Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

т. е. во всем потоке квадрат скорости течения должен быть малым по сравнению с квадратом скорости звука.

Если при течении меняется высота h, то с помощью уравнения (94.3) нетрудно показать, что помимо (94.5) требуется дополни­ тельное условие

выполнение которого необходимо, чтобы жидкость или газ могли рассматриваться как несжимаемые.

6. Опишем несколько опытов для иллюстрации уравнения Бернулли. На рис. 241 изображена труба переменного сечения, через которую пропускается воздух. О давлении воздуха в трубе можно судить по уровням воды в стеклянных манометрических трубках, соединенных с ней, как показано на рис. 241. Оказы­ вается, что в трубках, соединенных с узкими частями трубы, вода поднимается выше, а соединенных с широкими частями — ниже. Значит, в первом случае давление воздуха в потоке меньше, чем во втором. Так и должно быть согласно уравнению (94.4).

Эта демонстрация может служить для пояснения идеи водомера, служащего для измерения расхода воды, т. е. массы воды Q, протекающей ежесекундно через поперечное сечение трубы. В трубу вставляется короткий участок (трубка

7. Возьмем резиновую трубку, надетую на суживающийся стеклянный наконечник, и будем продувать через нее воздух (рис. 242, вид сверху). Давле­ ние воздуха в узкой части наконечника и в выходящей из него струе будет меньше атмосферного. Поднесем струю сбоку к легкому полому целлулоидному шарику, подвешенному на нити. Шарик втягивается в струю, а затем увлекается ею. Если струю направить вертикально вверх, то втянувшийся в нее шарик можно удерживать в равновесии на определенной высоте. Он ведет себя подобно шарику, помещенному в яму. Привязывать шарик к нити в этом опыте не требуется.

нижний конец которой погружен в воду, а верхний оканчивается узким наконеч­ ником (рис. 243, а). Вода в стеклянной трубке будет подниматься, разбрызгиваться

разбрызгивается. Зазор между трубками выполняет роль узкого наконечника, понижающего давление воздуха в струе.

9. Если два слегка изогнутых листа твердой бумаги подвесить на горизон­ тальных проволоках (рис. 244) и продувать между ними воздух, то они притяги­ ваются друг к другу. Дело в том, что давление воздуха Р между листами в наи-

Рис. 243.

более узком месте становится меньше атмосферного Р0 , и наружное атмосферное давление прижимает листы друг к другу. Можно также подвесить на небольшом расстоянии друг от друга две стеклянные колбы. При продувании воздуха между ними колбы начинают стучать, сталкиваясь друг с другом. Притяжение такого

же типа наблюдается между двумя кораблями, когда они идут параллельным курсом на не­ большом расстоянии друг от друга. Это легко объяснить, если перейти в систему отсчета,

в которой корабли покоятся, а вода течет между ними. Описанное явление не раз было причиной столкновения судов и приводило к авариям.

10. На рис. 245 схематически изображен прибор Клемана (ум. 1841) и Деворма (1777—1862). Он состоит из латунного диска с отверстием в центре, к краям

которого приделана латунная трубка. На эту трубку надета резиновая трубка, через которую продувается воздух. Если диск поднести к листу бумаги, лежащему на столе, то лист притянется диском. Дело в том, что в узком зазоре между диском и листом бумаги образуется расходящийся от центра к краям поток воздуха.

Давление в этом зазоре понижается, и лист бумаги прижимается к диску давлением наружного воз­ духа. Прижатый лист закрывает отверстие АВ, течение воздуха через трубку затормаживается, давление его повышается, и снова появляется за­ зор, через который устремляется поток воздуха. Лист бумаги опять притягивается к диску и все повторяется, пока не прекратится дутье. В резуль­ тате бумажный лист приходит в быстрые колеба­ ния, издавая звук.

1 1 . Допустим, что поток жидкости обтекает какое-либо тело (рис. 246). От точки А линии тока расходятся в стороны. В точке А, называемой критической, скорость жидкости

обращается в нуль, в-ней линия тока обрывается. Применяя уравнение Бернулли к линии тока ВА, получим

жидкости на рассматриваемой линии тока *). Если изме­ рить в отдельности полный и скоростной напор жидкости в рассматриваемой точке пространства, то по ним легко вычислить и скорость жидкости в той же точке.

Для измерения полного напора используется трубка Пито (1695—1771). Это небольшая изогнутая маномет­ рическая трубка, обращенная открытым концом навстречу потоку жидкости (рис.247). Приосевые линии тока, направ­ ленные к трубке Пито, заканчиваются внутри трубки, где жидкость покоится. Высота столба жидкости, устанавли­

вающаяся в трубке, является поэтому мерой максимального давления, а сле­ довательно, и полного напора жидкости на рассматриваемой линии тока.

Если, помимо полного напора, измерить еще давление Р, то по их разности можно найти скоростной напор 1jipvi, а затем вычислить скорость v. Измерение Р было бы излишним, если бы речь шла о нахождении скорости и, например, в реке, где жидкость имеет открытую поверхность. В этом случае глубина погружения трубки Пито непосредственно давала бы величину искомого давления. Но этот способ не годится, когда жидкость течет, например, в трубе. Он не годится также для измерения скоростей самолетов и т. д. В таких случаях для измерения давле­ ния Р можно воспользоваться зондом. Зонд отличается от трубки Пито тем, что

*) В технической гидродинамике обычно применяется следующая терми­ нология. Величину Р называют статическим давлением, 1 / 2 ри 2 — динамическим давлением, а сумму Р + 1 / 2 р о 2 — полным давлением. Однако эта терминология, как неоднократно отмечалось многими физиками, нерациональна и может только ввести в заблуждение. Ею мы пользоваться не будем. В жидкости есть лишь единственное давление, которое обусловлено степенью ее сжатия, и таковым является величина Р,

вблизи свободной поверхности жидкости, где скорость v пренебре­ жимо мала. Поэтому постоянная Бернулли будет одна и та же у всех линий тока. Применим уравнение Бернулли к точкам В и А какой-либо линии тока (рис. 251). В точке В скорость пренебре­ жимо мала, ее можно считать равной нулю, скорость в точке А обозначим v. Уравнение Бернулли дает

где Р0 — атмосферное давление, а высота h отсчитывается от уровня отверстия. Отсюда получаем

Это — формула Торричелли (1608—1647). Она показывает, что при истечении жидкость приобретает такую скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h. Поэтому, если изогнуть трубку и направить струю вертикально вверх или под малым углом к вертикали, то в наивысшей своей точке она достигнет уровня жид­ кости в сосуде. В действительности высота поднятия струи будет несколько меньше из-за трения и сопротивления воздуха, которые при выводе уравнения Бернулли не учитывались.

2. Подсчитаем количество движения, уносимое ежесекундно вытекающей струей. Пусть струя вытекает горизонтально через небольшое отверстие в боковой стенке. Если 5 — площадь отвер­

Если отверстие закрыть пробкой, то сосуд будет оставаться на месте. Значит, горизонтальные силы давления жидкости, действующие на боковые стенки сосуда, уравновешиваются. Снова откроем отверстие. Тогда из правой боковой стенки будет удален участок площадью S. Если бы состояние жидкости при этом не изменилось, то сила давления жидкости на правую стенку уменьшилась бы на PS = pghS. На самом деле ее уменьшение вдвое больше и состав­ ляет 2 pghS. Это объясняется перераспределением давления, которое происходит при переходе от состояния покоя жидкости к состоянию установившегося движения. Конечно, этот переход совершается не мгновенно. Если мгновенно удалить пробку, то в первый момент сила давления на правую стенку уменьшится только на pghS. Затем в процессе установления течения уменьшение давления будет быстро, но непрерывно меняться от pghS до 2pghS.

ЗА Д А Ч И

1. В вертикально стоящий цилиндрический сосуд налита идеальная жид­ кость до уровня Н (относительно дна сосуда). Площадь дна сосуда равна S. Определить время t, за которое уровень жидкости в сосуде опустится до высоты h

470 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. XII

8. Определить скорость стационарного истечения через малое отверстие струи идеальной несжимаемой жидкости, находящейся под давлением в закрытом

ростью, применяют устройство, изображенное на рис. 254. Определить скорость истечения струи v в этом случае.

10. Цилиндрический сосуд с налитой в него идеальной несжимаемой жид­ костью вращается вокруг своей геометрической оси, направленной вертикально, с угловой скоростью со. Определить скорость истечения струи жидкости через малое отверстие в боковой стенке сосуда при установившемся движении жид­

Рис 255 рость относительно вращающейся системы отсчета). Постоянная Бернулли В одна и та же для всех линий тока, поскольку все они начинаются вблизи поверх­

ности жидкости, где скорость v пренебрежимо мала. Применим уравнение (95.2) к линии тока АВ, начинающейся на поверхности жидкости в точке А (рис. 255).

Здесь h означает высоту наиболее низкой (центральной) точки А уровня жидкости относительно отверстия, a R — радиус цилиндра. Переход к неподвижной си­ стеме отсчета не представляет затруднений.

§96. Вязкость

1.В реальных жидкостях, помимо сил нормального давления, на границах движущихся элементов жидкости действуют еще

касательные силы внутреннего трения, или вязкости. Убедиться в существовании таких сил можно на простейших примерах. Так, уравнение Бернулли, выводимое в предположении, что силы вяз­ кости отсутствуют, приводит к следующему результату. Если жидкость течет по горизонтальной прямолинейной трубе постоянного поперечного сечения, то при стационарном течении давление жид­ кости одно' и то же по всей длине трубы. В действительности дав­ ление жидкости в трубе падает в направлении ее течения. Для стационарности течения на концах трубы надо поддерживать постоянную разность давлений, уравновешивающую силы внутрен­ него трения, возникающие при течении жидкости.

Другим примером может служить поведение жидкости во вращаю­ щемся сосуде. Если вертикальный цилиндрический сосуд, наполнен­ ный жидкостью, привести в равномерное вращение вокруг своей оси, то жидкость постепенно также приходит во вращение. Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенкам сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям, пока вся жидкость не начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Таким образом, пока движение не установилось, происходит непрерывная передача вращения от сосуда к жидкости, а также от наружных слоев жид­ кости к внутренним. Такая передача вращения была бы невозможна, если бы не существовало касательных сил, действующих между жидкостью и стенкой сосуда, а также между слоями самой жид­ кости, вращающимися с различными угловыми скоростями. Эти касательные силы называются силами трения — внутреннего, если они действуют между слоями самой жидкости, и внешнего, если это силы взаимодействия между жидкостью и стенкой сосуда. Наибольший интерес представляют силы внутреннего трения,

2. Для нахождения количественных законов внутреннего трения лучше всего начать с простейшего примера. Рассмотрим две парал­ лельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. (Пластинки считаются бесконечными, если их длина и ширина значительно больше расстояния между ними.) Нижняя пластинка АВ неподвижна, а верхняя CD движется относительно нее с постоянной скоростью v0 (рис. 256). Оказывается, что для поддержания равномерного движения пластинки CD к ней надо приложить постоянную силу F, направленную в сторону движения. На пластинку АВ должна действовать такая же, но противопо­ ложно направленная сила, чтобы удержать эту пластинку в покое.

Величина силы F, как энспериментально было установлено еще Ньютоном, пропорциональна скорости v0, площади пластинки S и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинками:

вязкостью). Она не зависит от материала пластинок и имеет раз­ ные значения для различных жидкостей. Для данной жидкости коэф­ фициент г) зависит от параметров, характеризующих ее внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры.

Не обязательно, чтобы пластинка АВ покоилась. Обе пла­ стинки могут двигаться равномерно параллельно друг другу. Если

дающая вязкостью, прилипает к поверхности твердого тела, ко­ торое она обтекает. Иными словами, скорости частиц жидкости относительно поверхности твердого тела, на которой они находятся, равны нулю. Поэтому в формуле (96.2) силы F и —F можно счи­ тать приложенными не к пластинке, а к границам заключенного между ними слоя жидкости. "Точно так же их и v.z можно отождест­ вить со скоростями движения тех же границ жидкого слоя. Тем самым при введении понятия коэффициента вязкости надобность

впластинках отпадает.

3.В целях обобщения формулы (96.2) допустим, что жидиость течет в направлении оси X, причем скорость течения зависит только от координаты у:

vx = vx(y), vy = vz = 0.

Вырежем мысленно жидкий слой, ограниченный бесконечно близ­ кими плоскостями, перпендикулярными к оси У. Пусть эти пло­ скости пересекают ось Y в точках с ординатами уяу + dy (рис. 257).

Обозначим %уХ касательную силу, действующую на единицу пло­ щади верхней границы такого слоя со стороны вышележащей жид­ кости. Первый индекс у указывает направление внешней нормали к верхней границе слоя, а второй индекс х — направление дей­ ствующей силы (ср. § 74, п. 2). Обобщая формулу (96.2), для каса­ тельного напряжения хух напишем

Примем в согласии с опытом, что формула (96.3) справед­ лива не только для равномерного течения, но и для течения, ско­

"tgi

4. Выделим теперь в том же параллельном потоке жидкости бесконечно малый параллелепипед ABCD с ребрами, параллель­ ными координатным осям (рис. 258). Тензор напряжений, как сле­ дует из уравнения моментов, симметричен (см. § 74, п. 4). Поэ­ тому на основаниях параллелепипеда ВС и AD, перпендикуляр­ ных к потоку, должны также существовать касательные напряже-

Допустим теперь, что жидкость течет не параллельным потоком, а произвольным образом. Примем, что касательные составляющие тензора вязких напряжений зависят только от скоростей деформа­ ций жидкости, а не от самих деформаций и их высших производных по времени. Ограничимся линейным приближением, т. е. будем пренебрегать квадратами и высшими степенями скоростей дефор­