Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

то касательное напряжение имело бы то же направление и было

ложения о линейной однородной зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформаций жидкости. Отсюда же

Рассуждая аналогично, найдем выражения и для всех остальных касательных напряжений, действующих на гранях параллелепи­ педа ABCD. Именно

Если жидкость несжимаема, то этих выражений достаточно для

5. Рассмотрим частный случай, когда вязкая жидкость вращается вокруг неподвижной оси с угло­ вой скоростью о). Линии тока имеют форму окружно­ стей. Пусть АВ — бесконечно малый участок линии тока длины г dtp (рис. 259). Касательное напряжение на цилиндрической поверхности, на которой лежит этот участок, очевидно, направлено в сторону вра­ щения. Его следует обозначить посредством xrv. Пер­ вый индекс г указывает направление внешней нормали

к цилиндрической поверхности, второй индекс ф — положительное направление касательного напряжения. В рассматриваемом случае роль dy играет dr, роль dx — длина дуги АВ = г d<f. Поэтому из (96.4) для касательного напряжения xrtf получаем

решая которые находим

и далее

Момент сил вязкости, действующих на внутренний цилиндр, равен

Формула (96.9) лежит в основе практического метода измерения коэффи­ циентов вязкости жидкостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в ис­ следуемой жидкости в вертикальном положении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью й 2 = Q. Измеряется угол закручивания нити ф, при котором внутренний цилиндр находится в рав­ новесии. Это будет тогда, когда момент вязких напряжений М уравновешивается моментом закрученной нити /ф, где / — модуль кручения. Коэффициент вязкости рассчитывается по формуле

ЗА Д А Ч И

1.Введя локальную систему координат с началом в рассматриваемой точке пространства, убедиться непосредственным дифференцированием, что формула

Эту формулу можно также получить, рассматривая слой жидкости между ци­ линдрами как плоскопараллельный и используя формулу (96.2). Это рекомен­ дуется сделать читателю,

§ 97. Стационарное течение жидкости по прямолинейной

трубе. Формула Пуазейля

1. Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямоли­ нейной цилиндрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения v будет одна и та же вдоль всей трубки тока — скорость жидкости не может меняться вдоль трубы. Но она, конечно, может изменяться с изменением расстояния г от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости v является функцией радиуса г.

Примем ось трубы за ось X, направленную в сторону тече­ ния. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндри­

При стационарном течении сумма этих двух сил должна обра­

на входе трубы, Р2 — на выходе, а / — длина трубы. В результате

Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т. е. при г = R скорость v должна обращаться в нуль. Это дает

Скорость v максимальна на оси трубы, где она достигает значения

При удалении от оси скорость v меняется по параболическому закону.

2. Подсчитаем расход жидкости, т. е. количество ее, ежесе­ кундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жид­ кости, ежесекундно протекающая через кольцевую площадку с внутренним радиусом г и внешним г + dr, равна dQ = 2nrdr • pv. Подставляя сюда выражение для v и интегрируя, находим иско­ мый расход жидкости

Q ^ ^ ^ ^ ^ i R ' - r ^ r d r ,

о

или

Расход жидкости пропорционален разности давлений Рх — Р2, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости. Эти закономер­ ности были установлены экспериментально и независимо друг от друга в 1839 г. Гагеном и в 1840 г. Пуазейлем (1799—1869). Гаген исследовал движение воды в трубах, Пуазейль — течение жид­ костей в капиллярах. Формула (97.4) называется формулой Пуазейля, хотя сам Пуазейль и не выводил ее, он исследовал вопрос только экспериментально. На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вяз­ кости жидкостей.

Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных тече­ ний жидкости. Ламинарным называется такое течение, когда ча­ стицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, парал­ лельных оси трубы. (Более общее определение, применимое для любых течений, дается в § 98). При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение, с которым мы познакомимся в § 98. К турбулентным тече­ ниям формула Пуазейля неприменима.

$ Й7] ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ 479

3. Кинетическая энергия, ежесекундно переносимая потоком жидкости через поперечное сечение трубы, определяется выра­

о

Подставив сюда значение для v и выполнив интегрирование, по­ лучим

Работа, ежесекундно производимая над жидкостью разностью дав­

Такую же по величине, но противоположную по знаку работу производят силы внутреннего трения, так как при стационарном течении кинетическая энергия жидкости остается неизменной: А' = — А. С помощью формулы (97.3) можно исключить разность Давлений Рх — Р2 и получить

Полученные формулы позволяют ответить на вопрос, когда при течении жидкости по трубе можно пренебречь силами вязкости и, следовательно, применять уравнение Бернулли. Для этого, оче­ видно, необходимо, чтобы потеря кинетической энергии жидкости, обусловленная действием сил вязкости, была пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией самой жидкости, т. е. \ А' \ <^К- Это приводит к условию

Здесь буквой v обозначена так называемая кинематическая вяз­ кость, т. е. отношение

Величину т), когда надо отличать ее от v, называют динамической вязкостью.

4. Законы, установленные Пуазейлем, могут быть в общем виде получены методом размерностей. Достоинство этого метода состоит в- том, что он применим к прямолинейным трубам произвольного поперечного сечения, а не только к цилиндрическим трубам. Тре­ буется только, чтобы нормальные поперечные сечения всех труб

были геометрически подобны. Эти сечения могут отличаться друг от друга только размерами. Для каждого поперечного сечения можно установить характерный размер. За таковой можно принять, напри­ мер, его периметр или квадратный корень из площади. Можно также поперечные сечения всех труб геометрически подобно рассечь на две части прямолинейными отрезками. Длины таких отрезков тоже могут служить характерными размерами. Например, в случае трубы эллиптического сечения за характерный размер можно взять длину большой или малой оси соответствующего эллиптического сечения. Но можно взять и другие отрезки, характеризующие размеры эл­ липса. Заданием характерного размера определяются и все прочие размеры поперечного сечения трубы.

При выводе законов Пуазейля, равно как при исследовании любого вопроса методом размерностей, основной пункт состоит в том, чтобы установить физические величины, связанные между собой функциональной зависимостью. При стационарном ламинар­ ном течении жидкости по трубе силы вязкости уравновешиваются градиентами давлений. В уравнения движения входят эти градиенты, а потому разность давлений Рх — Р2 и длина трубы / могут войти только в комбинации (Рх — Р2)11. Поскольку жидкость движется без ускорения, характер течения не может зависеть от плотности

через поперечное сечение трубы. Добавив сюда еще вязкость жидко­ сти ц и характерный поперечный размер трубы а, получим четыре величины

между которыми должна существовать функциональная связь. Вместо а можно взять площадь поперечного сечения трубы 5. Применяя общий метод нахождения безразмерных комбинаций (см. § 87, п. 6), нетрудно убедиться, что из рассматриваемых величин можно составить только одну независимую безразмерную комбина­ цию, а именно

Следовательно, такая комбинация должна быть постоянной. Обозна­ чая эту постоянную посредством С, получим

В этой формуле содержатся все законы Пуазейля. Она является обобщением формулы (97.4) на случай прямолинейных труб произ­ вольного поперечного сечения. Постоянная С зависит от формы

Постоянная v0 есть, очевидно, скорость течения на оси трубы.

Вычислим теперь расход жидкости. Поверхности, на которых скорость v

Q — p ^ vdS = — р - ^ - ^ v dv,

ИЛИ

§98. Законы гидродинамического подобия

1.Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-нибудь тело или систему тел. Наряду с этой системой можно ввести бесконечное множество подобных и подобно расположенных тел, обтекаемых дру­ гими жидкостями. Каким условием должны удовлетворять пара­ метры потока и постоянные, характеризующие свойства жидкостей (плотность, вязкость и пр.), чтобы оба потока были механически подобны? Если подобие имеет место, то, зная картину течения для первой системы тел, можно однозначно предсказать течение жидко­ сти и для другой, геометрически подобной, системы тел. Это имеет важное значение в судостроении и самолетостроении. Вместо реаль­ ных кораблей или самолетов испытываются их уменьшенные геомет­ рически подобные модели, а затем путем пересчета определяется

S 98] ЗАКОНЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

поведение реальных систем. Простейший метод решения поставлен­ ной задачи дает теория размерностей.

Исследуем вопрос в общем виде. Пусть г и v — радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках, I — харак­ терный размер, a v0 — характерная скорость потока, например скорость жидкости, с которой она из «бесконечности» натекает на рассматриваемую систему тел. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р, вязкостью и и сжимаемостью. Вместо сжимаемо­ сти можно пользоваться скоростью звука в рассматриваемой жидко­ сти. Если существенна сила тяжести, то последняя характеризуется ускорением свободного падения g. Если течение не стационарно, то надо ввести какое-то характерное время т, за которое происходит заметное изменение течения. Ввиду наличия уравнений движения между величинами

v, v0, г, I, р, т], с, g, т

должна существовать функциональная связь. Из них можно соста­ вить шесть независимых безразмерных комбинаций. Сюда относятся два отношения vlv0, rll и еще четыре безразмерных числа:

Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных комбина­

Физический смысл чисел Маха и Струхаля не требует поясне­ ний. На физическом смысле чисел Рейнольдса и Фруда необходимо остановиться подробнее. При этом само собой станет ясным, что оба