Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

324 ТЯГОТЕНИЕ [ г л . v m

Если ал известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободного падения ga6t на поверхности Земли. Это и было сделано Ньютоном.

Ускорение Луны ад можно вычислить, зная R и период обра­ щения Луны по ее орбите Т (относительно звезд). Эти величины

дение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Нью­ тона. Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает уско­

том. Оставшееся небольшое расхождение можно объяснить отступ­ лениями формы Земли от шаровой.

Заметим, что с помощью формулы (60.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать численное значение гравита­ ционной постоянной G.

ЗА Д А Ч И

1.Показать, что если высота над земной поверхностью мала по сравнению

срадиусом Земли R, то зависимость ускорения силы тяжести от высоты опре­ деляется приближенной формулой

Е отрицательна, то движение финитно и будет происходить по эллиптической траектории. При круговом движении

(61.2)

Если г — радиус земного шара, то получаемая по этой формуле величина называется первой космической скоростью. Она прибли­ зительно равна 8 км/с.

Минимальное значение энергии Е, при котором движение становится инфинитным, равно нулю. В этом случае получается

Это есть минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю (при условии, что тело не подвергается гравитационному действию со стороны других небесных тел).

Если, наконец, полная энергия Е положительна, т. е. началь­ ная скорость тела превосходит вторую космическую скорость, то его движение станет гиперболическим.

2. Совершенно аналогичные вычисления можно провести и для движений в гравитационном поле Солнца. Среднее расстояние до

того, чтобы при запуске с такого расстояния тело навсегда покинуло пределы Солнечной системы, надо сообщить ему скорость относи­ тельно Солнца не меньше 29,8]/2 я« 42,1 км/с. Находясь на Земле, тело движется вместе с ней вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Если бы тело не подвергалось действию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли дополни­ тельную скорость 42,1 — 29,8 = 12,3 км/с в направлении ее дви­ жения, чтобы относительно Солнца оно стало двигаться с парабо­ лической скоростью и навсегда покинуло пределы Солнечной си­ стемы. В действительности для этого требуется большая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть действие земного притяжения. Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Величина третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она мини­ мальна, если это направление совпадает с направлением орбиталь­ ного движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны.

Земли и космического корабля. Однако такое вычисление не представляет боль­ шого труда, если пренебречь влиянием поля тяготения Солнца на движение космического корабля в. течение всего времени, которое он затрачивает для выхода из зоны действия земного тяготения *). Будем обозначать малыми буквами

У 2 = Vl +t4o-f 2VK fooC08 д .

Вычислим теперь приближенно четвертую космическую скорость у4 . Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью VK. Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение

*) Более подробное рассмотрение показывает (см. § 65), что в действитель­ ности при таком расчете мы пренебрегаем не полем тяготения Солнца, а лищь его неоднородностью в той области пространства, где преобладающим является поле тяжести Земли. Однородная составляющая поля тяготения Солнца компен­ сируется силами инерции, возникающими из-за свободного падения Земли на Солнце. Поэтому ошибка, которую мы делаем при вычислении третьей космической скорости, ничтожна.

надо затормозить. Как и ранее, находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет V = K R + (относительно Солнца). Наи­

меньшая энергия, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости VK и направлены противоположно. В этом случае V — VK —

(все скорости положительны), а энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна

е = V. (VK - V ) 2 - OM/R = 1/2 (У£ + 2V » ~ и У ,

где R = СА — расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис. 181а). Если е < 0, то траекторией ракеты будет эллипс с боль­ шой осью

стал вращаться по эллиптической орбите. Двигатель сообщал ускорение спут­ нику все время в направлении движения. Определить максимальное расстоя­ ние спутника от центра Земли, которого он достигнет после выключения дви­ гателя. Найти также период Т2 обращения спутника по новой (эллиптической) орбите.

ботал двигатель, скорость спутника возросла в а раз, а кинетическая энергия К — в а 2 раз. Потенциальная энергия не изменилась, так как за время работы дви­ гателя спутник переместился пренебрежимо мало. Таким образом, полная энергия спутника на эллиптической орбите будет

£3J1 = а?К + U = (а2 - 2) К = (2 - а2 ) £ к .

Большие оси эллиптических орбит обратно пропорциональны полным энергиям (см. формулу (58.2)). Поэтому

в направлении ее вращения в плоскости земного экватора, чтобы он все время оставался неподвижным относительно Земли. (Такой спутник называется ста­ ционарным).

О т в е т. R = (-S—.\ 3 R0^a 6,60i?0 . Здесь Ra — экваториальный радиус

Земли, co2R0 — центростремительное ускорение на экваторе, обусловленное осевым

не сделаются равными угловые скорости осевого вращения Земли и орбиталь­ ного движения Луны вокруг Земли. Определить общую угловую скорость со обоих вращений, продолжительность земных суток Т и радиус лунной орбиты а после того, как это произойдет. В настоящее время угловая скорость осевого

= 3,84-101 0 см, период обращения Луны вокруг Земли (относительно звезд) Тл = 27,3 сут, масса Луны m = 7,35- Ю2 5 г. Для упрощения расчета считать, что земная ось перпендикулярна к плоскости лунной орбиты.

Р е ш е н и е . Используя приведенные данные, находим: момент инерции Луны относительно оси вращения Земли / л = mag = 1,08-104 7 г-см2 (моментом инерции Луны относительно ее собственной оси пренебрегаем), угловая скорость

a3 co3 = ajjcojj. Из этих двух уравнений можно найти неизвестные а и со. В ука­ занном приближении

почти касающейся поверхности Луны. Чтобы перейти на стелящуюся круговую орбиту, в момент наибольшего сближения включают тормозной двигатель, вы­

среды на скорость движения спутника и его момент количества движения отно­

уменьшает полную энергию Е. Поэтому кинетическая энергия К возрастает (спутник приближается к Земле).

6 . Космический корабль без начальной скорости свободно падает на Землю из удаленной точки. В каком месте следует повернуть направление скорости корабля на 90° (без изменения ее величины), чтобы он стал двигаться вокруг Земли по круговой траектории?

О т в е т . Посередине Между центром Земли и начальным положением ко­

рабля.

7. Космический корабль Движется вокруг Земли по эллиптической орбите.

В какой точке орбиты следует изменить направление скорости корабли (бёЗ

т. ё. в точке пересечения эллипса с его малой осью. Направление скорости ко­

9. Какую перегрузку испытывает при старте космонавт в космическом корабле на самом начальном участке полета, когда корабль вместе с ракетой-

космонавта на Земле, а Р — «вес», который показали бы йружйнные весы при взвешйванйИ космонавта в корабле.)

Р е ш е н и е . Примем за Положительное направление вверх.. «Вес» космо­ навта в корабле будет

Считая на" начальном' участке Величину Р постоянной, находим скорость корабля

через время г:

v = avK = Р-Ро - х.

Отсюда

§ 62. Вывод законов движения планет из закона всемирного

тяготения Ньютона

В предыдущих параграфах три закона Кеплера были приняты за исходные. Пользуясь ими, мы пришли к закону всемирного тяготения Ньютона. Теперь поступим наоборот. Примем, что на планету со стороны Солнца действует сила' тяготения, подчиняющаяся закону Ньютона. Найдем. движение планеты под действием такой силы. Массу Солнца будем считать бесконечно большой по срав­ нению с массой планеты. К такому случаю сводится и общий случай, когда это условие не выполняется (см. § 59). Возьмем полярную систему координат (г, ф), полюс которой поместим в центре Солнца. Скорость планеты v можно разложить на радиальную скорость vr = г и перпендикулярную к ней азимутальную ско­ рость ^ = гф. Очевидно, v2 = г2 + г2 ф2 . Законы сохранения энергии и момента импульса планеты запишем в виде

ницу ее массы, о — секториальная скорость, остающаяся постоянной во время движения. Для нахождения уравнения траектории планеты исключим время.

Подберем постоянную р так, чтобы в этом уравнении исчезли члены, содержа­

выражении двойной знак перед ф0 сохранять не имеет смысла, поскольку ф0 есть

что отсчет углов ф ведется от такого положения радиуса-вектора планеты, когда

Нетрудно теперь вычислить остальные параметры орбиты и в случае эллиптиче­ ского движения получить третий закон Кеплера. Однако все эти вычисления уже были проделаны ранее, и в новых вычислениях нет необходимости.

Г Л А В А IX

ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

§ 63. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета

1. До сих пор мы относили движение к какой-либо одной из бесчисленного множества инерциальных систем отсчета. В такой системе отсчета основным уравнением движения материальной точки является уравнение, выражающее второй закон Ньютона. Запишем здесь это уравнение в виде

снабдив ускорение а индексом «абс», смысл которого выяснится

вдальнейшем. Поставим теперь задачу найти уравнения движения

внеинерциальных системах отсчета, т. е. таких системах, которые движутся ускоренно относительно инерциальных систем. Задача сводится к установлению законов преобразования сил и ускорений

при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной системе отсчета. Дорелятивистская физика считала этот вопрос чисто кинематическим и решала его на основе следующих двух допущений: 1) время абсолютно, т. е. промежутки времени между

любыми двумя событиями одинаковы во всех системах отсчета; 2) пространство абсолютно, т. е. расстояния между любыми двумя точками (материальными телами) также одинаковы во всех системах отсчета. Таким образом, в дорелятивистской физике считалось, что расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к любой другой, произвольно движущейся системе отсчета. Оба допущения казались настолько самоочевидными, что даже явно не формулировались. И только глубокий анализ проблемы пространства и времени в теории отно­

для медленных движений. При быстрых движениях они становятся неверными. Ограничимся сейчас нерелятивистским рассмотрением, т. е. будем предполагать, что все скорости, в том числе и относи­ тельные скорости самих систем отсчета, малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

2. Условимся называть неподвижной какую-либо произвольно выбранную инерциальную систему отсчета, а движение относи-