Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

эти числа безразмерные. По порядку величины число Рейнольдса есть отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обуслов­ ленной работой сил вязкости на характерной длине. Действительно, кинетическая энергия жидкости К ~ V2 pv'll3. Силу вязкости най­ дем, умножая величину вязкого напряжения п v0/l на характерную площадь Р. Это дает т]у0/. Произведение этой силы на характерную длину определяет по порядку величины работу сил вязкости А ~ ~ r\v0P. Отношение кинетической энергии К к работе А будет

Число Рейнольдса, конечно, определено не вполне четко, посколь­ ку оно содержит характерную длину и характерную скорость, которые сами определены не четко. Это число, как и все остальные безразмерные числа в законе подобия, определено лишь по порядку величины. Если размеры тела в разных направлениях примерно одинаковы, то особой неопределенности не возникает. Если же это не так, то в качестве характерной длины могут быть выбраны разные величины, которые могут отличаться друг от друга значительно. Например, при течении жидкости по трубе за характерную длину можно взять длину трубы, ее радиус или какую-либо промежуточную величину. Соответствующие числа Рейнольдса могут отличаться на много порядков. Какое из этих чисел взять — зависит от поставлен­ ной задачи. Так, в предыдущем параграфе было выведено условие (97.9), при выполнении которого силами вязкости можно пренебречь. Величину, стоящую слева в формуле (97.9), можно рассматривать

1 /?2

как число Рейнольдса, если за характерную длину принять yg у . В рассматриваемом случае характерный размер зависит как от длины трубы, так и от ее радиуса. При таком выборе получается условие (97.9), справедливое для всех, а не только геометрически подобных круглых труб (т. е. труб с постоянным отношением RII). Если труба длинная (/ ^> 167?), то достаточное условие можно записать в виде

т. е. за характерную длину можно принять радиус R. Но мы совер­ шили бы ошибку, если бы вместо (98.7) взяли условие v0l/v ^> 1.

Аналогичный смысл имеет число Фруда F. Оно по порядку вели­ чины определяет отношение кинетической энергии жидкости к при­ ращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью и наоборот.

3. Для стационарных течений характерное время т, а с ним и число Струхаля обращаются в бесконечность. Поэтому это число выпадает из соотношения (98.6). То же происходит с числом Маха в несжимаемых жидкостях, для которых оно обращается в нуль. Таким образом, для стационарных течений несжимаемых жидкостей соотношение (98.6) переходит в

(98.8)

Течения подобны, если они имеют одинаковые числа Рейнольдса и Фруда.

Следует, однако, заметить, что если при испытаниях на моделях применяется та же жидкость, в которой должна двигаться реальная система, то критерии подобия Рейнольдса и Фруда несовместимы друг с другом. В самом деле, запишем эти критерии в виде

где индекс 1 относится к реальной системе тел, а индекс 2 — к ее уменьшенной или увеличенной модели. Перемножая эти соотношения, получим

(98.9)

Варьирование ускорения свободного падения g принципиально возможно, но практически нереально. Однако и при одинаковых g принципиально можно удовлетворить обоим критериям подобия. Для этого надо применять жидкости с различными кинематическими вязкостями, удовлетворяющими соотношению (98.9). В большинстве случаев это почти невозможно. При испытаниях на моделях практи­ чески может выполняться только один критерий подобия: либо Рейнольдса, либо Фруда. В некоторых случаях этого достаточно. Допустим, например, что число Рейнольдса велико, а число Фруда невелико или порядка единицы. Тогда движение жидкости в основ­ ном будет определяться инерцией и тяжестью. Вариации числа Рейнольдса на нем будут сказываться мало. В этом случае для по­ добия течения необходимо выполнение одного лишь критерия Фруда. Напротив, при малых числах Рейнольдса и больших числах Фруда определяющую роль играет инерция и вязкость; влияние тяжести незначительно. Подобие будет иметь место при равенстве чисел Рейнольдса.

4. Чтобы исследовать поведение самолета во время полета, например опре­ делить действующие на него силы, модель самолета закрепляют в аэродинами­ ческой трубе, в которой создается равномерный поток воздуха. В основе этого метода лежит принцип относительности, согласно которому ход явления может зависеть только от относительного движения самолета и воздуха. Современные аэродинамические трубы представляют грандиозные сооружения, в которых

Поскольку плотность воздуха и его вязкость в обоих случаях одинаковы, подъ­ емная сила не изменится, если не изменятся значения функции fx и коэффициента при ней. Условием этого является Ifa^ = /§со2, откуда

§ 99. Турбулентность и гидродинамическая неустойчивость

1. До сих пор при изучении движений жидкости мы имели в виду так называемые ламинарные (слоистые) течения жидкостей и газов. Особенностью ламинарного течения является его регулярность. Течение при сохранении ламинарности может изменяться лишь вследствие изменения сил, действующих на жидкость, или внешних условий, в которых она находится. Так, при ламинарном течении в прямолинейной трубе постоянного поперечного сечения частицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллель­ ных оси трубы. Однако при достаточно больших скоростях лами­

давление, а для газов — плотность и температура) быстро и нерегу­ лярно изменяются во времени (флуктуируют). Частицы жидкости совершают нерегулярные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущейся жидкости. Примерами могут служить движение воды в бурном горном потоке, водопаде или за кормой быстроплывущего корабля, движение дыма, выходящего из фабричной трубы и т. п. Такие быстрые и нерегулярные изменения происходят не из-за изменений действующих сил или внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарных течений при определенных условиях. Неустойчивость ламинарных течений и возникновение турбулентно­ сти — очень сложные вопросы, еще далекие до окончательного ре­ шения. Рассмотрение их далеко выходит за рамки нашего курса. Тем не менее имеет смысл привести простейший пример, когда вопрос об устойчивости ламинарного течения решается элементарно.

2. Таким примером может служить установившееся ламинарное движение жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами при больших числах Рейнольдса (см. § 96). При больших числах Рейнольдса вязкостью жид­ кости можно пренебречь, считая жидкость идеальной. Для идеальных жидкостей, из-за отсутствия тангенциальных напряжений, зависимость скорости от рас­ стояния до оси вращения может быть произвольной: и = v(r). Но уже ничтожной вязкости достаточно, чтобы спустя некоторое время после начала движения уста­ новилось вполне определенное распределение скоростей вдоль радиуса, а имен­ но (96.8).

Однако для последующих рассуждений конкретизация вида функции v = v(r) не обязательна. В невозмущенном потоке частицы жидкости движутся по окруж­ ностям с определенной угловой скоростью со (/-) = ^ - ^ . Рассмотрим каной-либо

элемент жидкости, вращающийся по окружности радиуса А 0 . На него действует

центростремительная сила F0 = mco2(r0)r0, создаваемая разностью давлений окружающей жидкости. Введя момент ноличества движения L(r) = mr2co, запишем

кого-то бесконечно малого случайного толчка рассматриваемый элемент жид­ кости сместился в новое положение, находящееся на расстоянии г от оси вращения. Можно предполагать, что толчок был совершен в направлении от или к оси вра­ щения, так как, если движение жидкости неустойчиво по отношению к возму­ щениям специального вида, то оно неустойчиво вообще. Момент силы такого толчка относительно оси вращения равен нулю. Результирующая сил давления окружающей жидкости также не дает момента, поскольку она направлена к оси вращения. Поэтому при смещении элемента момент его количества движения сохранится, т. е. и в новом положении будет Цг0). Чтобы сместившийся элемент равномерно вращался по окружности радиуса г, на него должна действовать

центростремительная сила F'0 = Между тем единственная сила, которой

он подвержен, есть сила давления окружающей жидкости, а она равна F = - г 3 •

Если эта сила не равна F'0, то элемент жидкости не удержится на новой круго­ вой орбите, куда он попал. Он будет либо возвращаться к исходной орбите, либо удаляться от нее. В первом случае движение жидкости устойчиво, во втором — неустойчиво. Допустим, например, что г > г0. Если F > F'0, т. е. L2 (г) > L2 (г0), то давление окружающей жидкости больше того, которое требуется для удер­ жания сместившегося элемента жидкости на окружности радиуса г. Сместив­ шийся элемент вернется на исходную окружность — движение устойчиво. Если

в противоположные стороны, то это невозможно. Действительно, в этом случае на поверхностях цилиндров угловая скорость со имеет противоположные знаки. Так как со — непрерывная функция г, то она должна обращаться в нуль в какойто промежуточной точке. В этой точке величина л4со2 равна нулю, т. е. достигает

минимума. По разные стороны от нее производная ^ji^2) имеет противополож­ ные знаки, т. е. условие (99.2) не может выполняться. Значит, если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то движение жидкости неустойчиво. Оно будет неустойчивым и в том случае, когда внутренний цилиндр вращается, а наружный покоится. Действительно, на поверхности наружного цилиндра /•4со2 = 0, а на поверхности внутреннего л4со2 > 0 . Поэтому с увеличением г вели-

чина Им3 не может монотонно возрастать, и движение неустойчиво. Если же вра­ щается наружный цилиндр, а внутренний покоится, то установившееся вращение жидкости будет устойчивым. В этом случае с удалением от оси вращения угловая скорость со возрастает, а потому тем более будет возрастать г4 ш2 . Теперь стано­ вится понятным, почему при измерении коэффициента внутреннего трения по методу, описанному в конце § 96, должен вращаться наружный, а не внутренний цилиндр. В противном случае вращение жидкости между цилиндрами было бы неустойчивым.

4. Приведенное исследование было выполнено без учета вязкости жидкости. Силы вязкости, уменьшая кинетическую энергию жидкости, всегда препятствуют развитию неустойчивостей. Область неустойчивости ламинарного течения су­ жается. Ограничимся этим общим замечанием о роли сил вязкости, так как нашей целью было только показать на простейшем примере, что ламинарное течение жидкости не всегда устойчиво.

5. При возрастании скорости течения ламинарное движение переходит в турбулентное. Скорость, при которой это происходит, называется критической. Вместо скорости лучше пользоваться безразмерной величиной — числом Рей­ нольдса. Действительно, соображения о подобии, изложенные в предыдущем пара -рафе, относятся и к турбулентным течениям, а также к переходу от лами­

установлен Рейнольдсом из соображений теории размерности. Граничное значение числа Рейнольдса, при котором ламинарный режим течения сменяется турбулент­

возмущенности самого ламинарного течения. Так, при течении по прямолиней­ ной трубе круглого сечения R e K p = valv «1100, если труба непосредственно при­ соединена к водопроводу и не приняты специальные предосторожности для уменьшения возмущенности воды у края трубы (а — радиус трубы, v—средняя скорость течения). Величину начальной возмущенности можно уменьшить, при­ меняя трубы с гладкими стенками и закругленными краями. Кроме того, следует присоединять их к большому баку с водой и подождать, пока вода в нем не успо­ коится. Таким путем удается добиться затягивания ламинарного режима в тру­ бах до значительно больших R e K p , например до R e K p « 25 ООО.

6. Законы Пуазейля, как уже указывалось, относятся только к ламинарным течениям жидкости по трубе. Предположение о ламинарное™ было явно исполь­ зовано при выводе формул (97.4) и (97.16). Но не столь очевидно, где исполь­ зуется это предположение при выводе формулы Пуазейля (97.11) методом теории размерности. Разберем этот вопрос, а также выясним, какой формулой должна быть заменена формула Пуазейля при турбулентном течении. При турбулентном

в комбинации Q/ р, как было при ламинарном течении. Напротив, величины Q и р могут входить независимо. Функциональная связь должна существовать между пятью величинами

Q, р,

а не между четырьмя, как было при ламинарном течении. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации, например

где v — средняя скорость течения, определяемая соотношением Q = pvS, а — ра­ диус трубы, v = т|/ р — кинематическая вязкость. Согласно правилу размерности

490 М Е Х А Н И К А Ж И Д К О С Т Е Й И ГАЗОВ [ГЛ. хи

одна из этих безразмерных комбинаций является функцией другой. Это приводит к соотношению

от формы поперечного сечения трубы. При турбулентном течении этот коэффи­ циент становится функцией числа Рейнольдса. Формулу (99.3) нетрудно пре­

коэффициент сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса. При турбулентном течении вид функции X(Re) устанавливается эмпирически.

По поводу приведенного вывода формул (99.3) и (99.4) необходимо сделать следующее замечание. Турбулентное течение есть нестационарное течение. На ре­ гулярное движение накладываются нерегулярные колебания и вращения — пульсации, которым свойственны определенные периоды во времени. Таким образом, речь идет о нестационарном движении с определенным характерным временем и даже несколькими характерными временами. Поэтому, казалось бы, в формулах (99.3) и (99.4) коэффициенты С и X должны были бы зависеть не только от числа Рейнольдса, но и от числа Струхаля. Однако при установившейся тур­ булентности число Струхаля само является функцией числа Рейнольдса, а потому нет никакого смысла вводить его в формулы (99.3) и (99.4).

З А Д А Ч А

Так как в идеальной жидкости при любых движениях не могут возникать касательные силы, то возможны разрывные течения, в которых касательные составляющие скорости жидкости претерпевают разрыв на некоторой поверхности (неподвижной или движущейся). Такие течения называются тангенциальными разрывами. Показать, что тангенциаль­ ные разрывы в несжимаемой жидкости

гидродинамически неустойчивы.

малого возмущения на линии тока АВ возник бугор (рис. 263, б). Тогда со стороны / расстояния между линиями тока уменьшатся, а скорость жидкости увеличится. Напротив, со стороны / / расстояния между линиями тока будут больше, и скорость жидкости уменьшится. Согласно закону Бернулли давле­ ние со стороны / / возрастет, а со стороны / упадет. Под влиянием возросшей разности давлений бугор будет увеличиваться еще больше, т. е. движение является гидродинамически неустойчивым. Такой неустойчивостью объясняется разве­ вание флагов на ветру.

§100. Парадокс Даламбера. Разрывные течения

1.Оставшиеся параграфы этой главы будут посвящены силовым действиям потока жидкости на находящиеся в ней тела. Ввиду отно­ сительности движения эта проблема эквивалентна проблеме нахожде­ ния сил, действующих на тела, движущиеся в неподвижной жидко­ сти. Проблема эта очень обширна и сложна. Во всем объеме она разбирается в специальных курсах гидродинамики и аэродинамики.

Вобщем курсе физики на ней можно остановиться очень кратко, ограничиваясь в основном качественным рассмотрением.

Силу, действующую на тело со стороны потока жидкости, можно разложить на две составляющие: в направлении потока Fx и перпен­ дикулярную к потоку Fy. Сила Fx называется лобовым сопротивле­

и заднюю поверхности тела и из вязких сил трения. При больших скоростях (точнее, при больших числах

Рейнольдса) преобладающую роль играют разности давлений, при малых — силы вязкости.

2. Рассмотрим прежде всего стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Допустим, что в отсутствие внешних тел жидкость течет параллельным потоком. Поместим в него какое-либо тело К (рис 264). Оно исказит поток. Но на достаточно больших рас­ стояниях от тела К (в «бесконечности») поток останется параллель­ ным. По истечении некоторого времени движение жидкости устано­ вится. К этому установившемуся течению и относятся последующие рассуждения. Для конкретности будем считать, что жидкость течет в прямолинейной трубе. Вдали от тела К линии тока параллельны стенкам трубы и вследствие несжимаемости жидкости скорость ее в этих участках трубы одна и та же. А в силу уравнения Бернулли будет одинаково и давление Р. Рассмотрим часть жидкости ABDC, внутри которой находится тело К. Предполагается, что сечения АВ и CD находятся далеко от тела К, так что через них жидкость течет параллельным потоком. Спустя короткое время выделенная часть

Но в силу стационарности течения импульс жидкости в объеме А'В'DC один и тот же в обоих случаях. А вследствие одинаковости скорости течения на «бесконечности» импульсы жидкости в объемах ABB'А' и CDD'C также одинаковы. Итак, при обтекании тела К импульс жидкости не изменяется. Следовательно, полная сила, действующая на рассматриваемый объем жидкости в направлении потока, равна нулю. Но эта сила слагается из сил давления на основаниях АВ и CD и из силы F'x, с которой действует на жидкость тело К- (Давление стенок можно не принимать во внимание, так как оно не дает слагающей в направлении потока.) Силы давле­ ния на основаниях АВ и CD уравновешивают друг друга, а по­ тому F'x = 0. Следовательно, обращается в нуль и лобовое сопро­ тивление Fх .

Допустим теперь, что труба берется все шире и шире. Наш вывод остается справедливым для сколь угодно широкой трубы. Он останется верным и в пределе, когда трубы совсем нет, а поток во всех поперечных направлениях простирается до бесконечности. Итак, при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости или при равномерном движении тела в ней лобовое сопротивление равно нулю. Этот вывод в свое время казался неожиданным. Он

3. Наш вывод относится только к лобовому сопротивлению Fx, но не к подъемной силе Fu, и моменту сил М, с которым поток жид­ кости действует на тело. Момент М относительно центра масс равен нулю в тех случаях, когда тело симметрично и симметрично расположено относительно потока. Если такое условие не выполнено, то это, вообще говоря, не так. При обтекании тела происходит смеще­ ние всего потока жидкости вбок, т. е. в направлении, перпендику­ лярном к направлению невозмущенного потока. Это вызывает изме­ нение момента количества движения жидкости и ведет к появлению момента сил М, действующего на тело. В результате момент М пово­ рачивает тело, пока он не обратится в нуль и течение жидкости в окрестности тела К вновь станет стационарным. Что касается подъ­ емной силы FY, то к этому вопросу мы вернемся в § 103.

какая-то масса жидкости, увлекаемая им. Она называется присоеди­ ненной массой. При ускорении тела ускоряется и присоединенная