Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

424 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. X

быть создана искусственно и в случае таких тел, у которых в есте­ ственном состоянии она отсутствует. Примером может служить гиб­ кий шнур или веревка. Если шнур не натянут, то поперечные воз­ мущения в нем распространяться не могут. Если же закрепить один конец шнура, а к другому подвесить груз, перекинув шнур через блок, то в шнуре возникнет постоянное натяжение, обозначаемое в дальнейшем Т. Такой шнур обладает упругостью формы, и в нем могут распространяться поперечные возмущения. Скорость таких возмущений можно вычислить по формуле (83.5). Но для этого надо решить вопрос, какая величина в натянутом шнуре играет роль модуля сдвига G. Рассмотрим небольшой участок АВ натянутого и изогнутого шнура (рис. 227). Будем предполагать,

напряжений. Сравнивая поэтому предыдущее выражение с формулой т = Gy, находим, что роль модуля сдвига играет величина G = T/S. Подставим это выражение в формулу (83.5) и введем обозначение

6 = р5. Тогда для скорости распространения поперечных возму­ щений в шнуре получим

Величина б равна массе, приходящейся на единицу длины шнура.

момент времени, конечно, будут одинаковы. Направление распространения воз­ мущения можно определить из энергетических соображений. Для этого помимо формы шнура в рассматриваемый момент времени надо еще задать скорость каждой его точки. Так, например, возмущение, представленное на рис. 228, распростра­ няется вправо. Вертикальными стрелками обозначены скорости частиц шнура в рассматриваемый момент времени. Если мысленно провести в шнуре какое-либо поперечное сечение, го угол между силой натяжения, действующей на правую часть шнура, и ее скоростью в рассматриваемом сечении будет острым. Напротив, сила натяжения, действующая на левую часть шнура, составляет с соответству­ ющей скоростью тупой угол. Это значит, что над правой частью шнура сила натя-

Приравнивая эту силу массе элемента АВ, умноженной на его уско­ рение, получим

откуда снова получается формула (84.1).

§85. Скорость распространения звука в жидкостях и газах

1.Жидкости и газы обладают только объемной упругостью, но не упругостью формы. Поэтому в них могут распространяться только продольные возмущения, но не могут распространяться воз­ мущения поперечные. Скорость распространения продольных воз­ мущений в жидкой или газообразной среде можно вычислить по формуле (81.5). Но для этого надо решить, что в этом случае играет роль модуля Юнга Е. Вообразим, что жидкая или газообразная среда заключена в гладкую прямолинейную трубу постоянного попереч­ ного сечения. Трением между средой и стенками трубы пренебре­ жем. Стенки трубы будут препятствовать поперечному движению среды, нисколько не мешая продольному движению. Газ или жидкость

втакой трубе можно рассматривать как стержень, вдоль которого распространяются продольные возмущения. Отличие от твердых тел состоит в том, что газы могут существовать только под давлением. При отсутствии такового всякий газ неограниченно расширился бы. Поэтому необходимо предполагать, что в невозмущенном состоянии

внутри газа получит приращение и сделается равным Р = Р0 + АР, то изменится и объем рассматриваемой массы газа.

Определим, как изменение объема газа АУ связано с приращением его давления АР. При этом мы будем предполагать, что АР мало по сравнению с Р 0 : АР Р 0 . Если газ заключен в трубе, один из концов которой закрыт подвижным поршнем, то при изменении давления на поршень на величину АР длина газового столба изме­ нится на А/. Величина — (А///) есть относительное сжатие столба газа. При малых сжатиях

где А — постоянная. С другой стороны, формулу (75.7) для стержня

смыслу оно совпадает с тем, что в случае газового столба мы обозна­

Из нее видно, что в случае газового столба А — Е. Длина столба газа / пропорциональна его объему V, и предыдущую формулу можно записать в виде

в котором заключен газ, тогда как формула (85.1) относится только к газам в сосудах цилиндрической формы.

Будем считать, что давление газа зависит только от его объема V. Тогда для малых изменений объема

AP=%AV

или

Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что в газах (и жидко­ стях) роль модуля Юнга играет величина

Подставляя это выражение в формулу (81.5), получаем для скорости

в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что из­

где R — постоянная. Если газ взят в количестве одного моля, то постоянная R будет иметь одно и то же численное значение для всех газов. Она называется универсальной газовой постоянной и

равна R = 8,31 -107 эрг -К"1 моль^1 . Напомним, чтомолем называется количество вещества, масса которого в граммах численно равна молекулярному весу этого вещества р,. Отсюда следует, что плотность р связана с объемом V моля идеального газа соотношением ц. = pV. В результате получаем

= 280 м/с. Опыт дает с = 330 м/с. Налицо значительное расхожде­ ние между теорией и опытом. Причина этого расхождения долгое время оставалась непонятной. Она была установлена Лапласом (1749—1827) лишь в начале XIX века. Закон Бойля — Мариотта относится к таким изменениям давления и объема газа, при которых его температура остается постоянной. Между тем звуковая волна состоит из следующих друг за другом сжатий и разрежений таза. Над сжатыми областями производится внешняя работа, которая идет на повышение их температуры. Разреженные области сами совершают внешнюю работу и благодаря этому охлаждаются. Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то темпера­ туры между ними не успевают выравниваться: сжатые области всегда теплее разреженных. Наличие этой разности температур повышает перепад давления между сжатиями и разрежениями и ведет к увеличению скорости звука в газах. Это обстоятельство и не было учтено формулой Ньютона. Ньютон при вычислении ско­ рости звука подставил в формулу (81.5) изотермический модуль упругости Е, а надо было пользоваться адиабатическим модулем (см. § 79). Количественное исследование вопроса будет дано в томе II нашего курса.

Г Л А В А XI

МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ

§86. Размерность и системы единиц

1.До сих пор мы ничего не говорили о размерности физических величин. Мы пользовались этим понятием, предполагая, что читатель

имеет некоторое представление об относящихся сюда вопросах. В задачах, которые мы рассматривали, этого было достаточно. Метод размерности весьма эффективен в более сложных вопросах, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка затруднительна. С привлечением добавочных соображений весьма общего характера или опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к важным результатам, дающим предварительную, хотя и неполную, ориентировку в рассматриваемом круге явлений. Поэтому необходимо познакомиться с этим методом.

Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе можно было бы (так и поступали раньше) для каждой физической величины установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Но тогда в урав­

бы случайным выбором единиц. Такое множество численных коэф­

памяти. Во избежание этого в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц для всех физических величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному прин­ ципу.

2. Принцип этот заключается в следующем. Некоторые физи­ ческие величины условно принимаются за основные или первичные, т. е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и

нами в ней были длина (L), сила (F) и время (Г). В так называемой

международной системе единиц (сокращенно СИ) за основные

430 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ [ГЛ. XI

приняты шесть величин: длина, масса, время, температура, сила электрического тока и сила света. Величины, не являющиеся основными, называются производными или вторичными. Для них единицы устанавливаются из требования, чтобы численные коэф­ фициенты, входящие в физические законы или формулы, служащие определением рассматриваемых величин, принимали определенные, заранее выбранные значения. Например, скорость равномерно дви­ жущейся материальной точки есть величина особого рода, пропор­ циональная пройденному пути s и обратно пропорциональная вре­ мени t, затрачиваемому на прохождение этого пути. При независи­ мом выборе единиц для s, t и ихледует писать v = С s/t, где С — численный коэффициент, значение которого определяется выбором единиц. Если фиксировать значение этого коэффициента, то единицы для s, t и v перестанут быть независимыми. Для простоты полагают С = 1 и пишут v = sit. Если за основные величины принять путь s и время t, то скорость v становится величиной производной. За еди­ ницу скорости мы обязаны принять скорость такого равномерного движения, когда за единицу времени проходится единица длины. Говорят, что скорость имеет размерность длины, деленной на время. Символически это записывается так: \v] = LT'1. Аналогично пока единицы выбираются независимо, для ускорения а можно написать

а = С ^ . Полагая С = 1, мы делаем ускорение а величиной произ­ водной, имеющей размерность скорости, деленной на время, или размерность длины, деленной на квадрат времени. После этого за единицу ускорения мы обязаны принять ускорение такого равномерно ускоренного движения, когда за каждую единицу времени скорость возрастает на единицу. В произвольных единицах второй закон Ньютона пишется в виде F = Ста. Фиксируя численный коэффи­ циент С, мы делаем силу F величиной производной и устанавливаем для нее единицу. Например, при С = 1 получаем F = та. После этого сила получает размерность массы, умноженной на ускорение: [F] = [та] = MLT'2. Формула F = та обязывает нас за единицу силы принять такую силу, которая массе в одну единицу сообщает ускорение, равное единице.

3. Размерность физической величины еще не определяет, как велика ее единица. Она устанавливает только связь между едини­ цами различных физических величин. Размерность дает правило, позволяющее определить, как меняется единица производной физи­ ческой величины при изменении масштабов основных величин. Это правило, выраженное в виде математической формулы, называется формулой размерности. Допустим, например, что за единицу длины принят километр, а за единицу времени — минута. Единицей уско­ рения в такой системе единиц будет км/мин2 . Спрашивается, как изменится единица ускорения, если за единицу длины принять сантиметр, а за единицу времени — секунду. Формула размерности

позволяет быстро ответить на этот вопрос. Мы пишем прежде всего 1 км = 105 см, 1 мин = 60 с и далее

Отсюда видно, что единица ускорения 1 км/мин2 крупнее единицы см/с2 в 1000/36 раз. В соответствии с этим численное значение уско­ рения, измеренное в км/мин2 , окажется меньше численного значения того же ускорения в 1000/36 раз, если его измерить в см/с2 .

§ 87. Формула размерности

1. Термин «система единиц» употребляется в двух смыслах. В широком смысле система единиц характеризуется выбором основ­ ных величин и формулами, определяющими производные величины через основные, причем масштабы основных величин не фиксируются.

Примером может служить система LMT, в которой основными величи­ нами являются длина, масса и время. Другим примером является элек­ тротехническая система LMTI, в которой за основные величины при­ нимаются длина, масса, время и сила электрического тока /. Система единиц в узком смысле дополнительно характеризуется также опреде­ ленным выбором масштабов основных единиц. Примерами могут слу­ жить системы СГС и МКСА. Первая есть частный случай системы LM Т, когда за единицы длины, массы и времени приняты сантиметр, грамм и секунда. Вторая является частным случаем электротехнической системы LMTI. В ней единицами длины, массы, времени и силы тока являются соответственно метр, килограмм, секунда и ампер. В теории размерности термин «система единиц» понимается в широком смысле.

Понятие размерности возникает в связи с требованием, чтобы в одной и той же системе единиц количественные соотношения между различными физическими величинами выражались одними и теми же формулами, независимо от того, как велики единицы основных физических величин. Этим требованием определяется общий вид «формул размерности» физических величин. Допустим, что имеется несколько физических величин, связанных между собой. Для про­ стоты можно ограничиться случаем двух величин, одна из которых принимается за основную, а другая — за производную. Численные значения их х и у связаны уравнением у = / (х). Определим общий вид функции / (х). Если единицу основной величины х уменьшить в а раз, то численное значение этой величины увеличится в такое число раз и сделается равным X = ах. При этом единица производ­

параметра а аргументы х и X = ах могут независимо принимать любые значения. Поэтому равенство F (х) = F (X) должно выпол­ няться тождественно, каковы бы ни были х и X. Это значит, что F (х) есть постоянная. Обозначив эту постоянную т, получим диф­ ференциальное уравнение

Это и есть формула размерности. Мы видим, что требование незави­ симости функциональной связи между у и х от выбора масштаба единицы основной физической величины х может быть удовлетворено только тогда, когда размерность выражается формулой степенного вида.

Приведенные рассуждения без труда обобщаются на случай, когда рассматриваемая физическая величина зависит от нескольких основных физических величин. Для этого в рассуждениях надо только фиксировать единицы всех основных физических величин, за исклю­ чением одной из них. Таким путем нетрудно показать, что формула размерности должна быть степенного вида относительно всех основ­ ных физических величин. Допустим, например, что число основных величин выбрано равным трем, и за них приняты длина (L), масса

(М) и время (Т). Тогда размерность любой физической величины у представится формулой

где р, q, г — постоянные числа. Формула (87.2) означает, что если

раз, а следовательно, ее численное значение увеличится в такое же число раз.

3. Если посмотреть на размерности физических величин, фак­ тически встречающихся в физике, то нетрудно заметить, что во всех случаях числа р, q, г оказываются рациональными. Это не обяза­ тельно с точки зрения теории размерности, а является результатом соответствующих определений физических величин. Так, например, скорость вводится по формуле v = sit и поэтому имеет размерность