Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

304 ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ. VIII

где G — новая постоянная, уже не зависящая ни от массы Солнца, ни от массы планеты. Сравнивая эту формулу с (55.3), получаем следующее выражение для постоянной Кеплера:

(55.5)

3. Далее, Солнце и планеты отличаются друг от друга и от дру­ гих тел также только количественно — величинами масс. Поэтому естественно предположить, что притяжение существует не только между Солнцем и планетой, но и между планетами, а также между любыми другими телами, и что сила притяжения определяется формулой (55.4), в которой под М и т следует понимать массы взаимодействующих тел. Это предположение было введено Нью­ тоном и подтвердилось на опыте. Он сформулировал закон всемир­ ного тяготения, согласно которому любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Такие силы называются гравитационными

или силами всемирного тяготения. Коэффициент пропорциональ­ ности G, входящий в формулу (55.4), — один и тот же для всех тел. В этом смысле он является универсальной постоянной. Это — одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной.

В приведенной формулировке закона всемирного тяготения предполагается, что взаимодействующие тела являются точеч­ ными. Физически это означает, что размеры тел очень малы по сравнению с расстоянием между ними. Здесь, как и всегда в физике, слова «велик» и «мал» употребляются в относительном смысле — велик или мал по сравнению с чем-то. Указанное условие хорошо выполняется для взаимодействий Солнца с планетами, планет между собой и со спутниками. Но если речь идет о гравитацион­ ном притяжении двух тел с размерами 10 см, когда расстояние между их центрами масс составляет, например, 20 см, то такие тела не могут рассматриваться как точечные. Чтобы рассчитать их гравитационное взаимодействие, надо мысленно разбить каждое тело на очень малые части, подсчитать по формуле (55.4) силы притяжения между такими частями, а затем эти силы геометрически сложить (проинтегрировать). В основе этого вычисления лежит

Пользуясь принципом суперпозиции, легко доказать, что два однородных шара притягиваются между собой так, как если бы

Заметим еще, что каждая планета подвергается гравитацион­ ному притяжению не только Солнца, но и других тел Солнечной системы. Однако масса Солнца является преобладающей. Она более чем в 700 раз превосходит общую массу планет и всех осталь­ ных тел Солнечной системы. Благодаря этому Солнце является основным телом, управляющим движением планет. Законы Кеп­ лера можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона (см. § 62). При таком выводе предполагается, что единственной силой, действующей на планету, является гравитационное притя­ жение Солнца. Поэтому законы Кеплера являются приближенными законами, не учитывающими гравитационное действие остальных тел Солнечной системы.

Рис. 171.

4. Во времена Ньютона закон всемирного тяготения был под­ твержден только астрономическими наблюдениями над движениями планет и их спутников. Впервые непосредственное эксперименталь­ ное доказательство этого закона для земных тел, а также числен­ ное определение гравитационной постоянной G были даны англий­ ским физиком Г. Кавендишем (1731—1810) в 1798 году. Прибор Кавендиша состоял Из легкого горизонтального коромысла (рис. 171, а), на концах которого укреплялись два одинаковых свин­ цовых шарика массы т. Коромысло подвешивалось на тонкой вертикальной нити ab. Вблизи свинцовых шариков т и т помеща­ лись два других больших свинцовых шара массы М каждый,

гравитационному взаимодействию глариков т с шарами М коро­ мысло поворачивалось из положения равновесия. Угол кручения

аизмерялся наблюдением луча света, отражавшегося от зеркальца S. Если г — расстояние между центрами малого и большого шаров, а / — длина коромысла, то момент пары гравитационных сил,

поворачивающий коромысло, будет G Mm I. В положении равно-

весия этот вращающий момент должен быть уравновешен упругим моментом закрученной нити fa. Написав условие равновесия для положения свинцовых шаров сначала в АА (а = ах), а затем в ВВ (а = а2 ), получим два уравнения

Модуль кручения / легко найти, наблюдая период свободных колебаний коромысла

В результате получаем

//•2 / Я

G = -М \ Т, («i-aa)-

5 . Другой метод определения гравитационной постоянной был предложен Жолли (1809—1880) в 1878 году. На одном из плеч рычажных весов одна под другой подвешены две чашки (рис. 172), между которыми уста­ новлено неподвижно тяжелое свинцовое тело массы М правильной геометрической формы.

В этом теле просверлен вертикальный канал, сквозь который свободно проходит прово­ лока, соединяющая обе чашки. Если на верх­ нюю чашку положить тело массы т, то на него будет действовать вниз сила Qx = mg + F, где F — сила гравитационного притяжения

между массами Мит. Она равна F = kG^^-,

Агде г — расстояние между центрами рассмат­ риваемых масс, а k — численный коэффи-

Рис. 172. циент, зависящий от формы тела М. Для тел правильной геометрической формы его можно вычислить теоретически. Для шара k — 1. Если массу т

перенести в нижнее положение, то сила F изменит направление. Сила, действующая вниз, станет Q2 = mg — F. Значения Qx и Q2 определяются по весу гирь, которые надо положить на чашку ве­ сов, подвешенную к другому плечу коромысла, чтобы весы нахо­

§ 55] ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 309

Перейдем к новой переменной р — расстоянию между точечной массой т и какой-

Если точка А лежит вне сферы, то максимальное и минимальное значения р равны соответственно рМакс = R ~т~ г а р м и н = R — г. В этом случае интегриро­ вание дает

Потенциальная энергия такая же, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в одной точке, а именно в центре сферы. То же справедливо и для силы взаимо­

На границе полости выражения (55.6) и (55.7) совпадают. Согласно (55.7) потен­ циальная энергия материальной точки внутри полости не зависит от $, она постоянна. Сила F, действующая на материальную точку в этом случае, равна

ное поле первой сферы не изменится, если всю массу этой сферы сосредоточить в ее центре. Поэтому не изменится и сила, с которой это поле действует на вторую сферу. Задача свелась к нахождению силы, с которой точечная масса действует на сферу.,Но в предыдущей задаче показано, что эта сила не изменится, если и массу второй сферы сконцентрировать в ее центре. Этим и завершается дока­ зательство.

4. Доказать, что два однородных шара притягиваются друг к другу так, как если бы масса каждого шара была сосредоточена в его центре. Доказать также, что если внутри однородного шара имеется сферическая полость, центр которой совпадает с центром шара, то гравитационное поле внутри такой сферы равно нулю. Показать, что эти результаты справедливы и для шаров с концентрически слоистым распределением масс, т. е. таким, когда плотность вещества р в каж­ дом шаре зависит только от расстояния до его центра.

вычисления поля в точке А (рис. 174), лежащей внутри шара на расстоянии г от центра, проведем через эту точку вспомогательную сферу с центром в точке О. Вещество шара, расположенное вне вспомогательной сферы, не влияет на поле внутри нее. В частности, оно не влияет на поле в точке А. Гравитационное поле в точке А создается только веществом, сосредоточенным внутри вспомогательной

обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести веще­ ство шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица веще­ ства удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар пере­ водится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом. Разобьем мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять в бесконечность каждый из таки^с слоев, начиная с самого крайнего. Напряженность поля тяготения

влюбой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению

кэтому слою, равна нулю. Поле создается только веществом, которое окружено

рассматриваемым слоем. Если т — масса этого вещества, a dm — масса слоя,

За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно раз­ розненном состоянии.

Интересны астрофизические применения формулы (55.9). Физиков давно интересовал вопрос об источниках энергии, излучаемой Солнцем и звездами. В прошлом веке Гельмгольц (1821—1894) и Вильям Томсон (1824—1907) выдви­ нули гипотезу, согласно которой Солнце непрерывно сжимается под действием гравитационных сил. Выделяющееся при этом тепло и идет на излучение Солнца. Максимальная энергия, которая может выделиться в процессе гравитационного сжатия Солнца, соответствует начальному состоянию, в котором вещество Солнца

считать, что в конечном состоянии плотность солнечного вещества одинакова по всему его объему. В действительности она, конечно, возрастает к центру Солнца. Однако для оценок наше предположение не является очень грубым. Приняв его,

В настоящее время скорость излучения энергии Солнца составляет 3,86-103 3 эрг/с. Если считать (при грубых оценках это допустимо), что эта скорость была по­

Если воспользоваться распределением плотности вещества, соответствующим принятым в настоящее время моделям Солнца, то время t возрастет примерно до 6-107 лет. Но и эта величина слишком мала. Возраст Земли по геологическим оцен­ кам составляет около 4—4,5- 10е лет. Возраст Солнца не меньше. Это показывает, что гравитационное сжатие является слишком слабым источником, что­ бы покрыть потери энергии Солнца на излучение.

В действительности источником солнечной энергии, равно как и энергии, излучаемой звездами, являют­ ся ядерные реакции, идущие в недрах Солнца и звезд. Конечным итогом этих реакций является превращение водорода в гелий. Следует, однако, заметить, что гравитационное сжатие становится основным источником энергии на более поздних стадиях эволюции звезд (белые карлики, нейтрон­ ные звезды, или пульсары, коллапсары, или «чер­ ные дыры»).

7. В сплошном однородном шаре с плотностью вещества р сделана сферическая полость, центр

которой Ох смещен относительно центра шара О (рис. 175). Найти гравитацион­ ное поле в такой полости.

Р е ш е н и е . Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность ко­ торого равна плотности шара.- Тогда искомое гравитационное поле g предста­ вится разностью гравитационных полей двух сплошных шаров с центрами в О

g - G p r - f - - g - G p r i J = - g - G p / ? ,

где R — радиус-вектор, проведенный из центра шара О к центру полости CV Поле однородно, т. е. во всех точках полости одинаково по величине и направлению.

§ 56. Ускорение планет и комет при движении по коническим сечениям

1. Замена эллиптических орбит круговыми была произведена в предыду­ щем параграфе исключительно в целях упрощения вычислений. Рассмотрим теперь задачу более строго, не прибегая к такому упрощению. Наши вычисле­ ния будут справедливы не только для планет, но и для комет. Последние, как показывают наблюдения, движутся по гиперболам и параболам с фокусом в точке

312 Т Я Г О Т Е Н ИЕ [ГЛ. VIII

нахождения Солнца, причем это движение подчиняется второму закону Кеп­ лера. Третий закон Кеплера для гиперболических и параболических движений, конечно, теряет смысл. Однако для вычисления ускорения планеты или кометы он и не нужен. Действительно, при заданной траектории второй закон Кеплера определяет скорость планеты или кометы на этой траектории. Этого достаточно, чтобы полностью описать движение тела, т. е. указать его положение и скорость в любой момент времени. Зная это, можно вычислить ускорение тела в любой точке траектории. Приведем это элементарное вычисление.

2. Введем полярную систему координат с полюсом в фокусе F\, где находится Солнце, и полярной осью РА, направленной вдоль большой оси эллипса или гиперболы (рис. 176). Ускорение движущегося тела разложим на радиальную

ние рассматриваемого небесного тела не имеет азимутальной составляющей, т. е.

Производная ф определяется формулой (56.2). Для вычисления производной /•'вос­

где р и е — постоянные величины, из которых первая называется параметром эллипса, а вторая—его эксцентриситетом. Не нарушая общности, обе эти вели­ чины можно считать неотрицательными. Для эллипса е < 1, для параболы е = 1, для гиперболы е > 1. В предельных случаях е = 0 и е ~ оо получаются круг и прямая линия. Дифференцируя уравнение (56.3) по времени, получим

t (1 — е cos ф) + е/-ф sin ф = 0,

или после умножения на г с учетом соотношений (56.2) и (56.3) pt + 2еа sin ф = 0.

Вторичное дифференцирование дает

рг + 2сте cos ф • ф = 0.

2а Подставляя сюда Ф = — , есовф

После этого из первой формулы (56.1) находим

4а2

(56.4)

Таким образом, из первых двух законов Кеплера вытекает, что ускорение планеты или кометы обратно пропорционально квадрату ее расстояния от Солнца.

3. Третий закон Кеплера позволяет доказать, что коэффициент пропорцио­ нальности 4а2 /р — один и тот же для всех планет. Докажем это. Площадь эллипса равна nab, где а и b — длины большой и малой полуосей его. Так как секториаль­ ная скорость а постоянна, то 0 = nab/T, где Т — период обращения планеты по

ее орбите. Воспользуемся еще формулой аналитической геометрии р — Ьг/а. Тогда из (56.4) получим

Этот результат совпадает с прежней формулой (55.2), но при его выводе здесь были использованы только эмпирические законы Кеплера без привлечения каких бы то ни было дополнительных соображений. Таким образом, формула (55.2)

4. Движение по параболе можно рассматривать как предельный случай движения по эллипсу, один из фокусов которого удален в бесконечность. Движе­ ние по гиперболе нуждается, однако, в некоторых пояснениях.

Гипербола состоит из двух не связанных между собою ветвей. Чтобы обе ветви представлялись единым уравнением (56.3), надо допустить, чтобы расстоя­ ние г могло принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Пусть •& — угол, определяемый условием cos 0 = Me. Он определяет направления

Конечно, движущаяся точка не может перескочить с одной ветви гиперболы на другую. Если на нее действует сила притяжения, то траектория должна быть обращена вогнутостью к силовому центру. Например, если силовой центр (Солнце) находится в фокусе Flt то возможно движение только по правой ветви гиперболы. Однако чтобы подметить общие закономерности движений по коническим сече­ ниям, а не только по эллипсам, имеет смысл чисто формально ввести вспомога­ тельную материальную точку, движущуюся по левой ветви гиперболы под дей­ ствием силы отталкивания, исходящей из того же силового центра Ft. Потенци­ альная энергия вспомогательной точки представляется выражением U =