвиг

1. Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к

противоположным граням eroAD и ВС

равные и противоположно направлен­ ные касательные силы (рис. 203, а). Они образуют пару сил, под действием которой куб начнет вращаться. Для устранения враще­ ния приложим такие же касательные силы к граням АВ и CD. Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформироваться. Необходимость приложения касательных напряжений к граням АВ и CD непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений (см. § 74).

Опыт показывает, что под действием приложенных напряжений квадрат ABCD переходит в ромб A'B'C'D'. При этом длина диа­ гонали АС увеличивается, а диагонали BD — уменьшается. Объем тела, как будет показано ниже, при такой деформации практически изменяться не будет. Относительные изменения объема будут вели­ чинами более высокого порядка малости, чем относительные изме­ нения длин диагоналей АС и BD. В теории малых деформаций такими изменениями пренебрегают. Высшего порядка малости будут и изменения длин сторон квадрата ABCD. Поэтому куб после деформации можно повернуть так, чтобы новое основание A'D' совместилось с прежним основанием AD (рис. 203, б). Отсюда видно, что рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба,

i

параллельные основанию AD, сдвигаются в одном и том же направ­ лении, параллельном тому же основанию. Поэтому эта деформация

углом сдвига. Конечно, ту же деформацию можно получить путем

Постоянная G называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб.

2. Найдем выражение для плотности упругой энергии при дефор­ мации сдвига. Закрепив неподвижно основание AD (рис. 203, б), будем производить сдвиг квазистатически. Тогда вся работа, затра­ чиваемая на сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, равна А — 1 /2 т5Дх, где Ад: — смещение грани ВС при сдвиге, a S — площадь этой грани. Если а — длина ребра куба, то Ах = ау, а потому А = 1J2xSay = 1/2Vxy,

где V — объем куба. Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой

3. Тангенциальные напряжения, действующие параллельно гра­ ням куба, можно свести к совокупности натяжения и давления, рав­ ных по величине и действующих во взаимно перпендикулярных на­ правлениях. Действительно, проведем диагональное сечение куба АС (плоскостью, перпендикулярной к плоскости рис. 203, а). Сила F, действующая на часть куба ACD на плоскости АС, будет нормаль­ на к этой плоскости и направлена внутрь рассматриваемой части. Это есть сила нормального давления. Определим величину этого давления. Если длина ребра куба есть а, то сила F, очевидно, равна

F = a2(x sin 45° + т cos 45°) = ]/2а2 т.

Площадь диагонального сечения АС есть о? \ z . Разделив F на эту площадь, получим искомое давление Р — т. Итак, в диагональном се­ чении АС и во всякой плоскости, ему па­ раллельной, напряжение сводится к нор­ мальному давлению, численно равному т.

Рассуждая аналогично, можно дока­ зать, что в диагональном сечении BD и во всякой плоскости, параллельной ему, действует нормальное натяжение Т, так­ же численно равное т.

ся изменением объема тела — утверждение, которое упоминалось выше без доказательства.

5 . Таким же путем из формулы (76.3) получаем для плотности упругой энергии при сдвиге

Эта величина должна совпадать с (78.2), так как значение и не может зависеть от способа вычисления. Сравнивая оба выражения, получим

С = 21ГТ]1)-

Эта формула устанавливает связь между модулем Юнга Е, коэффи­ циентом Пуассона д. и модулем сдвига G. Используя ее, а также формулы (77.10) и (77.4), получим

§79. Кручение

1.Деформации, о которых шла речь до сих пор, были деформаци­ ями однородными, т. е. такими, когда все бесконечно малые эле­ менты тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба, к изучению которых мы обращаемся, являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент М относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится — каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол ф. Такая деформация

2. Выведем выражение для модуля кручения /. Сначала сделаем это для цилиндрической трубки радиуса г и длины /, предполагая, что толщина бг стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом г. Площадь основания трубки есть 2пг8г. Момент сил, действующий на это основание, будет М = 2шЬг -тг, где т — касательное напря­ жение в том же основании. При квазистатическом закручивании

проволоки на угол ф совершается работа А =1 /2 Л4ф = -щ . Разде­ лив ее на объем трубки V = 2nrl8r, найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

(79.2)

Ту же величину можно выразить иначе. Вырежем мысленно из труб­ ки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 205. В резуль­ тате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение А'В'DC. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге дается выраже­

нием (78.2). Приравнивая его выраже­ нию (79.2), находим искомое соотношение

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль / найдется интегрированием послед­ него выражения по г. Это дает

(79.4)

где гх — внутренний радиус трубки, а г2 — на­ ружный. Для сплошной проволоки радиуса г

3. Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблю­ дая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с периодом

(79.6)

(см. § 42). Если момент инерции тела / известен, то, измерив период колебаний Т, можно вычислить по этой формуле модуль кручения /.

ЗА Д А Ч И

1.Две проволоки одинаковой длины сделаны из одного и того же материала, но диаметр второй из них вдвое больше, чем первой. В одном из опытов нижнее основание каждой проволоки было закручено относительно ее верхнего основа­ ния на один и тот же угол. В другом опыте проволоки были сварены своими основаниями так, что ось одной из них сделалась продолжением оси другой; затем нижнее основание получившейся составной проволоки было закручено относительно верхнего на некоторый угол. Найти отношения упругих энергий

с периодом Т вокруг вертикальной оси. Найти период колебаний того же шара Т', если проволоку, на которой он был подвешен, заменить цилиндрической трубкой той же длины и массы с внешним радиусом R и внутренним радиусом г и изготов­ ленной из того же материала.

3. Определить удлинение спиральной пружины, если растягивающие силы действуют вдоль ее оси. Шаг спирали считать пренебрежимо малым по сравнению с радиусом витка R. Модуль кручения проволоки, из которой изготовлена спираль, считать известным.

Р е ш е н и е . Произведем мысленный разрез проволоки пружины в произ­ вольной точке А плоскостью, проходящей через ось пружины (рис. 206, а). Пусть Fx — сила, с которой нижняя часть пружины действует на верхнюю в месте раз­ реза. Для равновесия необходимо, чтобы Fx = —F, где F — растягивающая сила, действующая на верхнюю часть пружины. Так как силы F и Fx образуют пару, то момент этой пары не зависит от выбора точки, относительно которой он берется. Этот момент перпендикулярен к плоскости разреза и равен М — FR. Из-за малости шага витка можно считать, что момент в точке А направлен вдоль оси проволоки. Чтобы рассматриваемая часть пружины находилась в равнове­ сии, необходимо, чтобы возникло кручение проволоки вокруг ее оси, компенси­ рующее момент М. Когда растягивающие силы F действуют вдоль оси пружины,

Рис. 206.

величина момента М не меняется вдоль проволоки, а потому кручение ее будет равномерным. Пусть dl — элемент длины проволоки. Под действием момента М он закрутится на угол do? = Mlflt где ft — модуль кручения рассматриваемого элемента. Обозначим / модуль кручения всей проволоки (если ее выпрямить). Так как модуль кручения обратно пропорционален длине проволоки 10, то / =

4. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда растягивающие силы дей­ ствуют не вдоль оси пружины, а вдоль одной из образующих цилиндрической по­ верхности, на которую она намотана.

(рис. 206, б). Силы, действующие на его концы, перпендикулярны к плоскости рисунка (параллельны продольной оси пружины). Каждая из этих сил равна внешней силе F, приложенной к пружине. Силу, направленную к нам, изобразим точкой, от нас — крестиком. Момент М сил, приложенных к выделенному участку, перпендикулярен к хорде АВ и равен М = 2FR sin (а/2). Разложим этот момент на составляющую Мt вдоль проволоки и составляющую М^, перпендикулярную к ней. Если пружина содержит много витков, то составляющую MR можно не учи­ тывать. Она вызывает изгиб проволоки вокруг оси, параллельной радиусу ОВ. Но легко видеть, что такой момент изгибает участок АС в одну сторону, а участок СА' — в противоположную, так что в целом при большом числе витков изгиб практически не влияет на удлинение пружины. Момент М1 равен М sin (а/2) =

= 2FR sin2 (а/2). Элемент проволоки длины dl он закрутит на угол d<p = ^p- =

В отличие от предыдущего случая, кручение проволоки неоднородно. Интегри­ руя по всей длине пружины и считая число витков целым, получим

3 FR2

х=т~г•

§80. Изгиб

1.Рассмотрим изгиб однородного бруса (балки) произвольного поперечного сечения, которое, однако, должно оставаться одинаковым на протяжении всей длины бруса. Пусть до деформации брус имел прямолинейную форму. Проведя сечения АВ и А'В', нормальные к оси бруса, мысленно вырежем из него беско­

б) V'0

Рис. 207.

бесконечной малости выделенного элемента можно считать, что в результате изгиба прямые АА', NN', ВВ' и все прямые, им параллельные, перейдут в окруж­ ности с центрами, лежащими на оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 207, б). Эта ось называется осью изгиба. Наружные волокна, лежащие выше линии N N', при изгибе удлиняются, волокна, лежащие ниже линии Л/Л7', — уко­ рачиваются. Длина линии NN' остается неизменной. Эта линия называется нейт­ ральной линией. Проходящее через нее сечение (недеформированного) бруса

Направим ось X вдоль нейтральной линии недеформированного бруса. Ось Y направим к ней перпендикулярно и расположим в плоскости изгиба. Тогда урав­ нение нейтральной линии изогнутого бруса можно представить в виде у — у (х). По известной формуле

1 У"

Если изгиб мал (у' 1), то квадратом производной можно пренебречь. В этом приближении

2. Вырежем произвольную (конечную или бесконечно малую) часть бруса, мысленно проведя в нем два нормальных сечения. В состоянии равновесия момент упругих сил натяжения, действующих на торцах вырезанной части, должен быть уравновешен противоположно направленными моментами всех прочих внешних сил, действующих на рассматриваемую часть. Это дает метод решения задач

Рис. 208. Рис. 209.

на изгиб. Он иллюстрируется примерами, приводимыми ниже, а также задачами

через произвольно расположенную точку О. Достаточно рассмотреть равновесие одной из частей стержня, например части ОВ. Упругие натяжения в сечении О создают вращающий момент Мг, определяемый формулой (80.2). Пара сил F, и F создает противоположно направленный момент М — Fa, где а — расстояние между линиями действия сил Ft и F. Как и Мх, момент М не зависит от положения

= М принимает вид IE/R= Fa. Из него следует, что радиус кривизны R оди­

нейку, то она примет форму дуги окружности. Это дает практический способ чер­ чения окружностей, когда обычный чертежный циркуль оказывается непригодным (например, в случае окружностей очень большого радиуса).

П р и м е р 2. Определим стрелу прогиба балки, жестко закрепленной в стене одним из своих концов (рис. 209). На другой конец балки действует сосредоточенная сила F. Весом самой балки будем пренебрегать. Стрелой прогиба мы называем смещение свободного конца балки под действием приложенной силы F.

§ 80] ИЗГИБ 403

Поместим начало координат в точке О, в которой нейтральная линия балки пересекается с плоскостью стеньг. Через произвольную точку В (х) (с координа­

(Ось у направлена в сторону вогнутости, т. е. вниз. При таком условии вторая производная у" положительна, и обе части последнего соотношения имеют одина­ ковые знаки.) Интегрируя это уравнение один раз, получим

направленная вниз (рис. 210). Весом балки, как и в предыдущем примере, пре­

небрежем. Вследствие симметрии сила F распределится между опорами поровну. Поместим начало координат в точку А нейтральной линии, расположенную над левой опорой. Отсечем мысленно слева часть балки, проведя нормальное сечение через произвольную точку С (х) (с координатой х), расположенную левее

Теперь ось Y направлена вниз, т. е. в сторону выпуклости балки. Производная у" отрицательна. По этой причине правая часть взята со знаком минус. Интегрируя