Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

Гироскоп будет лишен той устойчивости, какая была свойственна ему, когда он обладал тремя степенями свободы. Причина этого, как было выяснено в преды­ дущем параграфе, заключается в том, что закрепление наружного кольца лишает гироскоп возможности совершать прецессию вокруг вертикальной оси. Утрачен­ ную степень свободы можно, однако, в известной степени восстановить, если закре­ пить наружное карданово кольцо на основании, которое может свободно вращаться вокруг вертикальной оси. Такое закрепление просто эквивалентно увеличению момента инерции наружного кольца. Подвесим к оси гироскопа грузик. Он вызо­ вет прецессионное вращение вокруг вертикальной оси. Это вращение передастся основанию, на котором закреплено карданово кольцо. Благодаря наличию у ос­ нования собственного момента инерции угловая скорость вращения его Я будет

лельный той же оси. Под действием этого момента возникает прецессионное вращение вокруг горизонтальной оси В' В, в результате которого ось гироскопа устанавливается вертикально в том или ином направлении, в зависимости от того, с какой скоростью и в какую сторону вращается основание. Такая ориентация оси фигуры гироскопа будет наблюдаться и в предельном случае, когда масса грузика

прямоугольными рамками. Раскрутив гироскоп вокруг оси фигуры, возьмемся руками за внешнюю рамку и будем медленно поворачивать ее вокруг вертикаль­ ной оси. Ось гироскопа примет вертикальное положение и притом такое, что оба вращения — вращение рамки и вращение гироскопа вокруг собственной оси — будут происходить в одну и ту же сторону. Если начать вращать рамку в про­

щихся повернуть его вокруг горизонтальной оси, перпендикулярно к плоскости наружной рамки.

В другой демонстрации уравновешенный гироскоп с двумя степенями свободы ставят на горизонтальный диск, который может вращаться вокруг вертикальной

Рис. 160.

оси (рис. 160). При вращении диска ось гироскопа становится вертикально. При изменении направления на противоположное гироскоп опрокидывается.

7. Рассмотрим теперь идею гироскопического компаса, предложенную Фуко. Пусть наружное кольцо в кардановом подвесе гироскопа может свободно

ние Земли лишь вокруг полуденной линии рассматриваемого места. Пусть плоскость рис. 161 совпадает с горизонтальной плоскостью. Разложим вектор Я г на составляющую вдоль оси фигуры гироскопа fix и составляющую £22, к ней

перпендикулярную. Первая составляющая на движение гироскопа не влияет, так как вращению вокруг его оси фигуры ничто не препятствует. Остается единствен­ ная составляющая Й2 , изменение которой обусловливается вращением Земли. Ги­ роскоп не может вращаться вокруг оси Q2 , так как его ось фигуры вынуждена оста­ ваться в горизонтальной плоскости (в плоскости рисунка). Но он может свободно вращаться вокруг своей оси фигуры и вокруг вертикальной оси, т. е. оси, перпен­ дикулярной к плоскости рисунка. Тем самым рассматриваемый случай сведен к случаю, подробно разобранному в п. 6, причем роль вертикали играет направление вектора fi2. Поэтому ось фигуры гироскопа должна поворачиваться в плоскости рисунка в направлении к полуденной линии, стремясь стать одноименно парал­ лельной оси вектора £}2 . Однако при таком вращении длина составляющей Й2 уменьшается, а составляющей ftj — увеличивается. Когда ось фигуры гироскопа установится параллельно полуденной линии, Й2 обратится в нуль. В этом полохкнии поворот оси фигуры гироскопа, обусловленный вращением Земли, прекра­ тится. При этом, в соответствии с правилом Фуко, собственное вращение гиро­

скопа и вращение Земли вокруг полуденной линии будут происходить в одинаковых на­ правлениях.

ческой широты места. Закрепим неподвижно наружное кольцо карданова подвеса гироскопа так, чтобы его плоскость совпала с плоскостью географического мери­ диана. У гироскопа останутся две степени свободы. Он может вращаться вокруг

совпадает с плоскостью географического меридиана. Ось фигуры гироскопа может вращаться только в плоскости рисунка вокруг горизонтальной оси В'В, перпендикулярной к этой плоскости. Из плоскости рисунка она выходить не может. Разложим угловую скорость осевого вращения Земли $2 на

что и в предыдущем пункте при разборе гирокомпаса Фуко. Повторив при­ веденные там рассуждения, видим, что ось фигуры гироскопа будет по­ ворачиваться по направлению к оси мира (т. е. к оси собственного вращения Земли). Этот поворот будет сопровождаться уменьшением длины вектора Я3 .

нения. Они лишь теоретически решают поставленные перед ними задачи. Благо­ даря медленности вращения Земли силы, воздействующие на гироскоп из-за такого вращения, ничтожны и не в состоянии преодолеть (или способны преодолеть с тру­ дом) трение в подшипниках этих приборов. Кроме того, такие приборы в прин­ ципе могли бы быть использованы только тогда, когда они установлены на непо­ движном (относительно Земли) основании. Они не годятся на самолетах и судах, так как при движении последних развиваются угловые скорости вращения, а также ускорения, во много раз превосходящие соответствующие величины при суточном вращении земного шара.

Задача создания гирокомпаса была поставлена на практическую основу только после того, как стали использовать гироскоп не с двумя, а с тремя степенями свободы. Гироскоп должен быть астатическим. Но астатический гироскоп с тремя

вергалось бы воздействию указанного вращения и в свою очередь воздействовало на гироскоп. Поясним эту идею на примере одной из старых моделей гирокомпаса, построенного известным американским строителем гироскопических приборов Сперри в 1911 г. и оказавшегося вполне пригодным навигационным прибором. Приспособлением, о котором говорилось выше, здесь является маятник, жестко связанный с внутренним кольцом карданова подвеса. Маятником служит тяжелая дуга Q, плоскость которой перпендикулярна к плоскости внутреннего кольца, а значит, параллельна плоскости маховичка гироскопа (рис. 163). Принцип дей­ ствия прибора чрезвычайно прост. Допустим, что ось наружного кольца D'D установлена вертикально, а плоскость внутреннего кольца вместе с осью гироскопа А' А — горизонтально. В этом положении на гироскоп не действуют никакие мо­ менты сил. Ось фигуры гироскопа А'А, если ее направить на какую-либо звезду, начнет двигаться вместе с ней. Допустим, что ось фигуры гироскопа отклонена от полуденной линии, например, к востоку (рис. 164). Звезда, на которую направ­ лена эта ось, будет подниматься. Вместе с ней начнет подниматься и положитель­ ный конец оси фигуры гироскопа А. Но тогда начнет поворачиваться вокруг оси В'В и дуга Q. Момент силы тяжести кольца М относительно точки О будет стре­ миться опустить точку А и вызовет прецессию гироскопа вокруг вертикальной оси D'D, в результате которой ось фигуры гироскопа будет поворачиваться к по­ луденной линии, стремясь установиться одноименно параллельно с ней. То же самое произойдет, если первоначально положительный конец оси фигуры А был отклонен от полуденной линии к западу.

10. В заключение рассмотрим идею однорельсовой железной дороги. Вагон, катящийся по одному рельсу, неустойчив. Для стабилизации его движения можно применить массивный гироскоп с тремя степенями свободы, установленный внутри

вагона, как указано на рис. 165, а. Роль наружного кольца карданова подвеса выполняют стенки вагона. Допустим, что вагон накренился вправо. Сила тяжести еще больше будет стремиться опрокинуть вагон в ту же сторону. Она создает вра­ щающий момент, направленный за плоскость рисунка параллельно продольной оси вагона. Через подшипники этот момент передастся гироскопу. Гироскоп начнет прецессировать, что вызовет наклон внутренней рамы (рис. 165, б). Если

Рис. 165.

каким-либо способом ускорить эту прецессию, то возрастет вращающий момент сил противодействия со стороны гироскопа (см. § 50, пп. 9 и 10). Центр тяжести вагона начнет подниматься, и вагон вернется в вертикальное положение. Та­ кое вынужденное ускорение прецессионного движения рамы должно выпол­ няться автоматически. В устройстве соответствующего автомата и заключается вся трудность практического осуществления идеи однорельсовой дороги.

§52. Основы точной теории симметричного гироскопа

1.Точная теория симметричного гироскопа учитывает различие направлений мгновенной оси вращения, оси фигуры и момента импульса гироскопа относи­ тельно его точки опоры. Она справедлива при любых соотношениях между угло­

выми скоростями со, и со | , с которыми гироскоп вращается вокруг оси своей

смысл линейной скорости движения вершины гироскопа, а потому может быть

разделить на два уравнения. Первое уравнение получается из (52.2) скалярным

ние найдем также из (52.2),но векторным умножением на s. Учитывая при этом

2. Уравнение (52.3) определяет изменение во времени угловой скорости вра­ щения гироскопа Шц вокруг оси фигуры. Оно совпадает с соответствующим урав­ нением вращения твердого тела вокруг закрепленной оси.

Уравнение (52.4) определяет ускорение s, с которым движется вершина гироскопа. Запишем его в виде

В этом виде уравнение (52.5) формально совпадает с уравнением Ньютона. Роль массы играет величина I^ , роль силы — вектор / . Вершина гироскопа дви­

s = (s) x — s 2 s . Подставив это выражение в уравнение (52.5), видим, что центро­ стремительное ускорение из него выпадает. Уравнение принимает вид

Следовательно, уравнение (52.5) или эквивалентное ему уравнение (52.7) опре­ деляют не полное ускорение вершины гироскопа s, а только его составляющую (s)j^ касательную к поверхности единичной сферы s 2 = 1. Этого достаточно для нахождения движения вершины по начальным условиям (например, по начальному положению и начальной скорости вершины гироскопа). Действительно, движение вершины гироскопа аналогично движению не свободной, а связанной материаль­ ной точки, вынужденной находиться на заданной поверхности. .

вую часть в уравнении (52.7) можно смотреть как на некоторую «силу», сообщаю­ щую ускорение изображающей точке, Первое слагаемое в этой «силе» связано

с действием реальных сил, возникающих при взаимодействиях гироскопа с окру­ жающими телами. Его мы будем называть реальной силой

Второе слагаемое /со [ss] к взаимодействию тел не имеет отношения. Это есть фиктивная «сила», возникающая при вращении гироскопа вокруг оси фигуры. Она называется отклоняющей силой:

Отклоняющая сила отлична от нуля только тогда, когда изображающая точка движется. Она перпендикулярна как к оси фигуры гироскопа, так и к скорости движения изображающей точки. Эта сила стремится отклонить вершину гироскопа вбок от направления ее движения. Действием отклоняющей силы объясняются все характерные гироскопические эффекты.

Таким образом, основное уравнение движения симметричного гироскопа может быть записано в виде

3. Приближенная теория гироскопа рассматривает такие движения его, при которых ускорением (s)j^ в уравнении (52.10) можно пренебречь. Действительно, в этом случае / р е а л + /откл = 0 и л и

Iua>n[ss] + lMs]=0.

Так как оба вектора s и М не имеют составляющих вдоль оси фигуры, то отсюда получаем

/j|Cu|]S = Af,

а это и есть основное уравнение приближенной теории гироскопа.

4. К движению изображающей точки, поскольку оно описывается уравне­ нием (52.10), формально можно применять все теоремы механики точки, например уравнение сохранения энергии. При этом надо только иметь в виду, что отклоняю­ щая сила как перпендикулярная к скорости s работы не производит. Работа производится только реальной силой / р е а л -

5. На основе точного уравнения движения симметричного гироскопа можно, конечно, исследовать движение свободного гироскопа. Поскольку, однако, отно­ сящиеся сюда результаты уже были получены в § 49, мы не будем заниматься этим исследованием, а рассмотрим на основе точной теории вынужденную прецес­ сию и нутации симметричного гироскопа.

Допустим, что действующая сила F постоянна и приложена в одной из точек (оси фигуры гироскопа (рис. 168). Радиус-вектор этой точки, проведенный из точки опоры, обозначим а. Если точка опоры О не совпадает с центром масс гиро­ скопа, то роль силы F может выполнять вес самого гироскопа. Момент силы F равен М = [aF] =[aF^], где F^ — слагающая этой силы, перпендикулярная к оси фигуры гироскопа. Следовательно,/р е а л = [Ms] — [[aFjJ s] = aF^, так как векторы а и s коллинеарны. Таким образом, уравнение (52.10) примет вид

Теперь поставим вопрос, можно ли вершине гироскопа сообщить такую начальную скорость, чтобы она совершала регулярную прецессию, т. е. равно­ мерно вращалась вокруг оси, параллельной направлению действующей силы F и проходящей через точку опоры гироскопа О. Угловую скорость такого враще­ ния обозначим Q. Конкретно под силой F будем понимать вес самого гироскопа:

т. е. направление, противоположное силе F (см. рис. 168). Ответ на поставленный вопрос легко получить из уравнения (52.11). Для этого спроектируем уравнение (52.11) на направление вектора F,. Вершина гироскопа при регулярной прецессии

движется со скоростью s = [Qs] и ускорением s = — QV, где г — радиус-вектор, проведенный от оси прецессионного вращения к вершине гироскопа (г = s sin а = = sin а, причем а означает угол между осью фигуры гироскопа и вертикальным направлением). Взяв от ускорения s его составляющую, перпендикулярную к оси фигуры, и выполнив указанное проектирование, получим после сокращения на sin а:

Если центр масс гироскопа лежит выше точки опоры, то угол a — острый (см. рис. 168). В этом случае при недостаточно быстром собственном вращении гироскопа подкоренное выражение в формуле (52.13) может оказаться отри­ цательным. Тогда рассматриваемая регулярная прецессия становится не­ возможной, а положение гироскопа — неустойчивым. Вообще, для устойчи­ вости гироскопа необходимо выполне­ ние условия

/?,со?,- - 4aFIL cos a > 0. (52.14)

Это условие выполняется всегда, когда центр масс гироскопа лежит ниже точки опоры. Если же центр масс рас­ положен выше точки опоры, то гиро­ скоп должен вращаться достаточно быстро.

Допустим, что условие (52.14) вы­ полнено. Тогда квадратное уравне­ ние (52.12) имеет два вещественных

корня. В этом случае регулярная прецессия возможна и притом не одна, а две. Прецессия, которой соответствует меньший по абсолютной величине корень уравнения (52.12), называется медленной. Прецессия, соответствующая другому

Формула (52.15) совпадает с формулой (50.4), к которой приводит приближенная теория гироскопа. Таким образом, регулярная прецессия, о которой говорится

292 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

в приближенной теории, есть медленная прецессия. Угловая скорость быстрой

7. Для того чтобы у читателя не сложилось впечатления, что быстрая пре­ цессия является каким-то чисто умозрительным явлением, рассмотрим тривиаль­ ный пример конического маятника, Когда со)( = 0 и ни о каких гироскопических эффектах говорить не приходится. Разумеется, в этом случае центр масс должен лежать ниже точки подвеса. Поэтому угол а целесообразно заменить дополни­

тельным углом р = зх — а, который ось маятника образует с вертикалью, направ-i ленной вниз. Формула (52.13) переходит в

aF cosp '

т.е. в известную формулу для круговой частоты конического маятника.

8.Регулярная прецессия, как медленная, так и быстрая, является весьма специальным частным случаем движения вершины гироскопа, реализующимся при вполне определенных начальных условиях. Для исследования общего случая

регулярную прецессию. (Вторая слагающая скорости ин будет описывать нута­

причем мы опустили у <он значок j _ , так как слагающая ускорения вдоль оси фигу­ ры гироскопа сейчас не представляет интереса, и от нее можно отвлечься. Если на правую часть уравнения (52.17) смотреть как на аналог силы, то эта сила будет

Таким образом, в общем случае на медленное прецессионное движение вершины гироскопа накладывается равномерное круговое движение с круговой частотой

== -—. В результате такого наложения траектория вершины гирос-

копа может быть либо циклоидального типа (рис. 169,6), либо петлеобразного (рис. 169, о), либо она будет напоминать синусоиду (рис. 169, в). Какой из этих случаев осуществляется в каждом конкретном случае, зависит от начальных условий, т. е, от положения вершины гироскопа в начальный момент времени и

§ 52] ОСНОВЫ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 293

скорости, которая ей была сообщена в тот же момент. Наложением кругового движения на медленную прецессию и объясняются нутации, о которых говорилось в § 50. Радиус кругового движения г есть не что иное как амплитуда нутационных

Этот пример наглядно показывает, насколько мелким и частым дрожанием яв­ ляются нутации в быстро вращающихся технических гироскопах.

9. В заключение рассмотрим, как можно качественно объяснить характер траектории вершины гироскопа при наличии нутаций. Мы исходим непосредствен­ но из уравнения движения вершины (52.11). Пусть на рис. 169 ось фигуры гиро­ скопа своим положительным концом направлена в сторону читателя. Пусть в на­ чальный момент времени вершина неподвижна и занимает положение At

(см. рис. 169, б). В этот момент скорость s, а потому и отклоняющая сила / <в [ss] равны нулю. Под действием силы тяжести вершина получает скорость, направлен­ ную вниз. Но тогда появляется и боковая отклоняющая сила. Она начинает

тальной, а отклоняющая сила — вертикальной. По величине отклоняющая сила превосходит силу веса, и вершина гироскопа начинает подниматься. В верхнем положении Аг скорость вершины обращается в нуль. Это непосредственно следует из уравнения энергии, которому формально подчиняется движение вершины. Затем движение неограниченно повторяется. Получается траектория циклоидаль­ ного типа. Траектория с петлями (рис. 169, а) получится, если в начальный момент сообщить вершине скорость в направлении против прецессии. Если же начальная скорость сообщена в направлении прецессии, то получится траектория типа рис. 169, е. В последнем случае скорость можно подобрать такой, что возник­ нет регулярная прецессия без нутаций.