Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

сил давления Р эти силы отличаются тем, что они также опреде­ ляются не степенью сжатия жидкости, а скоростью изменения сжа­ тия во времени. Эти силы играют существенную роль в быстрых процессах, например при распространении предельно коротких ультразвуковых волн (длина которых приближается к молекуляр­ ным размерам и межмолекулярным расстояниям). В предельном случае, когда скорость изменения деформаций в жидкости стремится к нулю, в ней исчезают все силы внутреннего трения, как сдвиго­ вые, так и обусловленные сжатием. Жидкость, в которой при лю­ бых движениях не возникают силы внутреннего трения (как каса­ тельные, так и нормальные), называется идеальной. Иными словами, идеальной называют жидкость, в которой могут существовать только силы нормального давления Р, однозначно определяемого степенью сжатия и температурой жидкости. Такие силы могут быть вычис­ лены с помощью уравнения состояния жидкости (89.4) не только тогда, когда жидкость покоится, но и тогда, когда она движется

ся, когда скорости изменения деформаций в жидкости не очень велики.

7. Если к жидкости приложить касательные напряжения, то возникнет движение. Оно в конце концов прекращается и переходит в состояние покоя, в котором касательные напряжения отсутствуют. Скорости изменения деформаций жидкости могут меняться в широ­ ких пределах. Для таких жидкостей, как вода или спирт, эти изменения происходят весьма быстро; для очень вязких жидкостей, как мед или патока, — весьма медленно. Наконец, есть вещества, которые при быстрых воздействиях на них ведут себя, как твердые тела, а при медленных — как очень вязкие жидкости. Сюда от­ носятся так называемые аморфные твердые тела. Например, кусок сапожного вара или асфальта разбивается на мелкие части, если его ударить молотком. На асфальте можно стоять и по нему можно ходить. Но асфальт вытекает из бочки в течение недель или меся­ цев. Скорость вытекания сильно увеличивается с температурой. Стеклянная палочка, положенная своими концами на две опоры, прогибается, если подождать достаточно длительное время (месяцы или годы), причем ее прогиб не исчезает по прекращении действия силы тяжести. Эти примеры показывают, что нельзя провести рез­ кое разграничение между жидкостями и аморфными твердыми телами. Истинно твердыми телами являются только кристаллы. Впрочем, говоря о жидкостях, мы будем всегда иметь в виду жидкости, не обладающие аномально большой вязкостью, когда отличие их от аморфных твердых тел выступает вполне от­ четливо.

енту Р, взятому с противоположным знаком. Мы видим, что сила s

обусловлена не величиной давления Р, а его пространственными изменениями. Величина Р также существенна. Она определяет степень сжатия жидкости в рассматриваемой точке пространства.

3. В состоянии равновесия сила s должна уравновешиваться массовой силой / . Это приводит к уравнению

Можно написать и основное уравнение гидродинамики иде­ альной жидкости. В этом случае формула (90.3) также применима,

4. Уравнение (90.5) показывает, что при равновесии жидкости сила f (точнее, плотность силы или сила, действующая на единицу

стенкой сосуда наложим электрическое напряжение в несколько вольт. В элек­ тролите вдоль радиусов цилиндра потечет электрический ток. С и л а / = С [jB] будет направлена по касательным к окружностям с центрами на оси цилиндра. Она вызовет вращение жидкости вокруг указанной оси. Вращение будет ускорять­ ся до тех пор, пока силы, действующие со стороны магнитного поля, не урав­ новесятся силами внутреннего и внешнего трения.

448 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. XII

при равновесии давление Р одно и то же по всему объему жидкости.

Из них следует, что при механическом равновесии давление не может зависеть от х и у. Оно должно оставаться постоянным в каж­ дой горизонтальной плоскости г = const. Горизонтальные пло­ скости суть плоскости равного давления. В частности, свободная поверхность жидкости горизонтальна, поскольку она находится под постоянным давлением атмосферы. Таким образом, при меха­ ническом равновесии давление может зависеть лишь от координаты г. Из третьего уравнения (91.1) следует поэтому, что для механи­ ческого равновесия необходимо, чтобы произведение pg было функцией только г. Так как g не зависит от х и у (зависимостью g

той. В силу уравнения состояния (89.4) давлением Р и плотностью р определяется температура жидкости Т. Итак, при механическом равновесии давление, температура и плотность жидкости являются функциями только г и не могут зависеть от х и у.

2. Допустим теперь, что жидкость однородна и ее можно рас­ сматривать как несжимаемую (р = const). Кроме того, будем счи­ тать постоянным ускорение силы тяжести g, пренебрегая его зави­ симостью от высоты г. Тогда легко интегрируется и последнее уравнение системы (91.1). В результате такого интегрирования получим

охватывает всю гидростатику, излагаемую в школьных курсах физики.

3. Остановимся теперь на законе Архимеда (ок. 287—212 г, до н. э.) и связанных с ним вопросах. Выделим мысленно из жид­ кости произвольный объем, ограниченный замкнутой поверхностью. 5 (рис. 232). Если жидкость находится в механическом равнове-

§ 91] ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 4 4 9

сии, то, разумеется, должен находиться в равновесии и выделенный объем. Поэтому должны обращаться в нуль равнодействующая и момент всех внешних сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Внешние силы — это вес Q выделенного объемажидкости и давление на поверхность S со стороны окружающей жидкости. Значит, равнодействующая F сил гидростатического давления, действующих на поверхность S, должна равняться Q — весу жидкости в объеме, ограниченном поверхностью 5. Эта рав­ нодействующая должна быть направлена вверх и проходить через центр масс А выделенного объема жидкости, чтобы полный момент внешних сил, действующих на него, был равен нулю. Допустим

будем называть центром плавучести тела. Ее положением, как будет показано ниже, определяются равновесие и устойчивость плавающего тела.

4. С помощью закона Архимеда решается вопрос о равновесии тел, плавающих в жидкости. Для равновесия необходимо, чтобы вес тела был равен весу вытесненной им жидкости, а центр пла­ вучести А лежал на одной вертикали с центром масс самого тела.

Что касается устойчивости равновесия, то при решении этого вопроса надо различать два случая.

Сл у ч а й 1. Плавающее тело погружено в жидкость целиком.

Вэтом случае при любых смещениях и поворотах тела его центр масс С и центр плавучести А сохраняют свое положение относи­ тельно тела. Равновесие устойчиво, если центр масс тела С лежит ниже его центра плавучести А, и неустойчиво, если он лежит выше А..

Действительно, если тело слегка повернуть относительно положе­ ния равновесия вокруг горизонтальной оси, то в обоих случаях момент пары сил Q и F будет стремиться опустить точку С и под­ нять точку А (рис. 233). В результате этого тело приходит в поло­ жение устойчивого равновесия, в котором точка С расположена ниже точки А.

С л у ч а й 2. Плавающее тело погружено в жидкость не цели­ ком, а частично выступает над ее свободной поверхностью. По срав­ нению с предыдущим этот случай является более сложным, так как при смещении тела из положения равновесия меняется форма вытесняемого им объема жидкости. Вследствие этого положение центра плавучести относительно плавающего тела изменяется, что и усложняет исследование. Рассматриваемый случай представляет

М

АХ

ния. В этом случае равновесие неустойчиво. Расстояние h между

Величина h сама зависит от ф, так как при изменении наклона ф меняется и положение метацентра относительно корабля. Найдем это положение и вычислим метацентрическую высоту h в предель­ ном случае бесконечно малых углов наклона ф.

Так как выталкивающая сила проходит через точку Л' и на­ правлена вертикально вверх, то ее момент относительно точки А будет N = Q -AM sin ф или (при малых ф) N = Q (h + а) ф, где а — расстояние между центром масс корабля С и его центром плаву­ чести в положении равновесия. Величина а считается положитель­ ной, если точка С лежит выше А, и отрицательной, если она лежит

не даст момента относительно центра плавучести Л, и вычисления упростятся. Тогда полный момент N будет создаваться только составляющей Fr Понятно, что момент этой составляющей будет одним и тем же относительно всех точек, лежащих на оси AM. Из изложенного следует, что величину N = Q (h + а) ф можно рас­ сматривать как момент выталкивающих сил давления относительно произвольной точки оси AM, если из этих сил вычесть их состав­ ляющие, перпендикулярные к той же оси. Поэтому момент N можно вычислить иначе. Если корабль наклонен на угол ф, то выталки­ вающие силы давления с правой стороны увеличатся, а с левой — уменьшатся. При этом мы имеем в виду не полные силы, а только их

5 . Рассмотрим теперь жидкость в сосуде, равномерно враща­ ющемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со. Будем предполагать, что жидкость вращается вместе с сосудом, а сам сосуд обладает осевой симметрией, например имеет цилиндриче­ скую форму. Эта задача сводится к статической, если перейти во вращающуюся систему отсчета, в которой жидкость покоится. Теперь в уравнении (90.5) / слагается из силы тяжести pg и цен­ тробежной силы pwV, где г — радиус-вектор, проведенный от оси вращения к рассматриваемой точке и перпендикулярный оси. Если поместить начало координат на оси вращения так, чтобы ось 2 совпала с осью вращения, то уравнения (90.6) примут вид

щенный своей выпуклостью вниз. Если начало координат поме­ стить в вершину параболоида, то постоянная Р 0 будет иметь смысл наружного атмосферного давления. Уравнение свободной поверх­ ности жидкости будет V2 со2 (х2 + у2) = gz.

Конечно, рассмотренную задачу можно трактовать и как чисто динамическую. Если жидкость вращается как целое, то при таком движении в ней не возникают силы внутреннего трения. Единственные поверхностные силы, действующие в жидкости, сводятся к силам нормального давления. Поэтому в этом случае можно пользоваться уравнением Эйлера (90.7) независимо от того, является ли

сводится к центростремительному ускорению —coV. Поэтому, полагая в уравне­ нии (90.7) / = pg, получим

— p(£>2r = pg—grad Р,

а это векторное уравнение эквивалентно трем уравнениям в проекциях (91.5).

Если сосуд имеет плоское дно, то для определения давления на дно надо в формуле (91. 6а) положить z = — h, где h — высота

Давление в центре, таким образом, минимально и монотонно воз­ растает к краям. С этим связано, например, следующее явление.

§ 91] ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 453

Если чайной ложкой привести во вращение воду в стакане, то после прекращения помешивания чаинки и песчинки, имеющиеся в ней, собираются в центре дна. Дело в том, что эти частицы тяже­ лее воды и опускаются на дно. Здесь их вращение замедляется благодаря силам трения о дно стакана, и под влиянием разности гидростатических давлений частицы перемещаются к центру дна.

Вычислим теперь полную силу давления жидкости на дно со­ суда. С этой целью воспользуемся уравнением свободной поверх­

где V — объем жидкости в сосуде. Как и следовало ожидать, пол­ ная сила давления равна весу этого объема жидкости.

ЗА Д А Ч И

1.Жидкость налита в сосуд, имеющий форму прямоугольного параллеле­ пипеда. Вычислить момент сил гидростатического давления, действующих на боко­ вую стенку сосуда, относительно ее нижнего основания.

на поверхность погруженного тела и их моментов убедиться в справедливости закона Архимеда.

Р е ш е н и е . Мысленно разобьем погруженное тело на бесконечно тонкие вертикальные столбики (рис. 236). Допустим для простоты, что каждый столбик