Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

вниз с ускорением а, то на тело в лифте действует сила тяжести mg и сила инерции—та. Результирующая сила т (g — а) состоит из этих двух слагаемых, совершенно различных по своей физической природе. Между тем все явления внутри лифта будут происходить так, как если бы в нем действовало однородное гравитационное поле с напряженностью g' = g — а. В частности, когда лифт падает свободно, g' = 0, т. е. наступает «состояние невесомости». Допустим, что пассажир в лифте имеет возможность производить опыты только над телами внутри лифта и лишен возможности наблюдать внешний мир. Замечая, что все тела падают в лифте с одним и тем же ускоре­ нием, он не может на основании одного только этого факта решить, чем вызвано это ускорение: однородным гравитационным полем, ускоренным поступательным движением самого лифта, или, наконец, и тем и другим. Никакие опыты по свободному падению тел в лифте не могут отделить однородное гравитационное поле от однородного поля сил инерции. По предположению Эйнштейна это невозможно сделать и с помощью любых физических опытов. Это предположение Эйнштейн возвел в постулат и выдвинул принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Согласно этому принципу все физические явления в гравитацион­ ном поле происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствую­ щих точках пространства совпадают, а начальные условия одинаковы для всех тел замкнутой системы.

2. Принцип эквивалентности вовсе не утверждает, что всякое гравитационное поле может быть имитировано силами инерции, т. е. создано надлежащим ускоренным движением системы отсчета. Он не утверждает также, что любые силы инерции во всем простран­ стве можно заменить гравитационными. Оба эти утверждения вер­ ны, вообще говоря, только для однородных полей, т. е. таких полей, напряженность которых одна и та же во всех точках пространства.

Для пояснения этого вернемся к прежнему примеру с лифтом. Пусть лифт неподвижно висит в поле тяжести Земли. Располагая точным гравитометром, пассажир в лифте замеТит, что направления отвеса в различных точках кабины лифта не совсем параллельны, их продолжения пересекаются приблизительно в центре Земли. Далее, он найдет, что земное гравитационное поле возрастает в на­ правлении к центру Земли. Короче, пассажир в неподвижном лифте может установить, что земное гравитационное поле неоднородно. Напротив, поле сил инерции, возникающее в лифте при его уско­ ренном поступательном движении, однородно. Оно не может во всех точках пространства внутри кабины лифта подменить неоднородное ньютоново поле земной тяжести. Можно создать внутри кабины лифта и неоднородное поле сил инерции, приведя лифт во вращение. Однако такое поле возрастало бы при удалении от оси вращения,

т. е. вело бы себя совсем иначе, чем гравитационное поле Земли. Ньютоново гравитационное поле точечной массы убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от нее. Поле центробежных сил coVj_, напротив, возрастает пропорционально расстоянию до оси вращения. Ясно, что ньютоново гравитационное поле точеч­ ной массы не может быть получено никаким вращением системы отсчета.

Однако в небольших объемах пространства, в которых гравита­ ционное поле может считаться практически однородным, оно может быть приближенно имитировано ускоренным движением системы, отсчета. Если хотят отметить это обстоятельство, то говорят, что принцип эквивалентности имеет локальный характер.

3. Кроме того, между ньютоновыми силами гравитационного притяжения и силами инерции имеется существенное различие, когда последние возникают во вращающихся системах отсчета.

тельные и центробежные силы инерции, а также вообще все пере­ носные силы инерции. По своим физическим действиям переносные силы инерции совершенно эквивалентны ньютоновым гравитацион­ ным силам. Невозможно однозначно отделить ньютоново гравита­ ционное поле от поля переносных сил инерции. Напротив, силы Кориолиса ведут себя существенно иначе, чем ньютоновы гравита­ ционные силы. На покоящиеся (в рассматриваемой системе отсчета)

инертной и гравитационной масс делает целесообразным объединить гравитационное поле и поле всех сил инерции в единое поле. Это и делается в общей теории относительности. Для поля, получающегося в результате такого объединения, сохранено прежнее название — гравитационное поле. Сила инерции является частным случаем сил гравитационного поля, понимаемого в таком расширенном смысле. Общая теория относительности, или релятивистская теория грави­ тации, устанавливает уравнения гравитационного поля. Они назы­ ваются уравнениями Эйнштейна. Закон всемирного тяготения Ньютона содержится в уравнениях Эйнштейна и верен только приближенно. Приближенный характер закона всемирного тя­ готения, впрочем, следует уже из того, что в основе этого закона лежит представление о мгновенном распространении взаимо­ действий. А такое представление имеет ограниченную область применимости.

4. В свете изложенного вернемся еще раз к вопросу об инерци­ альных системах отсчета. Пусть тело Л настолько удалено от Сол­ нечной системы, что ее гравитационным полем можно пренебречь. Тогда еще нельзя утверждать, что оно не подвержено действию ника­ ких гравитационных полей. Мы не можем утверждать, что во Все-

2. Допустим теперь, что наблюдатель в инерциальной системе отсчета непо­ движен, но в ней имеется однородное гравитационное поле с напряженностью g (рис. 196, б). Если величину g подобрать равной — a ( g = —а), то по принципу эквивалентности гравитационное поле вызовет в точности такое же изменение частоты света, что и в предыдущем случае. При распространении света по направ­ лению гравитационного поля g частота световой волны будет возрастать, а при распространении в противоположном направлении — убывать. В этом и состоит явление гравитационного смещения спектральных линий, предсказанное Эйн­ штейном. Величина смещения определяется формулой

где I — расстояние, проходимое светом в поле тяготения.

При выводе формулы (72.1) предполагалось, что поле постоянно и однородно. Результат нетрудно обобщить на случай произвольного постоянного неоднород­ ного гравитационного поля. С этой

дить вдоль пути, по которому распро­ страняется свет. Можно взять произвольный путь, соединяющий начальную

точку 1 с конечной точкой 2. Гравитационные силы постоянных полей являются

При распространении света от высшего гравитационного потенциала к низ­ шему его частота увеличивается, при распространении в противоположном направ­ лении — уменьшается.

В настоящее время (с использованием так называемого эффекта Мёссбауэра) гравитационное смещение спектральных линий удалось с уверенностью наблю­ дать при распространении света даже в поле тяжести Земли. Проходимый путь

(сверху вниз) составлял всего 20 м. В этом случае ожидаемое смещение

v0

— 2-10"1 4 .

Измерения дали такой же результат. Это является подтверждением прин­ ципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

ния (например, от температуры). Более глубоким является физи­ ческий подход, рассматривающий явление деформаций с атомисти­ ческой точки зрения. Этим занимается теория твердого тела. Она позволяет в принципе не только вывести основные уравнения ме­ ханики деформируемых тел с атомистической точки зрения, но и установить связь упругих постоянных вещества с другими его фи­ зическими свойствами.

Тела мы будем считать идеально упругими. Так называются идеализированные тела, которые могут претерпевать только упру­ гие, но не пластические деформации. Такими идеализациями можно пользоваться, когда силы, приложенные к реальным телам, не превосходят предела упругости. Для идеально упругих тел суще­ ствует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими деформациями. В случае пластических деформаций такой однозначной связи не существует. Это видно хотя бы из того, что до и после пластической деформации тело имеет различную форму, хотя в обоих случаях оно не подвергается действию внешних сил. Мы ограничимся изучением только малых деформаций. Малыми называются упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука. Это — приближенный закон, согласно которому деформации про­ порциональны силам, их вызывающим.

3. Твердые тела разделяются на изотропные и анизотропные. Изотропными называются тела, свойства которых по всем направле­ ниям одинаковы. Анизотропными называются тела, свойства кото­ рых в разных направлениях не одинаковы. Типичными предста­ вителями анизотропных тел являются кристаллы. Приведенные определения отличаются некоторой неопределенностью, поскольку в них явно не указано, о каких физических свойствах идет речь. Дело в том, что тела могут вести себя как изотропные по отношению к одним свойствам и как анизотропные — по отношению к другим.

Так, все кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные, если речь идет о распространении света в них. Однако они будут анизотропными, если интересоваться их упругими свойствами. В настоящей главе нас интересует изотропия или анизотропия телпо отношению к их упругим свойствам. Но мы ограничимся про­ стейшим случаем, когда тела являются изотропными. Металлы обычно имеют поликристаллическую структуру, т. е. состоят из мельчайших беспорядочно ориентированных кристалликов. Каждый из таких кристалликов есть тело анизотропное. Но кусочек металла, содержащий множество их, ведет себя как изотропное тело, если всевозможные ориентации кристалликов представлены с одинаковой вероятностью. В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристалликов может нарушиться. Тогда после плас­ тической деформации металл становится анизотропным. Такое явле­ ние наблюдается, например, при вытягивании или кручении про­ волок.

§74. Упругие напряжения

1.Различные части деформированного тела взаимодействуют между собой на поверхностях раздела, вдоль которых они граничат друг с другом. Рассмотрим произвольное деформированное тело или среду. Мысленно разделим его на две части: тело / и тело / / , граничащие между собой вдоль поверхности АВ (рис. 197). Так как тело / деформировано, то оно действует на тело / / с некоторой

силой. По той же причине тело II действует на тело / с такой же, но противоположно направленной силой. Однако для определения возникающих деформаций недостаточно знать суммарные силы, действующие в сечении АВ. Надо еще указать, как эти силы рас­ пределены по этому сечению. Возьмем на поверхности АВ беско­ нечно малую площадку dS. Пусть dF — сила, с которой на этой площадке тело / / действует на тело /. Сила,

отнесенная к единице площади, т. е. назы­ вается напряжением, действующим в соответ­ ствующей точке на границе АВ тела /. Напря­ жение, действующее в той же точке на границе тела / / , будет таким же, но его направление

противоположно.

2. Ориентацию площадки dS можно задать, указав направление нормали к ней. Условимся эту нормаль проводить наружу от поверхности тела, на которое действует сила dF. Обозначим п единичный вектор такой нормали, а ап — соответствующее напряжение. Тогда а_п будет озна­

чать напряжение на поверхности АВ тела //, с которым граничит тело /. В силу равенства действия и противодействия ап = — сг_„. Вектор ап можно разложить на составляющую вдоль нормали п и составляющую, лежащую в касательной плоскости к площадке dS. Первая составляющая называется нормальным, а вторая — тан­ генциальным напряжениями, действующими на площадке dS. Как и всякий вектор, напряжение ап можно характеризовать тремя состав­ ляющими его вдоль координатных осей X, У, Z прямоугольной систе­ мы координат. Эти составляющие будем обозначать соответственно Qnx> опу, апг. Первый индекс указывает направление внешней нор­ мали к поверхности тела, на которой лежит площадка dS, а второй — направление оси, на которую проектируется напряжение вп. В част­

3. Для того чтобы определить напряжение в среде на произвольно ориентированной площадке в какой-либо точке ее, достаточно

в отсутствие массовых сил тензор упругих напряжений остается од­ ним и тем же во всех точках среды.

Для доказательства рассмотрим элементарный параллелепипед ве­ щества со сторонами dx, dy, dz (рис. 199). Момент сил Мг относи­ тельно оси Z, действующий на этот па­

раллелепипед, равен

Mz = (оху dy dz) dx — (ауХ dx dz) dy =

= (oXy — oyx)dV,

где dV — объем рассматриваемого эле­ ментарного параллелепипеда. По урав­ нению моментов

d(n

(<yXy-oyx)dV = Iz- dt z

где Iz и со^ — момент инерции и угловая скорость относительно оси Z. Но момент инерции 1г пропорционален произведению массы на квадрат линейных размеров рассматриваемого параллелепипеда, т. е. является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем объем параллелепипеда dV. Поэтому при стягивании паралле­

выбрать так, чтобы в этой системе обратить в нуль все недиагональ­ ные элементы тензора упругих напряжений, т. е. ац = 0 при i Ф j .

Не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что это можно сделать потому, что тензор упругих напряжений является симметричным. Таким образом, в этой системе координат упругие напряжения в каждой точке тела характеризуются только тремя

жений.