Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

тельно небольшой области пространства, во всех точках которой вектор g практически один и тот же. А в этих случаях прекрасно работает приближенный метод последовательных приближений, даю­ щий вполне достаточную точность. Вычисления по этому методу просты и лучше выявляют сущность явления. Им мы и восполь­ зуемся.

2. В уравнении (67.1) член 2 [©со] мал по сравнению eg- . Его можно рассматривать как малую поправку и в нулевом приближении отбросить. Тогда получатся законы свободного падения без учета вращения Земли:

Пользуясь нулевым приближением, можно учесть и влияние кориолисовой силы. С этой целью в уравнение (67.1) мы подставим значение © из нулевого приближения и таким путем получим уско­

Интегрирование этого уравнения дает скорость © в том же прибли­ жении:

С помощью этого выражения снова уточняем выражение для корио­ лисовой силы. Именно, подставляя его в уравнение (67.1), получаем выражение для ускорения а во втором приближении:

a = g+2 [с0 ©] + 2t feco] + 4t [[©Осо] со] + 2t* [few] со], (67.5)

а после интегрирования по t — для скорости v в том же при­ ближении:

v = v0 + gt + 2t [©Oto] + Р [g-co] + 2t* [[©Oco] со] + J - [[g-co] со]. (67.6)

Описанный процесс последовательных приближений можно было бы продолжить неограниченно. Оборвем его на втором приближении. Интегрируя (67.6) по t, находим радиус-вектор материальной точки в любой момент времени во втором приближении:

г = г 0 + © с / + 4 g^+р [©„и+-J м + 4 1 3 [[*,>«>]«]+41W <4 (67.7)

В частности, если тело падает без начальной скорости, то для его смещения из начального положения s = г — г0 получим

3. Чтобы проанализировать полученный результат, введем пря­ моугольную систему координат, начало которой поместим в точку А, из которой начинает падать рассматриваемое тело (рис. 188). Ось X направим по параллели на восток, ось У — по меридиану к эква­ тору, ось Z — по направлению отвеса вниз, т. е. вдоль вектора g. Спроектируем затем выражение (67.8) на координатные оси. Век­ торное произведение [gxo] направлено на восток, двойное векторное произведение [[g"(i)]o)] есть вектор,

направленный от оси вращения Земли и перпендикулярный к ней. Поэтому переходя к проекциям, получим

Иное дело, когда речь идет о формулах (67.10) и (67.11). Здесь в нуле­ вом приближении х = у = 0. Вращение Земли сказывается в появ­ лении двух новых эффектов: отклонении свободно падающих тел

где h — высота падения, a T = 2я/со — период суточного вращения Земли.

Отклонение sB 0 C T очень мало, так как в формулу (67.13) вхо­ дит малый множитель ИТ. Так, при h = 100 м t = 4,5 с, и для широты Москвы (О = 56°) получаем sB 0 C T = 1,2 см. При падении

свысоты h — 500 м получилось бы sB 0 C T = 13,8 см. Несмотря на малость эффекта, его с уверенностью удалось наблюдать в опытах

спадением тел в глубоких шахтах уже в середине XIX века.

Экваториальное отклонение связано с восточным соотноше­ нием:

тору очень мало и по этой причине недоступно наблюдению.

ЗА Д А Ч И

1.Из ружья произведен выстрел строго вверх (т. е. параллельно линии

отвеса). Начальная скорость пули v0 = 100 м/с, географическая широта места •& = 60°. Учитывая осевое вращение Земли, определить приближенно, насколько восточнее или западнее от места выстрела упадет пуля. Сопротивление воздуха не принимать во внимание.

О т в е т . Пуля отклонится к западу на расстояние

3 g* - cos w «з 51 см.

Результат может показаться неожиданным. При движении вверх кориолисова сила отклоняет брошенное тело к западу от направления отвеса, при движении вниз она отклоняет его к востоку. На первый взгляд кажется, что отклонение

кзападу должно компенсироваться последующим отклонением к востоку. На самом деле это не так. Когда тело движется вверх, его боковая начальная снорость равна нулю. В наивысшую точку тело приходит, однако, с западной соста­ вляющей скорости, которую оно приобретает под действием кориолисовой силы. Поэтому обратное падение тела начинается с начальной скоростью, направлен­ ной на запад. При этом тело не только смещается к востоку под действием изме­ нившей направление кориолисовой силы, но и продолжает по инерции двигаться на запад. В результате отклонение к западу оказывается больше, чем отклонение

квостоку.

2.Под каким углом а к вертикали надо произвести выстрел вверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из которой был произведен выстрел? Использовать данные предыдущей задачи.

О т в е т . Ствол ружья надо наклонить к востоку под углом

!• д а 2 , 4 5 • 10~4 рад я» 0,85' ss 51".

3. Из орудия, установленного в точке земной поверхности с географической широтой д = 30°, производится выстрел в направлении на восток. Начальная скорость снаряда v0 = 500 м/с, угол вылета снаряда (т. е. угол наклона касатель­ ной в начальной точке траектории к плоскости горизонта) а = 60°. Пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая вращение Земли, определить приближенно отклонение у точки падения снаряда от плоскости стрельбы. Какое это будет от­ клонение: к югу или к северу? (Плоскостью стрельбы называется плоскость, про­ ходящая через направление касательной в начальной точке траектории и напра­ вление отвеса в той же точке.)

§68. Маятник Фуко

1.Опыты по отклонению к востоку свободно падающих тел в прин­ ципе могли бы служить экспериментальным доказательством неинерциальности земной системы отсчета и приближенной инерциальности системы Коперника. Однако постановка таких опытов затруд­ нительна, а их точность невелика. Для этой цели более подходя­ щим является маятник Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной ; нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Отклоним маятник из положения равновесия, а затем предоставим его самому себе. Если бы Земля была инерциальной системой отсчета, то на маятник действовали бы только «настоящие си.лы»: сила веса mg и сила натя­ жения нити F (силами трения и сопротивления воздуха пренебре­ гаем). Обе эти силы лежат в вертикальной плоскости. Поэтому если маятнику не сообщен толчок в боковом направлении, то он все время будет колебаться в одной и той же вертикальной плоскости, неподвижной относительно Земли. Опыты показали, что это не так — плоскость качаний маятника в земной системе отсчета медленно поворачивается вокруг вертикали рассматриваемого места и притом

втом же направлении, в каком совершают суточное вращение Солнце и звезды на небесной сфере. Это доказывает, что земная си­ стема отсчета не является инерциальной.

Чтобы объяснить вращение плоскости качаний маятника, пред­ положим, что Земля равномерно вращается относительно неизвест­ ной нам инерциальной системы отсчета с угловой скоростью to. В земной системе отсчета к «настоящим силам», действующим на маятник, добавятся еще силы инерции: центробежная и кориолисова. Движение маятника будет описываться уравнением (65.3). Кориолисова сила 2 т [осо] перпендикулярна к плоскости качаний маятника. Она-то и вызывает вращение этой плоскости.

2. Допустим сначала, что опыт произведен на полюсе Земли. Тогда в уравнении (65.3) вектор со будет направлен вдоль вертикали. Но результат легко предсказать, если рассмотреть качания маятника в инерциальной системе отсчета. В этой системе нет никаких сил инерции — действуют только сила веса mg и сила натяжения нити F. Поэтому в инерциальной системе плоскость качаний маятника будет сохранять неизменное положение. Земля же будет вращаться отно­ сительно этой неподвижной плоскости с угловой скоростью со. Иными словами, плоскость качаний маятника будет вращаться относительно Земли с той же угловой скоростью со, но в противопо­ ложном направлении. Разумеется, результат предсказания не может зависеть от способа рассмотрения (если только способ правильный). Поэтому к тому же результату мы пришли бы, если бы с самого начала рассматривали задачу в земной системе отсчета с помощью уравнения относительного движения (65.3). Это замечание позволяет

358 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. IX

легко разобраться в вопросе, как будет вести себя плоскость качаний маятника, если опыт произведен в любом месте земной поверхности (а не только на полюсе).

3. Допустим, что опыт произведен в точке земной поверхности I с географической широтой т>. Разложим вектор угловой скорости со/

Составляющая силы Кориолиса 2т [©cojj направлена вдоль нити

маятника. Она слегка меняет натяжение нити, а с ним и период колебаний маятника. На по­ ложение плоскости качаний маятника эта составляющая не оказывает влияния. В за­ даче о вращении плоскости качаний маятника ее можно отбросить. Вторая составляю­ щая силы Кориолиса 2т [осов]

и в нашей задаче наиболее важна. Она перпендикулярна к плоскости качаний маятника и вызывает вращение этой плоскости. Третья составляю­

Рис. 189. щая 2т [v<d\) тоже перпенди­ кулярна к плоскости качаний

маятника, а потому она также оказывает влияние на эту плоскость. Однако при малых колебаниях маятника эта составляющая мала в силу малости угла а. Кроме того, при колебаниях маятника она периодически меняет направление. Когда маятник движется от центра О вправо или влево, составляющая 2т [©соц] направлена за плоскость рисунка (рис. 189). Когда маятник из крайних по­ ложений приближается к центру О, она направлена противоположно, т. е. к читателю. Поэтому сила 2т [vo>{i] не приводит к система­ тическому вращению плоскости колебаний маятника, а вызывает лишь малые колебания ее относительно среднего положения. Эту силу можно также отбросить. В результате уравнение относитель­ ного движения примет вид

Из уравнения выпала горизонтальная составляющая угловой скорости (о. Уравнение приняло такой же вид, как и на полюсе. Вся разница только в том, что вместо полной угловой скорости

в него вошла ее вертикальная составляющая to,,. Значит, маятник будет вести себя так же, как и на полюсе. Но плоскость качаний его будет вращаться с меньшей угловой скоростью

где Т — период вращения Земли относительно инерциальной систе­ мы отсчета.

Реальный опыт впервые был произведен Фуко в Парижской обсерватории в 1850 году и повторен в 1851 году в Пантеоне. Маятник имел длину 67 метров и состоял из металлического шара массы m — = 28 кг. Опыт показал, что относительно Земли плоскость качаний маятника вращается вокруг вертикали рассматриваемого места в соответствии с формулами (68.2) и (68.3), если только вращение самой Земли относить к системе Коперника. Это доказывает, что земная система отсчета не инерциальна, а система Коперника — инерциальна. Конечно, последнее заключение не может быть столь же категоричным, каким является первое. Лучше сказать, что опыт Фуко не противоречит предположению об инерциальности коперниковой системы отсчета.

4. Исследуем более детально форму траектории маятника Фуко при его колебаниях относительно земной системы отсчета. Как уже выяснено, можно отвлечься от горизонтальной составляющей угловой скорости и и считать, что Земля вращается вокруг вертикали с угловой скоростью <о„. Иначе говоря, можно

А

6)

Рис. 190.

рассуждать так, как если бы опыт Фуко был произведен на полюсе, но Земля вращалась с меньшей угловой скоростью ш в . Пусть вектор угловой скорости ш в направлен перпендикулярно к плоскости рисунка к читателю (рис. 190). Корйолисова сила 2т[г>й>„], действующая на маятник при его колебаниях, перпенди­ кулярна к его траектории и направлена вправо по ходу движения маятника.

360 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. IX

Эта сила искривляет траекторию маятника. Допустим сначала, что маятник отклонен в крайнее положение А, а затем отпущен без начальной скорости. Если бы не было кориолисовой силы, то маятник пришел бы в диаметрально противо­ положную точку А'. Крриолисова сила отклонит маятник в сторону, и он придет в точку В, расположенную правее. В этой точке скорость маятника обратится в нуль, а затем изменит направление. Изменит направление и кориолисова сила. Она по-прежнему будет изгибать траекторию маятника вправо (так как наблю­ датель также должен повернуться, чтобы все время смотреть в направлении движения маятника). Затем маятник будет последовательно приходить в новые точки поворота С, D, ... В результате получится сложная кривая с угловыми точками, изображенная схематически на рис. 190, а.

Несколько иной характер траектории получится в том случае, когда маят­ нику сообщен толчок из положения равновесия. Трактория по-прежнему будет изгибаться вправо. Но в крайние точки А, В, С, ... (рис. 190, б) маятник будет приходить с отличными от нуля азимутальными скоростями, которые он приобрел под действием кориолисовой силы, когда двигался из центра. В результате в ме­ стах поворота получатся не точки заострения, а плавные закругления, как это изображено на рисунке. Вследствие медленности вращения Земли наблюдатель не замечает искривления плоскости качания маятника. В обоих случаях ему кажется, что плоскость качаний маятника вращается вокруг вертикали с угло­

Маятник отпускался из крайнего положения без начального толчка. Определить боковое отклонение шара маятника от положения равновесия в момент прохо­ ждения его через среднее положение. Географическая широта Ленинграда Ф = 60°.

Р е ш е н и е . Эта задача решается проще, если движение рассматривать в неподвижной системе отсчета (точнее, в системе отсчета, вращающейся отно­ сительно Земли вокруг вертикали рассматриваемого места с угловой скоро­ стью — <ов). В этой системе уравнение малых колебаний математического маят­ ника имеет вид г + Й2 г = 0, где Q2 = g/l, а г — смещение маятника из положе­ ния равновесия. В начальный момент маятник, вращаясь вместе с Землей, имеет

Читателю рекомендуется получить тот же результат, рассматривая движе­ ние в земной системе отсчета.

§69. Приливы

1.У берегов океанов и морей дважды в сутки наблюдается поднятие (при­ лив) морской воды до некоторого максимального уровня (полная вода). После этого начинается опускание ее (отлив) до минимального уровня (малая вода). Разность уровней большой и малой воды называется амплитудой прилива. Время между еле-

§ 69] ПРИЛИВЫ 361

дующими друг за другом положениями полной (или малой) воды составляет 12 ч. 25 мин. Это время точно совпадает с половиной промежутка времени, в течение которого Луна в своем видимом движении совершает полный оборот вокруг Земли. Поэтому уже давно причину приливов и отливов связывали с положением Луны на небесном своде. Однако научное объяснение этого явления впервые было дано Ньютоном.

Приливы и отливы объясняются неоднородностью поля тяготения Луны и отчасти Солнца. Если бы внешнее гравитационное поле было однородно, то в зем­ ной системе отсчета оно полностью компенсировалось бы поступательной силой инерции, связанной с ускоренным движением центра масс Земли (где мы помещаем начало координат этой системы). На самом деле гравитационное поле неоднородно, тг~явяная—компенсация имеет место только в центре масс Земли. В остальных точках полной компенсации нет. Остаются нескомпенсированные силы, которые и вызывают приливы. Влияние Луны более существенно, чем Солнца. Хотя лун­ ное поле тяготения и слабее солнечного, но оно более неоднородно, так как Луна примерно в 400 раз ближе к Земле, чем Солнце. Рассмотрим сначала, как выглядело бы явление приливов, если бы Солнца не было, а Земля подвергалась воздействию грави­ тационного поля одной только Луны.

2. Для простоты будем считать Землю твердым

Земли О, а частицы воды в точке В — с меньшим ускорением. Начиная с этого места, большинство авторов по примеру Ньютона рассуждает неточно. Заклю­ чения, касающиеся ускорений частиц, переносятся на их скорости и пере­ мещения. Говорят, что частицы воды в А будут приближаться к Луне быстрее, чем центр Земли О, а потому они будут опережать последний. Напротив, частицы воды вблизи точки В будут отставать от центра Земли. По этой причине на поверх­ ности океана образуются два диаметрально противоположных горба или выступа

сцентрами в точках А и В (рис. 192, а). Центры горбов все время обращены к Луне

иот нее. Вследствие осевого вращения Земли они бегут по поверхности океана, непрерывно следуя за движением Луны. Вот почему два последовательных при­ лива (или отлива) отделены друг от друга промежутком времени в 12 ч. 25 мин. Согласно приведенному объяснению полная вода должна наблюдаться в моменты времени, когда Луна находится в верхней или нижней кульминации (в зените или надире), а малая вода — когда она находится в квадратуре. Наблюдения не согласуются с этим заключением. Скорее, справедлива обратная закономерность:

полная вода наблюдается в квадратурах, а малая — в кульминациях Луны

(рис. 192, б). Во всяком случае между кульминацией Луны и последующей полной водой проходит значительный промежуток времени, составляющий несколько часов. В службе портов среднее значение этого промежутка называется приклад­ ным часом. Такое расхождение между теорией и наблюдениями связано прежде всего с неточностью в рассуждениях, отмеченной выше. Смещение и скорости

частиц воды определяются не только ускорениями, но и их начальными значе­ ниями. Если бы в какой-либо один и тот же момент времени (который можно принять за начальный) частицы воды находились, например, в состоянии покоя, то рассуждение было бы верным. Но это условие на Земле как раз и не выпол­ няется. На этом вопросе мы остановимся несколько ниже.

3. Задачу построения теории приливов можно разделить на две части. Одна, более простая, заключается в нахождении приливообразующих сил, действующих

на воду океана в различных точках земного шара. Вторая, несравненно более трудная, состоит в том, чтобы определить вынужденное движение воды, которое установится под действием этих сил. Остановимся на первой части задачи.

Силы, действующие на частицы воды, в земной системе отсчета складываются из сил тяготения и сил инерции. Силы притяжения самой Земли, а также центро­ бежные силы, возникающие из-за вращения Земли вокруг ее центра масс, в вопро­ сах образования приливов роли не играют. Их результирующую напряженность мы будем обозначать g (ускорение свободного падения). Вектор g в каждой точке земной поверхности остается постоянным. Он определяет форму свободной поверхности океана в состоянии равновесия. Эта поверхность всюду перпендику­ лярна к вектору g. В теории приливов нас интересуют отклонения от этой равно-

§ 69] ПРИЛИВЫ 363

весной формы, связанные с действием переменных приливообразующих сил. При определении этих отклонений равновесную форму поверхности воды в океане можно считать шаровой. Кориолисову силу инерции Аы не будем принимать во внимание, потому что воду в океане в отсутствие возмущающих приливообра­ зующих сил мы будем считать покоящейся. Кориолисовы силы, возникающие из-за движений воды, вызванных приливами^-отливами, пренебрежимо малы. Таким образом, при вычислении приливообразующих сил надо учесть только силы тяготения внешних тел (Луны), а также силы инерции, связанные с ускорен­ ным движением центра Земли. Такие силы инерции

(рис. 191). Величины г и Ф являются полярными координатами точки наблюде­ ния. Приливообразующая сила найдется дифференцированием потенциала ф п р . Она содержит вертикальную (f„) и горизонтальную (ft) составляющие:

(За положительные приняты направления возрастания величин г и 0.) Дифференцируя и вводя ускорение свободного падения g = G - , получим

заметить, что Луна обращается вокруг Земли по эллиптической орбите. В перигее она бывает на расстоянии 57 земных радиусов, в апогее — на расстоянии 63,7 зем«