Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

§53. Тензор и эллипсоид инерции

1.Вычислим момент инерции / твердого тела относительно произвольной оси OA (рис. 170). Без ущерба для общности можно принять, что ось проходит

называют тензором инерции тела относительно точки О, а сами эти величины — компонентами этого тензора*). Тензор инерции симметричен, т.е. 1у — 1ц.

Поэтому он полностью определяется заданием шести компонентов. Формулу (53.1) можно записать в более краткой и симметричной форме:

Если известны для какой-либо координатной системы все шесть компонентов тензора инерции, то по формуле (53.1) или (53.4) можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат О. Момент инерции относительно всякой другой оси, не проходящей через начало координат, можно вычислить с помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера.

2. Формула (53.4) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Че­ рез начало координат О будем проводить прямые во всевозможных направлениях

*) Тензором вообще называют упорядоченную совокупность девяти величин, заданную в каждой системе координат, причем при повороте координатных осей эти величины преобразуются как произведения компонентов двух векторов.

таких отрезков будет некоторая поверхность. Найдем ее уравнение. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется

Эта поверхность второго порядка, очевидно, является эллипсоидом, так как мо­ мент инерции /, а с ним и длина радиуса-вектора г имеют конечные значения, каково бы ни было направление оси s. Она называется эллипсоидом инерции тела относительно точки О, являющейся его центром. При перемещении начала коор­ динат О относительно тела будет меняться и эллипсоид инерции тела. Если в ка­ честве О взят центр масс тела, то соответствующий эллипсоид называется цен­ тральным.

3.Как и всякий.тензор, тензор инерции зависит от выбора начала координат

инаправления координатных осей. При изменении координатной системы ме­ няются и значения компонентов тензора инерции тела. Существенно, однако, что какова бы ни была координатная система, всегда могут быть найдены все шесть компонентов тензора инерции, хотя бы по формулам (53.2). В частности, коорди­ натные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида инерции. В этой координатной системе в уравнении (53.5) пропадают члены, содержащие произ­ ведения координат, и это уравнение примет вид

Второй индекс в системе главных осей эллипсоида инерции опущен как излишний. Таким образом, для всякого твердого тела, где бы ни было выбрано начало координат О, существуют три взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с глав­ ными осями эллипсоида инерции тела относительно точки О, для которых недиа­ гональные элементы тензора инерции обращаются в нуль. Эти оси называются также главными осями тензора инерции. Они, очевидно, жестко связаны с телом. Точно так же жестко связан с твердым телом и эллипсоид инерции. Если известно положение эллипсоида инерции, то в тот же момент будет известно и положение всего тела. Поэтому задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к задаче о вращении его эллипсоида инерции вокруг той же точки. Этим воспользовался Пуансо (1777—1859) для наглядной геометрической интер­ претации вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Она будет рассмо­ трена в следующем параграфе. Главные оси центрального эллипсоида инерции

называют также главными осями самого тела.

Направление главных осей тела часто можно определить, пользуясь сообра­ жениями симметрии. Так, например, главные оси однородного прямоугольного параллелепипеда параллельны его ребрам. Если тело обладает симметрией вра­ щения вокруг некоторой оси, то его эллипсоид инерции обладает такой же сим­ метрией. К. телам такого рода относится, например, цилиндр. В этом случае моменты инерции тела относительно всех осей, перпендикулярных к оси сим­ метрии, одинаковы. Одной из главных осей тела является его ось симметрии.

Всякая прямая, к пей перпендикулярная, также будет главной осью тела. Таким образом, существует бесконечное множество троек взаимно перпендикулярных главных осей тела, у которых одна ось, а именно ось симметрии, будет общей. Для шара эллипсоиды инерции относительно всех осей, проходящих через центр шара, одинаковы. В этом случае любая ось будет главной осью тела.

Для динамики вращательного движения твердого тела существенна симмет­ рия не самого тела, а симметрия соответствующего ему эллипсоида инерции. Все тела с одинаковыми эллипсоидами инерции динамически эквивалентны. Чтобы эллипсоид инерции обладал симметрией вращения, не обязательно, чтобы само тело обладало той же симметрией. Возьмем, например, однородный параллеле­ пипед с квадратным основанием. Поместим начало координат О в любой точке геометрической оси параллелепипеда. Тогда нетрудно показать, что эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения, ось симметрии которого совпадает с гео­ метрической осью параллелепипеда. В динамическом отношении движение такого параллелепипеда описывается такими же уравнениями, что и движение однородного цилиндра. Если параллелепипед вырождается в куб, а начало коор­ динат помещено в его центре, то эллипсоид инерции вырождается в сферу. В дина­ мическом отношении однородный куб ведет себя так же, как однородный шар.

4. Допустим теперь, что твердое тело равномерно вращается вокруг закреп­ ленной оси, например, оси, проходящей через неподвижные подшипники. Со сто­ роны подшипников тело подвергается действию сил. Пусть это единственные внеш­ ние силы, действующие на тело. Их равнодействующая F найдется по теореме о движении центра масс. Она равна

F= — mai2rCt

где г с — радиус-вектор центра масс тела, проведенный от оси вращения перпен­ дикулярно к ней. Момент внешних сил относительно начала координат равен

означает, что ось вращения должна быть одной из главных осей тела. Найденные условия являются и достаточными. Это следует из того, что при их выполнении удаление подшипников не меняет уравнения движения центра масс и уравне­ ния моментов относительно центра масс. Эти же уравнения (при заданных началь­ ных условиях) однозначно определяют движение твердого тела.

5. Итак, во всяком твердом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями центрального эллипсоида инерции тела, вокруг которых тело может вращаться без воздействия внешних сил. Такие оси назы­ ваются поэтому свободными или перманентными осями вращения. Последним термином хотят подчеркнуть, что вращение твердого тела по инерции в отсутствие возмущений может продолжаться сколь угодно долго. Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, с которыми в реаль­ ных условиях всегда надо считаться. Если при наличии таковых характер дви­ жения тела меняется мало, т. е. мгновенная ось вращения хотя и непрерывно изменяет свое положение в теле и пространстве, но все время проходит очень близко от соответствующей свободной оси, то вращение вокруг последней будет устойчивым. Если же сколь угодно малое возмущение существенно меняет ха-

рактер движения тела, т. е. далеко уводит мгновенную ось от исходного напра­ вления, вокруг которого первоначально вращалось тело, то это вращение назы­ вается неустойчивым. В следующем параграфе будет показано, что вращение вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции является устой­ чивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции — неустойчивым. Для демонстрации можно взять картонную коробку прямоуголь­ ной формы, у которой длины всех трех ребер различны. Ось с наибольшим мо­ ментом инерции будет, очевидно, параллельна наиболее короткому ребру, с наи­ меньшим моментом инерции — наиболее длинному ребру, с промежуточным — ребру промежуточной длины. Коробку подбрасывают вверх, сообщая ей быстрое вращение вокруг одной из этих осей. Во время полета ось вращения сохраняется, если она является осью с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Если же первоначальное вращение было сообщено вокруг оси с промежуточным зна­ чением момента инерции, то мгновенная ось вращения во время полета коробки непрерывно качается, далеко уходя от первоначального направления в теле. Движение коробки приобретает сложный и запутанный характер.

6. Допустим теперь, что твердое тело вращается вокруг какой-то закреп­ ленной или мгновенной оси OA с постоянной или непостоянной угловой скоро­ стью со. Найдем его момент количества движения L относительно начала коорди­ нат О, а также кинетическую энергию К- По определению

L = ^ [rv] dm.

Подставим сюда v = [cor] и воспользуемся формулой [г [cor]] = г2 со — (юг) г. Тогда получим

£= ш ^ r2dm — ^ (cor) г dm.

Впроекциях на координатные оси это соотношение записывается так:

/ = 1

Таким образом, компоненты вектора момента количества движения являются

Формулы ясно показывают, что в общем случае направления векторов L и со не совпадают. Кинетическую энергию вращающегося твердого тела легко найти по формуле (47.2). Она равна

§ 54. Вращение твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки

1. Пуансо дал простую и наглядную интерпретацию движения твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки опоры О. С твердым телом связы­ вается его эллипсоид инерции с центром в точке опоры О. Движение тела заме­ няется движением этого эллипсоида (см. предыдущий параграф, п. 3). В основе

интерпретации Пуансо лежат три теоремы, которые мы и докажем. Для краткости

298 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

будем называть полюсом точку пересечения Р мгновенной оси с поверхностью эл­ липсоида инерции.

инерции. А так как она лежит и на мгновенной оси, то она совпадает с полюсом Р. Итак, радиус-вектор полюса Р связан с вектором угловой скорости со соотноше­

направлен по нормали к поверхности эллипсоида. Иными словами, вектор N перпендикулярен к касательной плоскости, о которой говорится в теореме. Он равен

постоянна и проекция со£. Но, как было показано при доказательстве теоремы 1, эта проекция связана с длиной перпендикуляра г{ соотношением coL = ~]/r2f(rI.

в какой-либо момент времени касательную плоскость в точке нахождения полюса

нение мгновенной оси можно записать в виде г = рсо, где р — переменный пара­ метр, который может принимать любые значения. Найдя отсюда ах, соу, а>г и под­ ставив полученные значения в предыдущее уравнение, видим, что координаты

Это значит, что мгновенная ось вращения лежит на поверхности (54.5), т. е. на поверхности конуса второго порядка. Этот конус и будет конусом полодии, так как по самому определению конус полодии есть линейчатая поверхность, образо­ ванная последовательными положениями в теле мгновенной оси вращения.

6. Вид конуса полодии (54.5) зависит от значения параметра h2 = L2I(2K). Очевидно, все коэффициенты уравнения (54.5) не могут иметь одинаковые знаки, так как в этом случае уравнение не может удовлетворяться вещественными зна­

более были бы меньше нуля, т. е. все три коэффициента в уравнении (54.5) были бы отрицательны. А это, как мы показали, невозможно. Заметив это, видим, что могут представляться только два случая:

Во втором случае уравнение конуса полодии имеет вид Ах2 — By2 — Cz2 — 0 с положительными постоянными Л, В, С. В этом случае в сечении получается эллипс, если оно производится плоскостью х= const. При сечении же плоско­ стями у = const и z = const образуются гиперболы.

Таким образом, в зависимости от значения параметра h конус полодии окру­

жает либо ось наибольшего, либо ось наименьшего моментов инерции тела. Но он никогда не окружает ось промежуточного момента инерции.

7.Теперь вопрос об устойчивости вращения относительно свободных осей тела решается тривиально. Если тело вращается по инерции вокруг одной из сво­ бодных осей, то при наличии возмущения это вращение будет искажено. После прекращения возмущения мгновенная ось начнет описывать в теле конус поло­ дии. Если вращение происходило вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментами инерции, а возмущение было мало, то после прекращения послед­ него возникнет конус полодии малого раствора, окружающий эту ось. Двигаясь по нему, мгновенная ось все время будет проходить вблизи свободной оси, вокруг которой было возбуждено первоначальное вращение тела. Это значит, что вра­ щение вокруг такой оси является устойчивым. Напротив, если тело первона­ чально вращалось вокруг оси промежуточного момента инерции, то после воздей­ ствия малого возмущения возникнет конус полодии широкого раствора, окру­ жающий либо ось наибольшего, либо ось наименьшего моментов инерции. Дви­ гаясь по такому конусу, мгновенная ось вращения далеко уйдет от своего исход­ ного направления. Следовательно, вращение вокруг свободной оси с промежуточ­ ным моментом инерции является неустойчивым.

8.Если моменты инерции относительно каких-либо главных осей, например X

иY, совпадают между собой (1Х = 1у), то эллипсоид инерции и конус полодии

Г Л А В А VIII

ТЯГОТЕНИЕ

§55. Законы Кеплера и закон всемирного тяготения

1.В результате длительной обработки многолетних наблюде­ ний датского астронома Тихо Браге (1546—1601) Кеплер (1571—

1)каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;

2)радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;

3)квадраты времен обращений планет относятся как кубы

рим этот вопрос.

Из первого закона Кеплера следует, что траектория планеты — плоская кривая. С учетом этого обстоятельства, как было показано в § 31, из второго закона Кеплера следует, что сила, заставляющая планету двигаться по замкнутым орбитам, направлена к Солнцу. Определим теперь, как эта сила изменяется с изменением расстоя­ ния от Солнца и как она зависит от массы планеты. Для упрощения расчетов допустим сначала, что планета движется не по эллипсу, а по кругу, в центре которого находится Солнце. Для планет Сол­ нечной системы такое допущение не является особенно грубым. Эллипсы, по которым на самом деле движутся планеты, весьма мало отличаются от кругов. Ускорение планеты при равномерном

Для планет, движущихся по круговым траекториям, третий закон

где &£ — постоянная для всех планет Солнечной системы. Она называется постоянной Кеплера. Через параметры эллиптической орбиты постоянная Кеплера выражается формулой

где m — масса планеты.

Мы доказали, что ускорения двух разных планет, обращаю­ щихся вокруг Солнца по круговым орбитам, обратно пропорцио­ нальны квадратам расстояний их от Солнца. Но мы еще не доказали, что такая закономерность справедлива и для одной и той же пла­ неты, обращающейся вокруг Солнца по эллиптической орбите. Чтобы доказать это, надо от рассмотрения круговых движений перейти к исследованию движений по эллипсу. Это будет сделано в следующем параграфе. Но можно обойтись и круговыми движе­ ниями, если использовать добавочное предположение, что сила взаимодействия между Солнцем и планетой зависит только от мгно­ венного расстояния между ними, но не зависит от формы траекто­ рии, по которой движется планета. Тогда формулы (55.2) и (55.3) можно применять не только к разным планетам, обращающимся по круговым орбитам на разных расстояниях от Солнца, но и к раз­ личным положениям одной и той же планеты, движущейся по эллип­ тической траектории.

2. Коэффициент пропорциональности 4я2а%\ входящий в фор­ мулы (55.2) и (55.3), — один и тот же для всех планет, а потому он не может зависеть от массы планеты. Он может, однако, зависеть от параметров, характеризующих Солнце, поскольку последнее является источником сил, заставляющих планеты двигаться по замкнутым орбитам. Но Солнце и планета в их взаимодействии выступают как равноправные тела. Различие между ними только количественное. Они отличаются друг от друга массами. И если