Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

ных радиусов. Это сказывается на величине приливообразующей силы Луны. Для Луны отношение fig меняется в пределах от 7,2-10~8 (в апогее) до 10~7 (в пери­ гее). Конечно, приведенные формулы полностью справедливы и для приливообразующих сил, вызываемых Солнцем. В этом случае //g' = 3,8- Ю-*, т.е. в 2V4 раза меньше, чем для Луны при ее среднем удалении от Земли. Величина приливообразующей силы Солнца меняется в течение года примерно на 10%.

5. Приведенные результаты показывают, насколько ничтожны приливообразующие силы по сравнению с обычной силой тяжести на Земле. То обстоятельство, что эти силы вызывают такое грандиозное явление природы, как приливы и отливы, связано с тем, что они не постоянны, а периодически меняются во времени. Если бы приливообразующие силы менялись от точки к точке на земной поверхности, но оставались постоянными во времени, то они лишь слегка изменили бы равновес­ ную форму свободной поверхности воды в океане. Но эта форма не менялась бы с течением времени, т. е. не было бы никаких приливов и отливов. В действительности, как показывают формулы (69.3), (69.4), (69.5), в каждой точке земного шара остается неизменной лишь величина приливообразующей силы, но не ее направ­ ление. Обе составляющие приливообразующей силы /„ и / г в каждой точке земного шара периодически меняются во времени из-за суточных изменений зенитного расстояния Луны Отвлекаясь от второстепенных обстоятельств, можно поло­ жить # = ш/, где со — угловая скорость осевого вращения Земли (относительно прямой Земля — Луна). Поэтому fB ~ cos 2со/, fr ~ sin 2со/. Когда сила/в про­ ходит через максимум, сила fr обращается в нуль и наоборот. Это вызывает перио­ дические изменения направления отвеса в каждой точке земного шара, что и является непосредственной причиной приливов и отливов.

6. Теперь мы должны обратиться ко второй части задачи о приливах, а именно определить воздействие заданных приливообразующих сил на воду в океане. Первая — статическая — теория приливов была разработана Ньютоном. Эта теория определяла мгновенную форму свободной поверхности океана, как если бы приливообразующие силы были постоянными, т. е. не менялись во времени. Согласно законам гидростатики свободная поверхность жидкости в состоянии равновесия в каждой точке перпендикулярна к (постоянным) действующим силам. Отсюда следует, что вдоль свободной поверхности жидкости потенциал всех дей­ ствующих сил ф не должен меняться. Очевидно, ф = ф0 + фПр> г Д е Фо — потен­ циал всех сил, определяющих ускорение свободного падения g в отсутствие при­ ливообразующих сил. Таким образом, по статической теории приливов уравнение

По этой формуле находим для амплитуды лунных приливов Н = 0,55 м, а для амплитуды солнечных приливов Н — 0,24 м. Таким образом, по статической

§ 69] ПРИЛИВЫ 365

теории картина приливов и отливов должна соответствовать рис. 192, а, а не рис. 192, б. В этом основной недостаток статической теории приливов.

7. Правильная полная теория приливов должна быть динамической. Надо определить вынужденное движение воды в океане под действием заданных перемен­ ных приливообразующих сил. Важный принципиальный момент, который должна учесть теория, состоит в том, что вода в океане представляет собой механическую систему, которой подобно маятнику свойственны определенные собственные частоты свободных колебаний. Чтобы простейшим образом пояснить суть дела, вообразим вместе с Эйри, что на Земле вдоль ее экватора прорыт канал постоянной глубины, заполненный водой и опоясывающий весь земной шар. Если в какомлибо месте канала возникло возмущение, то оно будет распространяться вдоль него с определенной скоростью. Пренебрежем силами трения, действующими в жидкости. В этом случае, как доказывается в гидродинамике, скорость рас­ пространения длинноволновых возмущений (т. е. таких возмущений, длины волн которых очень велики по сравнению с глубиной канала К) определяется формулой и = Vgh. Возьмем в качестве h среднюю глубину воды в океане (А = 3,5 км). Тогда нетрудно подсчитать, что возмущение обежит вокруг Земли за 60 часов.

(рис. 192, а, б). По истечении 30 часов горб А перейдет в положение В, а горб В •— в положение Л, и первоначальная форма поверхности воды в канале восстановится.

элементарной теории колебаний известно, что в этом случае (при отсутствии сил трения) внешняя сила и возбужденные ею вынужденные колебания находятся в про­ тивоположных фазах. Наоборот, при Т0 < Т колебания совершаются в одинако­ вых фазах. Так, если привести в колебания точку подвеса А математического маят­ ника, то шарик маятника С также придет в колебание (рис. 192, в, г). При малых частотах колебаний точки подвеса она и шарик в каждый момент времени будут двигаться в одинаковых, при больших — в противоположных направлениях. Поскольку в разбираемом нами вопросе Т0 > Т, картина приливов должна соот­ ветствовать рис. 192, б, а не рис. 192, а. Статическая теория приливов качест­ венно верно описывала бы явление приливов, если бы было Тв < Т. Но для этого нужно, как нетрудно подсчитать, чтобы глубина h превышала ~ 20 км.

8. Солнечные приливы' накладываются на приливы лунные. Если при этом наложении они усиливают друг друга, то приливы получаются особенно сильными. Это происходит тогда, когда Солнце и Луна находятся на одной прямой с Землей, т. е. в полнолуние и новолуние. Наступающие тогда приливы называются боль­ шими (сизигийными) приливами. Наоборот, когда Луна находится в первой или последней четверти, лунный прилив ослабляется солнечным. Тогда говорят о малом, или квадратурном, приливе.

Полная теория приливов, отвечающая всем требованиям практики, еще не создана. Это и понятно. На характере приливов существенно сказывается сложный рельеф дна океанов и морей, наличие материков и островов, очер­ тания берегов, трение, морские течения и ветры, деформации самой Земли под действием приливообразующих сил и множество других трудно учитываемых факторов.

На открытых островах в океане амплитуда прилива в полнолуние и новолуние обычно бывает ~ 1 м. Это находится в согласии с тем, что дает статическая теория приливов. У берегов океана амплитуда приливов обычно ~ 2 м. Мест с амплитудой в 3 м уже немного, а с амплитудой более 6 м очень мало. Все они находятся либо в узких проливах, либо в глубине длинных заливов. Наиболее значительные приливы наблюдаются в заливе Фунди, на восточном берегу Канады. Этот залив расположен между материком и полуостровом Новая Шотландия. Амплитуда от 4 м при входе нарастает до 12—16 м в глубине залива. Во время сизигийных приливов здесь наблюдались амплитуды свыше 20 м.

добавку в действующую силу во всех точках земной поверхности. Эту добавку можно включить в g. К образованию приливов она не имеет отношения. С уче­

§70. Гравитационная масса и обобщенный закон Галилея

1.Понятие массы было введено нами с помощью закона сохране­ ния импульса. В основе этого понятия лежат инерционные свойства тел. Поэтому так определенную массу называют инертной массой

ииногда обозначают посредством т( '*. Однако тела обладают не только свойствами инерции, но и способностью возбуждать в окру­

жающем пространстве гравитационные поля. В этом отношении они аналогичны электрически заряженным телам, создающим вокруг себя электрическое поле. Инерция тел и их способность возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля не должны апри­ ори рассматриваться как взаимосвязанные и тем более тождествен­ ные свойства тел. Можно думать, что тела являются источниками гравитационных полей не потому, что они обладают инертными мас­ сами, а потому, что они несут особые заряды, аналогичные электри­ ческим зарядам. Такие заряды называются гравитационными зарядами или гравитационными массами. Силы взаимодействия

§ 70] ГРАВИТАЦИОННАЯ МАССА И ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГАЛИЛЕЯ 367

гравитационных масс, как показывает опыт, изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для количест­ венного определения гравитационных масс можно поступить так же, как поступают с электрическими зарядами в электростатике. Именно, обозначим гравитационные массы взаимодействующих точечных тел посредством m<f> и m<f>. Тогда для силы их гравитационного притя­ жения можно написать

где С — численный коэффициент, зависящий только от выбора единиц. Этому коэффициенту можно приписать произвольную раз­ мерность и произвольное численное значение. Тогда, считая еди­ ницы для г и F установленными, мы установим также единицу гравитационной массы и ее размерность, а формула (70.1) даст принципиальный способ измерения гравитационных масс.

Пропорциональность силы гравитационного взаимодействия тел их гравитационным массам не является физическим законом. Мы так вводим понятие гравитационной массы, что указанная пропорцио­ нальность соблюдается по определению. Физический закон, установ­ ленный Ньютоном, состоит в том, что сила гравитационного взаимо­ действия тел пропорциональна их инертным массам. Отсюда следует, что инертная масса тела пропорциональна его гравитационной массе. Единицы этих масс можно выбрать так, чтобы они были не только пропорциональны, но и численно равны между собой. По­ этому этот фундаментальный физический закон называется законом равенства, или эквивалентности, инертной и гравитационной масс.

Посмотрим, каковы его опытные основания и физические следствия.

мы рассматриваем движение относительно инерциальной системы отсчета и поэтому не вводим никаких сил инерции. Все силы явля­ ются «реальными» в ньютоновском смысле. В частности, сила тя­ жести F в нашем теперешнем рассмотрении есть сила только грави­

Так как инертная и гравитационная массы равны, то а = g. Все тела в поле тяжести Земли падают с одним и тем же ускорением. Этот экспериментальный факт, установленный впервые Галилеем,

368 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. IX

является подтверждением закона о равенстве инертной и гравита­ ционной масс. Он справедлив и для любого гравитационного поля.

В одном и том же гравитационном поле все тела при свободном паде­ нии приобретают одинаковое ускорение. Этим положением под назва­ нием обобщенного закона Галилея мы широко пользовались, начи­ ная с § 65. Мы видим, что обобщенный закон Галилея по своему содер­ жанию совершенно эквивалентен принципу равенства инертной и гравитационной масс.

Опыты Галилея имели малую точность. Значительно большей точности достигли Ньютон, а затем Бессель (1784—1846) в опытах с колебаниями маятника. Для периода малых колебаний математи­ ческого маятника мы вывели формулу

(70.3)

Если бы инертная и гравитационная массы не были равны между собой, то в этой формуле величину g следовало бы заменить на ускорение а, определяемое выражением (70.2). Тогда мы получили бы

(70.4)

Только при m{i) = m{g) формула (70.4) переходит в формулу (70.3). В опытах Ньютона и Бесселя было установлено, что период коле­ баний математического маятника не зависит от материала, из кото­ рого он изготовлен. Это подтверждает закон равенства инертной и гравитационной масс. Относительная точность, с какой это равен­ ство было установлено в опытах Бесселя, составляет 1/60 000.

3. Однако рекордными по точности долгое время оставались исследования венгерского физика Этвеша (1848—1919), начатые в 1887 году и продолжавшиеся до конца его жизни. Этвеш установил равенство инертной и гравитационной масс с относительной точ­ ностью 5 • 109 . По сравнению с опытами Ньютона точность была повышена примерно в сто тысяч, а по сравнению с опытами Бесселя— более чем в десять тысяч раз. Идея опытов Этвеша заключается в следующем. Вес тела складывается из двух различных сил: силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции. Первая сила пропорциональна гравитационной массе, вторая равна т ( 0 со 2 г [, т. е. пропорциональна инертной массе тиК Если бы инертная и гравитационная массы не были строго пропорциональны друг другу, то направление отвеса зависело бы от материала тела. Опыты Этвеша имели целью обнаружение этого эффекта. С указан­ ной выше точностью они привели к отрицательному результату, что является доказательством справедливости закона равенства инерт­ ной и гравитационной масс. Чтобы достигнуть такой точности, надо было оценивать изменения направления отвеса в 1,5-10~6 дуговой

секунды. Под таким углом был бы виден земному наблюдателю пред­ мет в 3 мм, лежащий на поверхности Луны. Такой точности Этвешу и его сотрудникам удалось достигнуть при помощи крутильных весов и гравитационных вариометров. Хотя основные опыты были выполнены с гравитационными вариометрами, но мы опишем (ко­ нечно, схематически) опыты с крутильными весами, так как в идей­ ном отношении они более просты.

На длинной тонкой нити подвешивался стержень, к концам которого можно было прикреплять грузы / и 2 (рис. 194, б), изго­ товленные из различных материалов, например из платины и меди.

Рис. 194.

Стержень устанавливался перпендикулярно к меридиану рассмат­ риваемого места. Пусть g означает напряженность земного грави­ тационного поля, т. е. силу, с которой это поле действует на единицу гравитационной массы. На груз будут действовать две силы: грави­ тационная m{g)g и центробежная m^coV^. Последняя имеет вер­ тикальную составляющую m( , ) co2 r^ cos г> (рис. 194, а), где т> — гео­ графическая широта рассматриваемого места. Поэтому если стер­ жень (рычаг) — равноплечий, то одно из условий равновесия грузов будет

бежные силы, действующие на грузы, а с ними и их горизонтальные

370 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. IX

составляющие, направленные к югу (рис. 194, б и в), не были бы одинаковыми. Поэтому появился бы вращающий момент

тельному результату, т. е. он показал, что Ф = 0, каковы бы ни были материалы, из которых изготовлены грузы. Следовательно, а х = а2, что и доказывает равенство инертной и гравитационной масс.

4. Одним из фундаментальных следствий теории относитель­ ности является связь между энергией и массой Е = тс2. Здесь т означает инертную массу. Таким образом, всякая энергия обладает инертной массой. Закон эквивалентности инертной и гравитацион­ ной масс позволяет распространить это утверждение и на гравита­ ционную массу. Всякая энергия должна обладать также и гравита­ ционной массой. Высокая чувствительность опыта Этвеша позволила подвергнуть это заключение экспериментальной проверке. С этой целью Саузернс повторил опыт Этвеша с радиоактивными веществами. Опыт дал тот же результат: никакого различия между гравитаци­ онной и инертной массами обнаружено не было. Так как при радио­ активных превращениях энергия и инертная массы уменьшаются, то отсюда следует, что пропорционально уменьшается также и гра­ витационная масса. Таким образом, равенство инертной и гравита­ ционной масс все время соблюдается.

5 . Опыт Этвеша в усовершенствованном виде был повторен амери­ канским физиком Р. Дикке и его сотрудниками в 1961—1964 годах. Им удалось повысить точность результатов Этвеша более чем в 100 раз. Сравнивались грузы из меди и свинца, из золота и алюминия. С относительной точностью 3 • Ю- 1 1 авторы констатировали равенство коэффициентов пропорциональности между гравитационной и инерт­ ной массами для этих материалов.

В идейном отношении опыт Дикке проще опыта Этвеша. В опыте Этвеша речь шла об эффектах, определяющихся совокупным дей­ ствием гравитационного притяжения Земли и сил инерции, возни­ кающих из-за ее осевого вращения. В опытах Дикке вместо Земли использовалось Солнце. Сравниваемые грузы / и 2 по-прежнему закреплялись на концах прямолинейного коромысла, подвешенного на тонкой нити (рис. 195, а). Для максимального уменьшения влия­ ния посторонних возмущающих факторов это устройство помещалось в сосуд с высоким вакуумом. Прибор устанавливался в глубокой термостатированной шахте, удаленной от зданий. После установки

§ 70] ГРАВИТАЦИОННАЯ МАССА И ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГАЛИЛЕЯ 371

прибора шахта запечатывалась, а прибор контролировался дистан­ ционно из удаленной приборной будки на протяжении нескольких месяцев подряд.

Сила гравитационного притяжения Земли и центробежная сила, возникающая из-за вращения Земли вокруг своего центра, в опытах Дикке принципиальной роли не играют. От этих сил можно от­ влечься. Они в рассматриваемой точке земного шара постоянны и определяют лишь положение равновесия, в котором стремится установиться коромысло. Для опыта имеют значение сила гравита­ ционного притяжения Солнца и поступательная сила инерции, связанная с ускоренным движением центра Земли по направлению

к Солнцу (влиянием Луны можно пренебречь). Обозначим это уско­ рение а. По самому определению гравитационной массы сила гра­ витационного притяжения Солнца, отнесенная к единице такой массы, для всех тел одна и та же. Это есть напряженность гравита­ ционного поля Солнца, зависящая только от самого Солнца. Обо­ значим ее g. Но если бы нарушался закон эквивалентности инертной и гравитационной масс, то сила гравитационного притяжения Солн­ ца, отнесенная к единице инертной массы, была бы разной для раз­ личных тел. В этом случае возник бы вращающий момент, стремя­ щийся закрутить нить, на которой подвешено коромысло. Если hx и h2 — плечи коромысла, а последнее подвешено за центр масс С (рис. 195, а), то вращающий момент относительно точки С будет

М = (tnfig — m}')fl) ht + (mfa — mfg) \ .

По определению центра масс (точнее, следовало бы сказать центра инертных масс) т^Нх = тЩ2. Поэтому, используя ранее введенные обозначения ах и а2, получим

М = tn(li)hlgal — m^hjia^ = m^h^ (о^ — а 2 ) ,

Плечи коромысла периодически меняются из-за видимого движения Солнца по небесному своду. Поэтому момент М также будет перио-

дически изменяться и притом с периодом в одни сутки. В результате возникли бы вынужденные колебания коромысла с таким же перио­ дом, которые можно было бы обнаружить с помощью чувствительной аппаратуры. На фоне неизбежных случайных толчков, которым под­ вержена система, такие колебания обнаружены не. были. Отсюда следует, что в пределах ошибок измерений а х = а2 , т. е. соблюдается закон эквивалентности.

6. Опыт Дикке был повторен в усовершенствованном виде В. Б. Брагинским и В. И. Пановым в 1971 году. Вместо одного коромысла применялся крутильный маятник, эквивалентный четы­ рем коромыслам, соединенным вместе, как указано на рис. 195, б. Точность опыта была повышена примерно еще в 30 раз. Сравни­ вались платина и алюминий. Равенство коэффициентов пропорцио­ нальности между гравитационной и инертной массами для этих веществ было подтверждено с относительной точностью Ю- 1 2 . Это то же самое, как если бы мы взвесили корабль водоизмещением в десять тысяч тонн вместе с грузом с точностью до одной сотой грамма.

7. Дорелятивистская физика не придавала существенного зна­ чения равенству инертной и гравитационной масс, рассматривая это равенство как случайное совпадение. Основополагающее значение закона эквивалентности инертной и гравитационной масс было понято Эйнштейном. Закон эквивалентности послужил для Эйн­ штейна отправным пунктом при построении общей теории относи­ тельности, называемой иначе релятивистской теорией гравитации.

Этот закон является главным опытным фактом, на котором основана общая теория относительности. Последняя была бы неверна и от нее следовало бы отказаться, если бы было обнаружено малейшее нарушение закона эквивалентности инертной и гравитационной масс. Вот почему повышение и без того исключительной точности, с которой проверяется этот закон, имеет важное принципиальное значение, а не является просто спортивным увлечением с целью побития рекорда и установления нового.

§71. Принцип эквивалентности гравитационных сил

исил инерции

1.Мы уже неоднократно отмечали, что все тела, независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета. Иначе говоря, указанным свойством обладают также силы инерции. Эта аналогия между силами тяготения и си­ лами инерции явилась отправной точкой при построении общей

теории относительности, или релятивистской теории гравитации, Эйнштейна.

Рассмотрим по примеру Эйнштейна, что происходит в движу­ щемся лифте. Допустим сначала, что лифт неподвижно висит на тросе или движется равномерно относительно Земли. Все тела в лифте подвергаются действию земного поля тяготения. Пассажир в лифте ощущает вес собственного тела, оказывает давление на пол лифта, подвергается со стороны пола равному и противоположно направ­ ленному противодавлению. Груз, подвешенный на пружине, рас­ тягивает ее силою своего веса. Все тела, предоставленные самим себе, свободно падают относительно лифта с одним и тем же уско­ рением g И т. д.

Вообразим теперь, что лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он практически не подвергается с их стороны никаким гравитационным воздействиям. Пусть кто-то тянет за трос лифта, сообщая последнему постоянное ускорение а — — g. Грави­ тационного поля в лифте нет, зато есть сила инерции —та = mg. Под действием таких сил все тела в лифте, если их ничем не удер­ живать, начнут «падать» с прежним ускорением g. Груз, подвешен­ ный на пружине, растянет ее, как если бы он обладал весом mg. Пассажир в лифте будет оказывать на пол такое же давление, как и в предыдущем случае. Короче говоря, все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвиж­ ном лифте, висящем в поле тяжести. Эйнштейн распространил это утверждение не только на механические, но и на любые физические

«механического» явления лежит громадное множество разнообразных других явлений, относящихся к различным разделам физики. Так, столкновение бильярдных шаров обычно рассматривают как типично механическое явление. Но существование самих шаров и их внутренняя структура определяются квантовыми законами, а упругие силы, развивающиеся во время столкновения, сводятся к силам электростатического взаимодействия заряженных частиц, из которых построены тела.

Итак, все физические явления в равномерно ускоренном лифте будут происходить в точности так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Между тем дорелятивистская физика рассматривала оба случая как существенно разные. В первом

есть силы инерции, так как лифт является неинерциальной систе­ мой отсчета.