Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

§75. Растяжение и сжатие стержней

1.Возьмем однородный стержень и приложим к его основаниям растягивающие или сжимающие силы F (рис. 200, а и б). Стержень будет деформирован, т. е. растянут или сжат. Мысленно проведем произвольное сечение С, перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия стержня АС необходимо, чтобы на его нижнее основание

Сдействовала сила Fx = F. Это есть сила, с которой нижняя часть стержня ВС тянет верхнюю или давит на нее. Такая сила возникает потому, что нижняя часть стержня деформирована. Верхняя часть стержня также деформирована и действует на нижнюю с силой,

пряжение называется давлением и численно определяется той же формулой

r s • (75.2)

Давление можно рассматривать как отрицательное натяжение и наоборот, т. е.

гивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил — отри­ цательно. Относительное удлинение, взятое с противоположным

— (Д/)/70. Она положительна в случае сжимающих сил и отрицатель­ на — в случае растягивающих.

Опыт показывает, что для не слишком больших упругих деформа­ ций натяжение Т (или давление Р) пропорционально относительному удлинению (или относительному сжатию)

его физического состояния. Она называется модулем Юнга (1773— 1829). Формулы (75.5) выражают закон Гука (1635—1703) для дефор­ маций растяжения и сжатия стержней. Это — приближенный закон. Для больших деформаций он может не оправдываться. Деформации, для которых приближенно выполняется закон Гука, называются малыми деформациями. Если в формуле (75.3) положить А/ = /0 , то получится Т = Е. Поэтому модуль Юнга часто опре­ деляют как натяжение, которое надо приложить к стержню, чтобы его длина удвоилась, если бы при такой деформации закон Гука оставался еще верным. Недостаток этого определения состоит в том, что при таких больших деформациях закон Гука почти для всех тел становится недействительным: тело либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и приложен­ ным напряжением.

3. Более общим, чем закон Гука, является утверждение, что в

случае упругих деформаций натяжение Т является однозначной функцией относительного удлинения е: Т = Т (е). Эта функция должна обращаться в нуль при е = 0, так как с исчезновением деформации е исчезает и напряжение Т. Поэтому в разложении функции Т (е) в ряд по степеням е должен отсутствовать нулевой член. Это разложение должно иметь вид

Г = £ е + Ле2 + 5 е 3 + . . . ,

причем коэффициенты Е, А, В, ... являются постоянными, завися­ щими только от материала стержня и его физического состояния. Если относительное удлинение е мало, то высшими степенями е можно пренебречь. Тогда мы придем к закону Гука (75.5). При этом мы

жения показывают, что закон Гука и основанные на нем расчеты верны с относительной ошибкой порядка е. Поэтому во всех таких

расчетах мы не только можем, но и должны отбросить слагаемые, которые по сравнению с основными членами являются величинами порядка е, е2 и т. д. Например, относительное удлинение е можно определить не только выражением ( 7 5 . 4 ) , но и выражением (А/)//. Дело в том, что разность этих двух выражений

второго порядка малости по е, а потому ею следует пренебречь.

Это замечание, касающееся точности вычислений, разумеется,

4. Пусть в стержне создано натяжение 7 \ . Оно вызовет относи-

изменяются. Поэтому можно было бы ожидать, что изменится и модуль Юнга. Однако если деформации малы (а только для таких деформаций и имеет смысл говорить о модуле Юнга), то с такими изменениями можно не считаться. Действительно, обозначим Ех модуль Юнга деформированного стержня. Если к деформированному

мая во внимание точность, с которой справедлив закон Гука, можно

Но А/ не обязательно разлагать на составные части Ах / и А2 /. Эту величину можно рассматривать как единое удлинение под действием результирующего натяжения Т = 7 \ + Т2 . Поступая так, можно написать на основании закона Гука

Приведенное рассуждение справедливо не только для деформа­ ций растяжения и сжатия, но и для любых малых деформаций.

Если деформации малы, то упругие постоянные тел не изменяются при деформациях. Отсюда следует, что если на тело действует не­ сколько сил, то для вычисления результирующей деформации можно вычислить сначала деформации, вызываемые каждой силой в отдель­ ности (как если бы остальных сил не было вовсе), а затем получен­ ные деформации сложить. Это важное положение называется прин­ ципом суперпозиции малых деформаций.

5 . Для того чтобы деформировать тело, над ним надо совершить работу. В свою очередь деформированное тело само может совер­ шать работу. Оно обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе сил, затраченной на деформацию тела, при том существенном условии, что вся эта работа тратится только на приращение упругой энергии тела и не расхо­ дуется на увеличение кинетической энергии. Для того чтобы кине­ тическая энергия при деформации не возникала, надо деформацию производить достаточно медленно, постепенно увеличивая внешние силы, чтобы в любой момент времени каждая часть тела практически находилась в состоянии равновесия. Иначе говоря, при деформации внешние силы все время должны уравновешиваться возникающими при этом силами внутренних напряжений. Если это условие выпол­ нено, то говорят, что тело совершает квазистатический процесс.

Возьмем для иллюстрации спиральную пружину, которая может служить моделью деформируемого тела. Повесим ее за верхний конец. К нижнему концу подвесим груз, удерживая его рукой, чтобы пружина не растягивалась. Если груз внезапно отпустить, то возникнут колебания. Работа силы веса груза идет не только на растяжение пружины, но расходуется также на увеличение кине­ тической энергии груза и пружины. Это — процесс не квазистати­ ческий. Для вычисления упругой энергии пружины такой процесс не годится. Прикрепим теперь к нижнему концу пружины легкую чашечку и будем очень медленно нагружать ее песком. Колебания не возникают, пружина медленно и непрерывно удлиняется по мере увеличения нагрузки. Вся работа силы тяжести идет на увеличение потенциальной энергии деформируемой пружины. Такой процесс является квазистатическим, и им можно воспользоваться для вычис­ ления упругой энергии пружины.

6. После этих замечаний легко вычислить упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу / (х) и будем непрерывно и медленно увеличивать ее от начального значения / = 0 до конечного значения / = F. При этом удлинение

рый легко выразить через модуль Юнга. Вся работа в рассматри­ ваемом процессе пойдет на приращение упругой энергии 0, а потому

мм

оо

Если бы к недеформированному стержню мы сразу приложили постоянную силу F, то при удлинении его на А/ была бы совершена вдвое большая работа А = FAL Так как запас упругой потенциальной энергии в стержне получился бы тем же самым, то ясно, что только половина работы А расходуется на приращение упругой энергии стержня. Вторая половина этой работы тратится на кинетическую энергию упругих колебаний и волн, которые всегда возбуждаются в стержне при неквазистатическом воздействии на него. При квази­ статическом воздействии колебания и волны не возникают. Вот по­ чему в формулах (75.8) и (75.9) появился численный коэффициент V2 .

Найдем объемную плотность упругой энергии, т. е. упругую энергию и, приходящуюся на единицу объема растянутого (или сжа­ того) стержня. Она найдется делением выражения (75.9) на объем стержня V = SI. Это дает

" = 4 s f = 4 T e - (7Б.Ю)

Если воспользоваться законом Гука, то эту формулу нетрудно привести к виду

7. Опыт Показывает, что под действием растягивающей или сжи­ мающей силы F изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила F — растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увели­ чиваются. Пусть а0 — толщина стержня до деформации, а — после деформации. За толщину можно принять для круглого стержня его диаметр, для прямоугольного — одну из сторон его прямоугольного

основания и т. д. Если сила F растягивающая, то величина — — я«

Да

^ — — называется относительным поперечным сжатием стержня (Да = а — а0). Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению назы­ вается коэффициентом Пуассона (1781—1840):

Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и явля­ ется одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства. Случай сжимающих сил не обязательно выделять особо, так как сжимающую силу можно рассматривать как растягивающую, взятую с противоположным знаком.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона \i полностью характе­ ризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и ц.

8. Заметим, наконец, что. все модули и коэффициенты упругости, с которыми мы имели и будем иметь дело, следовало бы для точно­ сти называть изотермическими модулями и коэффициентами. Они характеризуют деформации тел в предположении, что температура их поддерживается постоянной. Это обычно имеет место в случае статических деформаций. Но если деформации динамические (на­ пример, волны в упругих средах), то они могут происходить на­ столько быстро, что разности температур, возникшие при дефор­ мации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. Важнейшим является предельный случай, когда между различно нагретыми частями среды теплообмен совсем не происходит. Соот­ ветствующие процессы, модули и коэффициенты упругости назы­

движется в продольном направлении с ускорением а (одинаковым для всех точек

стержня). Найти упругую энергию деформации, возникающую вследствие уско­ ренного движения.

О т в е т . С7 = ёт—-. oES

3. Какой максимальной кинетической энергией может обладать маховик, объем которого V= 1 м3 , если прочность материала на разрыв Т= 101 0 дин/см2 . Всю массу маховика считать сосредоточенной в его ободе (тонком по сравнению с радиусом маховика). Показать, что при неизменной прочности материала махо­ вика максимальная кинетическая энергия зависит только от объема, но не от массы маховика.

О т в е т . /C = i - 7 T = 5- 10s Дж.

4. Тонкий стержень длины 21 равномерно вращается вокруг перпендикуляр­ ной к нему оси, проходящей через центр стержня, с угловой скоростью со. Пока­ зать, что натяжение Т, возникающее в стержне при таком вращении, удовлетво­ ряет уравнению

390 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. X

где р — плотность материала стержня, ах — расстояние от оси вращения. Интег­ рируя это уравнение, найти распределение натяжения в стержне. В каком месте стержня натяжение максимально и чему оно равно? Показать, что максимальная кинетическая энергия, которую можно сообщить стержню при неизменной проч­

(Ср. с задачей 3 к § 19.)

5. Стержень поперечного сечения S растягивается силой F, параллельной

6. Резиновый цилиндр с высотой h, весом Р и площадью основания S постав­ лен на горизонтальную плоскость. Найти энергию упругой деформации цилиндра, возникающей под действием его собственного веса. Во сколько раз изменится энергия упругой деформации рассматриваемого цилиндра, если на верхнее осно­ вание его поставить второй такой же цилиндр?

РЩ

О т в е т . I)' = ——. Во втором случае упругая энергия увеличится в 7 раз.

§ 76. Деформации прямоугольного параллелепипеда под действием трех взаимно перпендикулярных сил

1. Допустим, что однородное изотропное тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням кото­

размеры параллелепипеда, перпендикулярные к оси Y, сократились бы. В частности, ребро х при этом получило бы отрицательное прира-

Наконец, относительное приращение ребра х под действием одной

Ах Т

только силы Fz было бы равно -~ = — ii -~. Если все силы дей­ ствуют одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра х будет равно Ал; = -- Ахх + А2х + Д3 х. Аналогично вычисляются удлинения параллеле­ пипеда и вдоль остальных двух направлений Y и Z. В результате для удлинений всех трех ребер параллелепипеда можно написать

2. При квазистатическом растяжении параллелепипеда вдоль оси X совершается работа АХ = V2 где SX = yz — площадь грани, перпендикулярной к оси X. Эту работу можно представить

растяжениях в направлениях координатных осей.К и Z. Сложив эти три работы и разделив результат на объем параллелепипеда, полу­ чим следующее выражение для плотности упругой энергии в рас­

то эти формулы переходят в более простые формулы (75.10) и (75.11). Согласно формулам (75.11) плотность упругой энергии и пропор­ циональна квадрату натяжения Т (или давления Р). В общем случае, как показывает формула (76.3), плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией ТХ, ТУ, TZ (или РХ, РУ, PZ). При заданных натяжениях (или давлениях) она обратно пропорцио­ нальна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем меньше при неизменном натяжении ее упругая энергия. Идеально твердые тела (для которых Е = оо) совершенно не обладают упругой энергией, какие бы силы натяжения и давления на них ни действовали.

это следует из формул (76.1). Поэтому плотность упругой энергии

Чем жестче пружина, тем больше ее упругая энергия (при неизмен­ ной деформации).

З А Д А Ч А

Определить относительное изменение объема полого латунного шара радиуса

в оболочке, одно и то же и одинаково во всех направлениях. Возьмем малый эле­ мент оболочки, имеющий форму прямоугольника. При вычислении относитель­ ного изменения площади этого элемента под действием касательных напряжений т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычисление дает

(изменением площади, вызванным нормадьным давлением, пренебрегаем). Посколь­

вешена разностью давлений газа ДР по разные стороны оболочки. В результате

§77. Всестороннее и одностороннее растяжение и сжатие

1.Рассмотрим частный случай, когда все натяжения Тх, Т,у, Tz равны и отрицательны. В этом случае на параллелепипед со всех сторон действует постоянное давление Р =— Тх = — Ту = — Тг.

Их легко выразить через относительное изменение объема параллеле­ пипеда при деформации. Действительно, взяв логарифмические производные от обеих частей равенства V = xyz, получим