Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

в принципе теория размерности допускает введение величин с ирра­ циональными значениями р , q, г, например величины (\/t)s^2. Для такой величины было бы р = У 2. Подобные величины не вводятся в физику не по каким-то принципиальным соображениям, а просто потому, что в них нет надобности. Теория размерности здесь ни при чем.

4. Часто размерность физической величины отождествляют с ее единицей в соответствующей системе единиц. Так, например, гово­ рят, что скорость имеет размерность см/с, а сила — г-см/с2 . Хотя это и нелогично, но особой беды в этом нет. Всегда, если есть необ­ ходимость, единицы такого типа позволяют перейти к формулам размерности, в которых масштабы единиц основных величин не фиксированы.

5. В зависимости от выбора основных величин, а также от вида формул, связывающих эти величины с производными, одна и та же физическая величина получает в разных системах единиц не только различные численные значения, но и различные размерности. Так, например, в системе LMT размерность силы устанавливается из второго закона Ньютона / = Ста, в котором коэффициент С условно считается безразмерным и полагается равным единице. Тогда сила получает размерность LMT 2 . Но так поступать не обязательно. Можно коэффициенту С приписать произвольную размерность и придать произвольное численное значение. Тогда получится новая система единиц, в которой сила будет иметь уже другую размер­ ность. Например (и так иногда делают), в уравнении / = G ^ p ,

выражающем закон всемирного тяготения Ньютона, приравнивают гравитационную постоянную G единице и считают эту величину безразмерной. Тогда сила / получает размерность /W2L~2, а во втором законе Ньютона / = Ста появляется коэффициент С с размерно­ стью ML~ST\

Разные физические величины могут иметь одинаковые размер­ ности даже в одной и той же системе единиц. Примерами могут служить в механике работа и кинетическая энергия или работа и момент сил (система MLT), а в учении об электричестве и магнетиз­ ме — емкость и индуктивность, имеющие в так называемой гауссовой системе единиц размерность длины. В таких случаях и единицам этих физических величин часто дают одинаковые наименования, хотя по существу это совершенно разные вещи. Одинаковая раз­ мерность двух различных физических величин в какой-либо системе единиц говорит не об их тождестве, а только о том, что в рассматрива­ емой системе масштабы единиц этих величин меняются одинаково при изменении масштабов единиц основных физических величин. В других системах единиц размерности тех же физических величин могут и не совпадать.

Несовпадение размерностей одной и той же величины в разных системах единиц иногда истолковывают как некоторое логическое противоречие, требующее объяснения. Оно подало повод к поста­ новке вопроса об «истинной» размерности физических величин. На основании изложенного нет никакой необходимости доказывать, что физической величине самой по себе не свойственна никакая размерность. Последняя появляется лишь после установления той или иной системы единиц, а вопрос об «истинной» размерности фи­ зических величин, по меткому замечанию Макса Планка, имеет не более смысла, чем вопрос об «истинном» названии какого-либо предмета.

6. Безразмерными комбинациями физических величин называются такие комбинации, которые в рассматриваемой системе единиц имеют нулевую размерность. Их численные значения не меняются при изменении масштабов единиц основных величин. Легко привести примеры таких комбинаций. Если величина у имеет размерность величины х в степени а, то, очевидно, у/ха будет безразмерной комбинацией, составленной из х и у.

Общий метод нахождения безразмерных комбинаций можно разъяснить на примере системы единиц, построенной на основе трех величин: длины (L), массы (М) и времени (Т). Пусть п величин х1, х2, ... , хп в этой системе имеют размерности соответственно

LPlM4lT'\ 1?гМЧгТг\ .... LPnM"nTrn.

Требуется составить из них безразмерную комбинацию. На основа­ нии теоремы, доказанной в п. 2, искомая комбинация должна иметь

возвести в произвольную степень. Фиксируем, например, ах. Тогда

ния независимы, то (п — 1) — 3 = п — 4 отношений можно выбрать произвольно. Три остальные определятся из уравнений (87.4). В результате найдутся п — 4 независимых безразмерных комбина­ ций. Всякая функция этих безразмерных комбинаций будет также безразмерной комбинацией. Если же три уравнения (87.4) не неза­ висимы, то число независимых безразмерных комбинаций увели­ чится. Например, если в системе (87.4) независимы только два урав­ нения, то независимых безразмерных комбинаций будет п — 3 и т. д.

§88. Правило размерности

1.Все применения теории размерностей основаны на двух теоре­ мах. Одна из них выражается формулой (87.2), устанавливающей общий вид размерности физических величин. Другая теорема утверж­ дает, что всякое количественное соотношение между различными физическими величинами может быть выражено в виде функцио­ нальной связи между безразмерными комбинациями этих величин.

Для доказательства предположим, что между величинами а, Ь, с,

единицы основных величин в а, |5, у раз соответственно. Тогда они

причем а, р, 7 можно выбрать произвольно. Выберем их так, чтобы аа — 6 Ь = ус — 1. Это означает переход от жестко фиксированных единиц к меняющейся системе единиц, в которой численные значения основных физических величин в рассматриваемом вопросе прини­

Но это уравнение в качестве переменных аргументов содержит только безразмерные комбинации физических величин. Его можно записать в виде

где F — новая функция. Теорема доказана.

2. Доказанной теореме можно придать другую форму. Разрешим уравнение (88.1) относительно одного из аргументов, например первого, и результат умножим на знаменатель этого аргумента. Получим

(88.2)

где ф — какая-то функция безразмерных аргументов. Это означает, что во всяком физическом законе типа А — В размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы. В таком виде доказанная теорема получила название правила размерностей. В равенство типа А = В могут входить в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величин. Над размерными величинами правило размерности допускает вы­ полнение только степенных математических операций. Все прочие математические операции (sin х, ех, In л: и т. п.) могут выполняться только над безразмерными величинами. Правило размерности очень полезно для проверки формул. Если вычисления проводятся в ка­ кой-то одной системе единиц, то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть одинаковы. Несовпадение раз­ мерностей указывает на наличие ошибки, допущенной при вычис­ лениях.

Из доказанного отнюдь не следует, что невозможны физические законы, выражающиеся в виде равенств между величинами разной размерности. Равенства подобного рода встречаются в физике сплошь и рядом. Например, скорость свободного падения можно выразить

величин. В приведенных примерах предполагается, что время t измеряется в секундах, скорость v — в метрах в секунду, толщина слоя воды h — в метрах, давление Р — в атмосферах. Изменения масштабов единиц такие формулы не допускают. Но в таком случае нет смысла говорить и о размерности входящих в них физических величии.

3. Теория размерности сама по себе, т. е. без использования до­ бавочных данных, не может привести ни к каким конкретным физи­ ческим выводам, поскольку в ее основах не заложены никакие фи­ зические законы. Для того чтобы извлечь из этой теории конкретные выводы, нужно установить, между какими физическими величинами

существуют количественные связи. На этот счет теория размерности не может дать никаких указаний. Это можно сделать только либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приводимые ниже примеры могут служить иллюстрацией выска­ занных утверждений.

р— плотность вещества, Е — модуль Юнга, ф — угол, измеренный в радианах).

Ре ш е н и е . Проще всего поступить следующим образом. Из перечисленных величин угол ф уже является безразмерной величиной. Далее замечаем, что vt

Этот способ обладает, однако, тем недостатком, что он не дает ответа на вопрос, исчерпываются ли рядом (88.3) все независимые безразмерные комбинации рас­ сматриваемых физических величин. Общий метод, изложенный в § 87, п. 6, свобо­ ден от этого недостатка. Поэтому мы приведем решение также по этому методу. При отыскании безразмерных комбинаций угол ф, как величину безразмерную, можно не принимать во внимание. Из оставшихся семи величин составим комби­ нацию вида

latrfi№&akpV-Ev.

Если выразить размерности и, а, р, £ через размерности основных величин I, т, t, то эта комбинация перейдет в

т. е. в комбинацию

/а+6+А-зц-ут р+-ц+^у-6-2й-2У_

Для того чтобы эта комбинация была безразмерной, должно быть а + 8 + Х — Зц—v = 0,

Из этих трех уравнений три неизвестных параметра можно выразить через остав­ шиеся четыре. За независимые параметры проще всего принять б, К, u,, v, так как уравнения фактически уже разрешены относительно оставшихся неизвестных

Параметры S, X, p., V могут независимо принимать любые значения. Полагая после­

довательно

Этим значениям соответствуют следующие безразмерные комбинации:

§ 88] ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТИ 439

Присоединив к ним угол ср, получим всего пять независимых безразмерных комби­ наций. Все они являются функциями безразмерных комбинаций (88.3). Значит, рядом (88.3) исчерпываются все независимые безразмерные комбинации, которые

массы, плотности, упругих свойств тел и пр. Поэтому искомая скорость v может зависеть только от g и п. Из безразмерных комбинаций (88.3) можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию у2 /(/а) или v2l(gh), содержа­ щую только длину, скорость и ускорение. Она получается делением первой без-

размерной комбинации ряда (88.3) на вторую. Поэтому должно быть / ^^1 = 0,

откуда v2/(gh) = С = const, или v2 = Cgh. Численный коэффициент С из теории размерности найти нельзя.

3. Пользуясь соображениями размерности, найти зависимость периода колебаний Т физического маятника от его приведенной длины /, ускорения силы тяжести g и угловой амплитуды а.

О т в е т . Г = ф (а) V Vg- Вид функции ср (а) из теории размерности опре­ делить нельзя. Если эту функцию разложить в ряд Тейлора и сохранить в нем только нулевой член (что можно делать в случае малых колебаний), то получится T = CYl/g,, где С—постоянный численный коэффициент, значение которого из теории размерности определить также нельзя. То обстоятельство, что С Ф 0, также не вытекает из теории размерности, а должно быть установлено особо (например, опытным путем).

4. Пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости распространения v продольных упругих возмущений в стержне от модуля Юнга Е и плотности материала р.

О т в е т . о = С УЕ/р. Численный коэффициент С из размерных соображений

найти нельзя.

5. Две невзаимодействующие материальные точки, находящиеся в централь­ ном силовом поле, описывают геометрически подобные траектории. Сила F, дейст­ вующая на каждую материальную точку, пропорциональна ее массе и меняется с расстоянием г до силового центра, как г", где п — постоянная. Как связаны длины /j и /2 геометрически подобных дуг траекторий с временами 7\ и Тг, затра­ чиваемыми материальными точками на прохождение этих дуг?

Р е ш е н и е . Должна существовать связь между длиной дуги траектории /, временем Т, затрачиваемым материальной точкой на прохождение этой дуги, а также ускорением а, направленным к силовому центру. Ускорения можно брать в произвольных, но обязательно подобно расположенных точках. Из этих трех величин можно составить единственную независимую безразмерную комбинацию, за которую можно принять аТ2Н. Следовательно, должно быть aT2/l= const.

рым движутся материальные точки, можно также написать а — В1п, где В — дру­ гая постоянная, также одинаковая для обеих точек. В результате получим Г2 /""1 =

ческого осциллятора период колебаний или период обращения вокруг силового центра не зависит от амплитуды или размеров орбиты. Второе соотношение выра­

исключение, могут реализоваться и такие случаи, когда нормаль­ ное напряжение является натяжением (отрицательным давлением): жидкости оказывают сопротивление на разрыв. Это сопротивление, вообще говоря, довольно значительно и в однородных жидкостях составляет несколько десятков ньютонов на квадратный миллиметр. Однако обычные жидкости неоднородны. Они содержат мельчай­ шие пузырьки газов, которые действуют подобно надрезам на на­ тянутой веревке и сильно ослабляют прочность жидкости на разрыв. Поэтому в подавляющем большинстве случаев в жидкостях напря­ жения также имеют характер давлений. Вот почему для обозна­ чения нормального напряжения мы пользуемся символом — Рп (давление), а не + Тп (натяжение). Если давление переходит в натяжение, т. е. становится отрицательным, то это, как правило, ведет к нарушению сплошности жидкости. С отмеченными особен­ ностями связано и то обстоятельство, что газы обладают способ­ ностью к неограниченному расширению: газ всегда полностью заполняет объем сосуда, в котором он заключен. Напротив, каждой жидкости свойствен определенный собственный объем, лишь не­ значительно меняющийся с изменением внешнего давления. Жид­ кости имеют свободную поверхность и могут собираться в капли. Чтобы отметить эти обстоятельства, жидкие среды называют также капельно-жидкими. В механике при рассмотрении движений ка­ пельных жидкостей и газов газ обычно рассматривают как частный случай жидкости. Таким образом, под жидкостью в обобщенном смысле слова понимают либо капельную жидкость, либо газ.

Отдел механики, занимающийся изучением движения и равновесия жидкостей, называется гидродинамикой.

3.Давление, существующее в жидкости, обусловлено ее сжатием.

Атак как касательные напряжения не возникают, то упругие свойства жидкостей по отношению к малым деформациям характери­ зуются только одной упругой постоянной: коэффициентом сжимае­ мости

или обратной ему величиной — модулем всестороннего сжатия

(89.3)

Предполагается, что температура жидкости при сжатии поддержи­ вается постоянной. При рассмотрении деформаций, сопровожда­ ющихся изменениями температуры, вместо (89.2) и (89.3) предпоч­ тительнее писать

(89.2а)

(89.3а)

При рассмотрении деформаций твердых тел модуль всесторон­ него сжатия мы определили формулой (77.3), отличающейся от (89.3) тем, что вместо величины dP в ней стоит просто Р. Такое определение было возможно потому, что твердое тело обладает определенным объемом, когда внешнее давление Р обращается в нуль, и этот объем меняется мало даже при конечных изменениях Р. Формула (89.3) переходит в (77.3), если положить dP = Р — Р0 и считать, что Р 0 = 0. Так же можно было бы поступать и в случае капельных жидкостей. Но в случае газов формула (77.3) не го­ дится. Надо пользоваться более общей формулой (89.3), так как при отсутствии внешнего давления объем газа становится беско­ нечно большим. Именно так мы поступали в § 85 при рассмотрении вопроса о скорости звука в газах.

Можно также сказать, что некоторое состояние тела с давле­ нием Р0 (и температурой Г) мы выбираем за нормальное и рас­ сматриваем изменения объема тела по отношению к этому нормаль­ ному состоянию. В случае твердых и капельно-жидких тел модуль упругости (89.3) в широких пределах не зависит от величины Р0. По этой причине и можно положить Р0 = 0. В случае же газов конкретизация значения Р0 существенна. Приравнивать Р0 нулю в этом случае нельзя. Так, если воспользоваться законом Бойля —

лишь тогда, когда указано его давление (при заданной температуре).

4. Малую сжимаемость капельных жидкостей можно демонстри­ ровать с помощью следующего эффектного опыта. Сосуд из пластмассы наполовину наполняется водой. Если произвести выстрел из мелкокалиберной винтовки, чтобы пуля пролетела выше уровня жидкости, то она оставляет лишь отверстия в стенках сосуда, а самый сосуд остается целым. Если же пуля попадает в сосуд на несколько сантиметров ниже уровня жидкости, то сосуд разле­ тается вдребезги. Дело в том, что для проникновения пули в воду она должна либо сжать ее на величину своего объема, либо вытес­ нить наверх. Для вытеснения недостаточно времени. Происходит сжатие — в жидкости развиваются большие давления, которые и разрывают стенки сосуда. Для опыта годятся также деревянные ящики или бумажные коробки, наполненные водой. В последнем случае опыт удается уже с духовым ружьем. Аналогичные явления возникают при разрывах глубинных бомб, применяемых против подводных лодок. Вследствие малой сжимаемости воды при взрыве в воде развиваются громадные давления, которые и раз­ рушают лодку.

Малая сжимаемость жидкостей позволяет во многих случаях вообще полностью пренебречь изменениями их объема. Тогда вво­ дят представление об абсолютно несжимаемой жидкости. Это — идеализация, которой постоянно пользуются. Конечно, и в несжи­ маемой жидкости давление определяется степенью ее сжатия. Однако даже при очень больших давлениях изменения объема «несжимаемых жидкостей» столь ничтожны, что с ними можно не считаться. Можно сказать, что несжимаемая жидкость — это пре­ дельный случай сжимаемой жидкости, когда для получения бес­ конечно больших давлений уже достаточны бесконечно малые сжатия. Несжимаемая жидкость является такой же абстракцией, как и твердое тело. Деформации твердых тел существенны для выяснения механизма возникновения внутренних напряжений. Но когда деформации малы, можно в ряде случаев заменить реаль­ ное тело идеализированным твердым телом. Твердое тело — это предельный случай реального тела, когда для получения беско­ нечно больших напряжений достаточны бесконечно малые дефор­ мации.

Можно или нельзя реальную жидкость заменять идеальной — это зависит не столько от того, насколько мала сжимаемость жидкости, сколько от содержания тех вопросов, на которые надо получить ответы. Так, при рассмотрении звуковых волн, вообще говоря, принципиально невозможно отвлечься от сжимаемости жидкостей. А при рассмотрении воздушных течений, если только перепады давления не слишком велики, воздух часто можно рас­ сматривать как несжимаемую жидкость (см. § 94, п. 5).

5. В состоянии равновесия давление жидкости (или газа) Р

между давлением, плотностью и температурой в состоянии равно­ весия называется уравнением состояния. Оно имеет разный вид для разных веществ и особой простотой отличается в случае раз­ реженных газов. Вопросы, связанные с уравнением состояния, подробно разбираются во втором томе нашего курса. Здесь мы ограничимся замечанием, что, зная уравнение состояния, изотер­ мический модуль упругости Кт можно вычислить простым диф­ ференцированием. Он в общем случае является функцией плотности

итемпературы или давления и температуры.

6.Если жидкость находится в движении, то наряду с нормаль­ ными напряжениями в ней могут возникать и касательные силы.

Однако последние определяются не самими деформациями жид­ кости (сдвигами), а их скоростями, т. е. производными деформаций по времени. Поэтому их следует относить к классу сил трения или

вязкости. Они называются касательными или сдвиговыми силами