Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

454 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ XII

пересекает поверхность тела только два раза. (Случай, когда это условие не соблю­ дается, читателю предлагается разобрать самостоятельно.) Пусть dS, и dS2 — эле­ ментарные площадки, вырезаемые одним из столбиков на поверхности тела. Силы,

ния столбика. Результирующая этих двух сил, направленная вверх, равна dF2 — = (Р2 — Рг) da = pghda = pgdV, где h — высота столбика, а dV = Ma — его объем. Интегрируя по всему объему тела, находим выталкивающую силу Fz = = pgV. Теперь надо найти момент вертикальных выталкивающих сил, действую­ щих на столбики, относительно произвольной оси. Если ось вертикальна, то мо­ мент, очевидно, равен нулю. Поэтому достаточно ограничиться вычислением момента относительно произвольной горизонтальной оси. Примем таковую за координатную ось X. Искомый момент будет Мх= ^ у dFz — g ^ ру dV = g ^ у dm, где dm — масса жидкости, вытесненная соответствующим столбиком тела. Анало­ гично, для момента относительно оси Y: My = g ^ х dm. Момент обратится в нуль,

когда ^ х dm= ^ у dm = 0, т. е. когда начало координат помещено на вертикальной оси, проходящей через центр плавучести тела. Тем самым доказано, что линия действия выталкивающей силы проходит через центр плавучести тела. Для завер­ шения доказательства надо было бы еще исследовать, какие силы давления дейст­ вуют на поверхность погруженного тела в горизонтальных направлениях. Однако этот вопрос не нуждается в специальном исследовании. Например, когда речь идет о силах, действующих параллельно оси X, то достаточно разбить тело на беско­ нечно малые столбики, параллельные этой оси, а затем повторить все сказанное выше, с той только разницей, что величину g надо положить равной нулю. Отсюда следует, что равнодействующая горизонтальных сил давления, действующих на погруженное тело, и их момент равны нулю.

4. Найти условие устойчивости однородного прямоугольного параллеле­ пипеда, плавающего на поверхности жидкости в положении, когда одно из осно­ ваний его горизонтально. Длины сторон горизонтального основания Л и В, высота С (А > В). Плотность материала тела относительно жидкости р < 1.

О т в е т . В2 > 6р (1 — р) С2 .

5.Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и высоты 1, плавающего

ввертикальном положении.

7. Найти распределение давления внутри земного шара, считая его состоящим из однородной несжимаемой жидкости и пренебрегая осевым вращением Земли. Вычислить в том же приближении давление в центре Земли Р ц (см. задачу 5 к § 55).

8. Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вращением, счи­ тая Землю однородным несжимаемым жидким шаром.

Р е ш е н и е . Так как фигура Земли мало отличается от шаровой, то ускоре­ ние силы тяжести внутри земного шара можно считать направленным к центру Земли и пропорциональным расстоянию до ее центра (см. задачу 5 к § 55). В этом приближении с учетом центробежной силы уравнения гидростатики (90.6) прини­ мают вид

где С — постоянная интегрирования, определяющаяся значением давления Р на земной поверхности (его можно считать равным нулю, так как атмосферное давление пренебрежимо мало). Сплюснутость Земли определится из требования постоянства давления на земной поверхности. Выбрав сначала точку на экваторе, а затем на полюсе, пишем Р (/?э , 0, 0) = Р (0, 0, Rn), где Ra и Rn — экваториаль­ ный и полярный радиусы Земли. С учетом явного вида Р отсюда получаем

и далее

Следовательно, для сплюснутости е земного шара получается

Действительное сжатие Земли заметно больше, а именно 1 / 2 9 7 . Расхождение объ­ ясняется грубостью модели, положенной в основу рассуждений, а также несовер­ шенством метода расчета. При строгой постановке задачи надо учитывать, что поле тяготения сплюснутого шара не является центральным *). Тем самым задача сильно усложняется, так как гравитационное поле уже неизвестно заранее, а само зависит от неизвестной формы поверхности Земли. Подробное исследование пока­ зывает, что задача, сформулированная таким образом, не имеет однозначного решения. Возможно несколько различных форм равновесной поверхности, в том числе и эллипсоид вращения с определенной степенью сжатия.

*) С учетом этого обстоятельства расчет дает

§92. Барометрическая формула

1.Обратимся теперь к гидростатике сжимаемой жидкости. Наи­ больший интерес представляет равновесие земной атмосферы. Этот случай мы и рассмотрим. Дифференциальные уравнения (90.5) и (91.1) были выведены без использования предположения о несжимае­ мости жидкости, а потому мы воспользуемся ими и здесь. Первые два уравнения системы (91.1) можно не учитывать, так как из них следует лишь, что давление Р может зависеть только от г. Остав­ шееся третье уравнение можно переписать в виде

в него входят две неизвестные функции — давление Р и плотность р. Нужно дополнительное соотношение между ними.

Будем предполагать, что состав атмосферы один и тот же на

i? = 8 , 3 M 0 ' эрг- К"1 -моль"1 = 8,31 Дж • К"1 • моль"1 .

Соотношение (92.2) позволяет исключить из уравнения (92.1) плотность р. В результате получится

да-»

Понятно, что таким путем мы еще не достигли цели, так как вместо неизвестной плотности р ввели новую неизвестную величину — температуру Т. Однако последнюю легче измерить на различных высотах. Если Т известна как функция г, то уравнение (92.3) уже можно будет проинтегрировать. Следовательно, задача определе­ ния давления на различных высотах становится вполне определен­ ной, если задать закон изменения температуры Т с высотой.

2. Если отсутствуют ветры и воздушные течения, т. е. атмосфера неподвижна, то говорят, что она находится в механическом равно­ весии. Такое состояние не является еще состоянием полного равно­ весия. Для последнего, кроме того, необходимо, чтобы атмосфера находилась также и в тепловом равновесии. Тепловое равновесие означает, что температура Т одна и та же на протяжении всей

атмосферы. Если это имеет место, то атмосферу называют изотер­

мической.

Конечно, изотермическая атмосфера — это идеализация. Но рассмотрение этого идеализированного случая тем не менее пред­ ставляет большой интерес. При Т = const уравнение (92.3) легко интегрируется. Для этого переписываем его в виде

РRT "

ипосле интегрирования находим

и плотности воздуха на поверхности Земли. Давление и плотность воздуха убывают с высотой по экспоненциальному закону. При

следующий вопрос. Какую высоту Н должна была бы иметь вооб­ ражаемая атмосфера постоянной плотности р0 , чтобы она произ­ водила на поверхность Земли такое же давление Р0, как и действи­ тельная атмосфера? Очевидно, искомая величина определится из

RT

= — , т. е. Н = h. Считая средний молекулярный вес воздуха равным и- = 28,8, находим для высоты однородной атмосферы при нуле градусов Цельсия (Т = 273 К):

/i = ||^f|^ 8000 м = 8 км.

Подставляя h в барометрическую формулу (92.4), можно пере­ писать ее в виде

В таком виде формула удобна для определения разностей высот двух или нескольких точек земной атмосферы. Для этого нужно

знать давление воздуха в этих точках, а также температуру. Пос­ ледняя в пределах рассматриваемых высот, разумеется, должна быть одной и той же.

3. Сделаем в заключение одно замечание относительно устой­ чивости механического равновесия атмосферы. Мы не будем вво­ дить ограничения, что температура одна и та же на всех высотах, а будем предполагать, что она может меняться с высотой как угодно. Если нарушено состояние механического равновесия, в результате

давлению. В результате поднявшаяся масса воздуха расширится, а ее плотность уменьшится, так как вследствие малой теплопро­ водности воздуха во время поднятия рассматриваемая масса прак­ тически не будет получать и отдавать тепло. Если окажется, что в новом положении плотность поднявшейся массы больше плот­ ности окружающего воздуха, то эта масса, как более тяжелая, опустится вниз, и равновесие восстановится. Если же ее плотность окажется меньше плотности окружающего воздуха, то она будет подниматься еще выше, и механическое равновесие окажется не­ устойчивым. Аналогичные соображения справедливы и для случая, когда нарушение механического равновесия совершается путем небольшого опускания какой-либо массы воздуха. В этом случае опустившаяся масса сжимается внешним давлением. Если в новом положении ее плотность меньше плотности окружающего воздуха, то она начнет подниматься, и равновесие восстановится. Наобо­ рот, если эта плотность окажется больше, то рассматриваемая масса начнет опускаться еще ниже, т. е. равновесие окажется не­ устойчивым. Эти рассуждения, разумеется, применимы не только к атмосфере, но и к любой неравномерно нагретой сжимаемой жид­ кости, находящейся в механическом равновесии в поле тяжести. Что касается земной атмосферы, то исследования показали, что изотермическая атмосфера в рассматриваемом смысле устойчива. Еще большая устойчивость получается, когда температура воздуха возрастает с высотой. Если же температура убывает с высотой, то механическое равновесие воздуха возможно лишь тогда, когда это убывание происходит не слишком быстро. При убывании тем­ пературы с высотой более чем на один градус на каждые 100 метров высоты атмосфера теряет механическую устойчивость. Появляются восходящие и нисходящие потоки воздуха (конвекция). Во втором

- § 93. Кинематическое описание движения жидкости

1. Для описания движения жидкости можно поступить двояко. Можно проследить за движением каждой индивидуальной частицы жидкости, т. е. указать положение и скорость этой частицы в каж­ дый момент времени. Тем самым будут определены и траектории всех частиц жидкости. Но можно поступить и иначе. Можно просле­ дить, что происходит с течением времени в каждой точке простран­ ства. Точнее, можно указать величины и направления скоростей различных частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если взять все­ возможные точки пространства, но фиксировать время t, то при втором способе описания в пространстве получится мгновенная картина распределения скоростей жидкости — поле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая проходит через

При стационарном движении явной зависимости от времени нет, скорость зависит только от координат: v = v (/*).

2. В случае нестационарного движения линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями частиц жидкости. Действи­

частиц. Для доказательства возьмем траекторию какой-либо про­

460 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. (XII

времени t2 можно выбрать произвольно, то отсюда следует, что

при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока. Трубка тока ведет себя подобно боковой поверхности жесткой трубки, вдоль которой течет жидкость. На такие трубки тока можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью. Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость

же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны S x и S2, то можно написать

Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между сечениями S1 и S 2 изменялась бы во времени. А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности тече­ ния. Если жидкость несжимаема, то рх = р2 , и соотношение (93.2) принимает вид

Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки. Она обратно пропорциональна площади этого поперечного сечения.

§ 94. Стационарное движение идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли

1. Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет очень сложную задачу. Для ее упрощения сна­ чала полностью пренебрегают силами внутреннего трения. Рассма­ тривают случай идеальной жидкости, в которой при любых дви­ жениях не возникают касательные и нормальные силы внутреннего

Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при ста­ ционарном течении идеальной жидкости величина е + PI р остается постоянной:

(1700—1782), который впервые опубликовал его в 1738 году. При выводе уравнения Бернулли мы нигде не использовали предположе­ ния о несжимаемости жидкости. Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение — стационарным. Однако разбор и применения уравнения Бернулли для сжимаемых жидкостей и газов мы отложим до второго тома, так как это требует знания явного выражения для энергии е. Здесь ограничимся рассмотрением несжимаемых жид­ костей, движущихся в поле тяжести Земли. Именно в этих пред­ положениях уравнение (94.2) было установлено самим Бернулли.

Если жидкость несжимаемая, то при течении не меняется та часть полной энергии е, которая зависит от сжатия жидкости. Эту часть поэтому можно не принимать во внимание. Вся-энергия е складывается из кинетической энергии единицы массы жид­ кости v2/2 и ее потенциальной энергии gh в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид

та же вдоль одной и той же линии тока. Однако она, вообще говоря, может меняться при переходе от одной линии тока к другой. Но могут быть и такие случаи, когда постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости. Отметим один, довольно часто встречаю­ щийся случай, когда это имеет место. Допустим, что все линии тока начинаются или оканчиваются в такой области, где жидкость прак­ тически находится в состоянии покоя. Возьмем одну из точек линии

= const. Отсюда и видно, что постоянная Бернулли В в рассма­ триваемом случае одна и та же для всего потока жидкости. Более общим является случай, когда в некоторой области пространства несжимаемая идеальная жидкость движется параллельным пото­ ком в любом направлении с постоянной скоростью v0, а затем параллельность потока нарушается препятствиями, стоящими на его пути, или вследствие расширений или сужений трубы или русла, по которым течет жидкость. В этом случае постоянная Бернулли В также одинакова для всех линий тока. Чтобы убедиться в этом,

достаточно перейти к системе отсчета, равномерно движущейся относительно исходной со скоростью v0.

4, Допустим теперь, что тонкая трубка тока имеет переменное поперечное сечение, а ось ее горизонтальна. (Примером может слу­ жить горизонтальная труба переменного сечения, по которой течет жидкость). Тогда h = const, и уравнение Бернулли принимает вид

и наоборот. С другой стороны, согласно соотношению (93.3), ско­ рость v минимальна там, где максимально сечение трубки. Значит, в широких частях трубки давление максимально, а в узких — ми­ нимально. Такой результат является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость из широ­

жидкости слева и справа. Следовательно, давление слева, т. е. в более широкой части трубки, должно быть больше, чем справа, где трубка уже.

5 . Пользуясь уравнением (94.4), можно дать ответ на вопрос, когда при течении жидкость или газ можно считать несжимаемыми, хотя более строгое доказательство должно основываться на уравне­ нии Бернулли в более общей форме (94.2). Давление и скорость течения в двух точках 1 и 2 на одной и той же линии тока связаны соотношением

где с — скорость звука (см. § 85, п. 1). Для того чтобы при тече­ нии жидкость можно было рассматривать как несжимаемую, необ­ ходимо выполнение соотношения | А р | <; р при любом выборе точек 1 и 2. Это приводит к условию

т. е. изменение квадрата скорости течения жидкости должно быть мало по сравнению с квадратом скорости звука. Если течение отнести к системе отсчета, в которой жидкость в какой-либо точке покоится, то условие (94.5) упрощается и принимает вид