Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

ния. Но так как на левой ветви гиперболы величины г отрицательны, то это выражение можно записать в виде U = — G — ~ . Эта формула в точности совпа­ дает с формулой, которой выражается потенциальная энергия действительной точки, движущейся по правой ветви гиперболы. Поэтому если энергия и момент количества движения вспомогательной точки относительно фокуса Fx равны соответствующим величинам для действительной точки, то движения обеих точек будут описываться одними и теми же уравнениями. В математических же расче­ тах имеет значение не то, что движется, а то, какими уравнениями движение опи­ сывается. Формально математически дело происходит так, как если бы имелась всего одна материальная точка, обладающая способностью перескакивать с одной ветви гиперболы на другую. Целесообразность такого искусственного подхода будет проиллюстрирована на одном примере в § 58. Гравитационных сил отталки­ вания не существует. Но умозрительно их вводить можно. Кроме того, силы отталкивания возникают при электрических взаимодействиях одноименно заря­ женных частиц. Они, как и силы тяготения, убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому движение под действием сил отталкивания пред­

неты не стеснено определенной областью пространства, она может удаляться в бесконечность. Таким образом, задача сводится к на­ хождению условий финитности и инфинитности движения планеты.

Кинетическую энергию Солнца мы не учитываем, считая, что она пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией пла­ неты. Это справедливо ввиду малости массы планеты по сравнению с массой Солнца. Аналогично, если L — момент импульса планеты относительно Солнца, то

Исключим из этих уравнений угловую скорость ср. С этой целью разложим полную скорость v на радиальную составляющую vr и азимутальную составляющую гср. Тогда

и уравнение (57.1) примет вид

Это уравнение содержит только одну неизвестную — радиальную скорость vr. Формально оно может рассматриваться как уравнение энергии для одномерного — радиального — движения точки. Роль потенциальной энергии играет функция

2. Задача свелась к нахождению условий финитности и инфинитности одномерного движения с потенциальной энергией V{r). Этот вопрос был исследован в § 25. Наиболее удобен для реше­ ния задачи графический метод. На рис. 178 пунктирные кривые представляют соответственно графики функций

Mm

когда г -+ 0. Наоборот, при г -*• оо функция Vx (г) медленнее при­ ближается к нулю, чем У2 (г). Поэтому при больших г функция V (г)

уравнения (57.3) следует, что область, в которой может находиться планета, определяется условием V (г) ag; Е. Проведем горизонталь­

А и В. Пусть А' и В' — их проекции на горизонтальную ось. Пла­ нета может совершать движение только в области между А' и В',

она будет «локализована в потенциальной яме» V = V (г). В этом случае движение планеты финитно, и траектория будет эллиптиче­ ской. Если Е > 0, то прямая пересечет кривую V (г) только в одной точке С, проекцией которой на горизонтальную ось является точка С. Если планета двигалась справа налево, то в точке С она пере­ менит направление движения на противоположное и начнет дви­ гаться вправо, монотонно удаляясь в бесконечность. Ее движение инфинитно, а траектория — гиперболическая. Наконец, при Е = О движение также инфинитно. Этому промежуточному случаю между эллиптическим и гиперболическим движениями соответствует двиокение по параболе.

Отсюда следует, что при гиперболическом движении материальная точка приходит в бесконечность с конечной скоростью vm, при параболическом движении — с нулевой скоростью. Начальная ско­ рость уп , которую надо сообщить материальной точке, чтобы она стала двигаться по параболе, называется параболической скоростью. Параболическую скорость можно определить из уравнения (57.1), подставив в него Е = 0. Если г0 — начальное значение радиу­ са г, то

Параболическая скорость связана простым соотношением с «кру­ говой'» скоростью vK. Так называется скорость, которой должна обладать планета, чтобы под действием гравитационной силы Солнца двигаться вокруг него по кругу радиуса г0. Она найдется, если центростремительное ускорение vllr0 приравнять гравита­ ционной силеО-^-, действующей на единицу массы. Это дает

(57.6)

Таким образом,

ЗА Д А Ч И

1.Допустим, что в результате взрыва астероид, двигавшийся по круговой орбите вокруг Солнца, распался на два осколка одинаковой массы. Один осколок непосредственно после взрыва остановился, другой продолжал движение. По какой траектории будет двигаться второй осколок: эллиптической, гиперболи­ ческой или параболической?

От в е т . По гиперболической.

2.В условиях предыдущей задачи оба осколка разлетаются в перпендику­ лярных направлениях с одинаковыми скоростями. По каким орбитам они будут двигаться?

1. Длины большой и малой осей эллиптической орбиты планеты можно рассчитать с помощью законов сохранения энергии и мо­ мента импульса. В перигелии Р и в афелии А (рис. 179) радиальная скорость планеты равна нулю. Поэтому, полагая в уравнении (57.3) vr = 0, получим для этих точек

Круговые траектории являются вырожденными случаями эллип­ тических. Условие движения по круговой орбите найдется из уравнения (58.2), если в нем положить гх = г2 = г. Тогда полу­

Таким образом, при круговом движении сумма полной и кинетиче­ ской энергий равна нулю. Нетрудно показать, что это условие снова приводит к формуле (57.6).

Для эллиптического движения формула (58.3) также справедлива, но под К следует понимать среднее по времени значение кинетической энергии планеты. Действительно, эллиптическое движение финитно, и к нему можно применить теорему вириала (§ 25, п. 6). Применительно к движению планеты эта теорема дает

Вычитая из обеих частей К и учитывая, что Е = К + U, получим

К=—Е.

Это и доказывает наше утверждение.

2. Найдем теперь длину малой полуоси эллипса Ь. Для этого помимо энергии надо знать еще момент количества движения пла­ неты или ее секториальную скорость а = S. Большую ось эллипса можно считать известной, поскольку она однозначно определяется энергией планеты. Пусть В — одна из точек, в которых малая ось пересекается с эллипсом (рис. 179). Так как сумма расстояний любой точки эллипса от его фокусов Fx и F2 постоянна и равна 2а, то FXB = а. Секториальная скорость в точке В равна

ходим

— О — = е.

2 а

Подставив сюда выражение для е из (58.2), определим v. После этого найдем

3. Распространим теперь полученные результаты на случай гиперболического движения. Для этого воспользуемся искусственным приемом, указанным в п. 4 § 56. По правой ветви гиперболы (рис. 177) движется комета, по левой — соот­ ветствующая ей вспомогательная материальная точка. Эти движения описываются одним и тем же уравнением (57.3). В вершинах гиперболы Р и А радиальная ско­ рость vr равна нулю, и мы снова приходим к квадратному уравнению (58.1). Однако теперь энергия Е положительна, так что знаки корней этого уравнения противоположны. Положительный корень гх соответствует вершине Р, отрицатель­ ный гг — вершине А. Сумма обоих корней гх + г2 отрицательна. По абсолютной величине эта сумма равна расстоянию между вершинами Р и А. Используя для этого расстояния стандартное обозначение АР = 2а, получим

(58.6)

§ 58] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ 319

Эта формула в точности совпала бы с формулой (58.2), если бы условиться расстоя­ ние между вершинами гиперболы считать величиной отрицательной.

4. Найдем теперь аналог формулы (58.4) для гиперболического движения.

щейся в бесконечности. Радиус-вектор такой точки в единицу времени описы­

Той же формулой определяется параметр р и для параболы, поскольку парабола является предельной кривой, в которую переходят эллипс и гипербола. Для параболы параметр р является единственной величиной, определяющей ее форму.

6. Вид траектории планеты, конечно, определяется начальными условиями, т. е. положением и скоростью планеты в некоторый момент времени, который условно можно принять за начальный. Иллюстрируем это следующим примером. Пусть S — Солнце, а А — начальное положение планеты (рис. 181). Расстояние AS обозначим г0. Будем сообщать планете в точке А скорость v0 в на­ правлении, перпендикулярном к AS. Посмотрим, как будет ме­ няться вид траектории при изменении величины v0. Если полная

Кеплера для относительного движения не вполне точен. То обстоя­ тельство, что для планет Солнечной системы он выполняется с боль­ шой точностью, связано с тем, что масса планеты очень мала по сравнению с массой Солнца.

Отметим еще соотношение

которое непосредственно следует из сравнения формул (59.1) и (59.2).

2. На формулах (55.5) и (59.3) основано определение масс пла­ нет, имеющих спутников, а также масс двойных звезд. Если масса

численное значение гравитационной постоянной, известное не очень точно.

В качестве примера найдем отношение массы Солнца М с к массе Земли тз. Массу Земли будем считать пренебрежимо малой по

ральных тел, вокруг которых вращаются спутники, только тогда,

параметры орбит искусственных спутников, обращающихся во­ круг них.

ЗА Д А Ч И

1.Найти расстояние R между компонентами двойной звезды, если их общая

2. Минимальное расстояние между компонентами двойной звезды, обращаю­ щимися один относительно другого, равно гх. Относительная скорость их в этом положении равна vt. Сумма масс обоих компонентов равна М. Найти расстояние между компонентами г2 и их относительную скорость v2 при максимальном уда­ лении относительно друг друга. При каком минимальном значении относитель­ ной скорости vt двойная звезда распадется?

§60. Применение закона всемирного тяготения

кпроблеме земной тяжести

По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землей *). Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относительно Земли.

Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е. его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в § 55, Земля создает во внешнем пространстве такое же гравита­ ционное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение силы тяжести g a 6 c на расстоянии г от центра Земли должно определяться формулой

*) Сила веса, о которой идет речь в этом утверждении, строго говоря, равна силе гравитационного притяжения только в том случае, когда взвешивание произ­ водится на весах, покоящихся или не имеющих ускорения относительно инерци­ альной системы отсчета (см. § 66).